高中数学《122直线与平面垂直的判定》教案新人教A版必修2.docx

高中数学《122直线与平面垂直的判定》教案新人教A版必修2.docx

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高中数学《122直线与平面垂直的判定》教案新人教A版必修2

2019-2020年高中数学《1.2.2直线与平面垂直的判定》教案新人教A版必修2

教学目标：

使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。

教学重点：

直线和平面垂直的判定。

教学难点：

判定定理的证明。

教学过程：

1．复习回顾：

［师］直线和平面平行的判定方法有几种？

［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.

2．讲授新课：

1.直线和平面垂直的定义

［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？

［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电

筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。

［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直

（若先回答射影，可引导其抽象为直线）

师进一步提出：

那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线

位置如何呢？

依据是什么？

［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.

生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：

如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.

可记作l⊥α

其中直线l叫平面α的垂线.

平面α叫直线l的垂面.

［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.

［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）

［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.

直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.

师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法.

（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）

画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直

l⊥α点P是垂足

让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.

经师诱导，生得到结论.

［生］图

（1）、

（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.

除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？

2.直线和平面垂直的判定

例1：

求证：

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

已知：

a∥b，a⊥α

求证：

b⊥α

分析：

要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.

运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则

需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面

线垂直于面内线完成证明.

学生依图，及分析写出证明过程

证明：

设m是α内的任意一条直线

［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］

给出判定定理，学生思考证明途径.

直线和平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

已知：

mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.

求证：

l⊥α.

分析：

此定理要证明，需达到l⊥α关系.

而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线

即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.

证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.

学生先思考，如何先确定线位置.

由于已知条件中有m∩n=B,

所以可先从l、g都通过点B的情况证起，

然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.

证明过程学生可先表述，然后共同整理.

证明：

设g是平面α内任一直线.

（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.

1°g与m（或n）重合

那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.

2°g与m（或n）不重合，

那么在α内任作一线CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.

∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，

∴△ACD≌△A′CD,

得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g

（2）当l、g不都通过点B时

过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g

同理可证l′⊥g′，因而l⊥g

综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.

由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α

［l、g不都通过点B，可解释为：

l、g之一过点B，l、g都不过点B］

［师］对于判定定理注意二点.

一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.

二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.

3．课堂练习：

1.判断题

（1）l⊥αl与α相交（）

（2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（）

（3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（）

解：

（1）√若不相交，则应有l∥α，或lα.

（2）×m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确.

（3）√由例题结论可推得.

2.已知三条共点直线两两垂直，求证：

其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.

已知：

m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o

求证：

n⊥α.

证明：

因

3.求证：

平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.

［连结平面α内的两点，Q和R，设PQ⊥α，

则∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.

4．课时小结：

1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.

2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.

3.注意两个结论：

过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.

过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.

4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：

（1）定义强调“任何一条直线”；

（2）例1的结论符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；

（3）判定定理必须是“两条相交直线”.

5．课后作业：

预习：

（1）性质定理主要是讲什么？

条件、结论各是什么？

（2）直线到平面距离如何转化为点到平面距离？

2019-2020年高中数学《1.2.2组合》教案新人教A版选修2-3

教学目标：

知识与技能：

理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：

了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：

能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：

组合的概念和组合数公式

教学难点：

组合的概念和组合数公式

授课类型：

新授课

课时安排：

2课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：

首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

教学过程：

一、复习引入：

1分类加法计数原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法

2.分步乘法计数原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法

3．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

4．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

5．排列数公式：

（）

6阶乘：

表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．

7．排列数的另一个计算公式：

=

8.提出问题：

示例1：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：

示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：

组合．

二、讲解新课：

1组合的概念：

一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：

⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：

元素相同

例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？

有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？

（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？

（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？

问题：

（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？

（2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：

从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：

由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：

组合排列

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：

①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：

＝，所以，．

（2）推广：

一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；

②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：

＝．

（3）组合数的公式：

或

规定:

.

三、讲解范例：

例2．用计算器计算．

解：

由计算器可得

例3．计算：

（1）；

（2）；

（1）解：

＝35；

（2）解法1：

＝120．

解法2：

＝120．

例4．求证：

．

证明：

∵

＝

＝

∴

例5．设求的值

解：

由题意可得：

，解得，

∵，∴或或，

当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

例6．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

（l）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？

（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：

对于

（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于

（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．

解：

（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C｝手＝12376（种）.

（2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出n人组成上场小组，共有种选法；

第2步，从选出的n人中选出1名守门员，共有种选法．

所以教练员做这件事情的方法数有

=136136（种）.

例7．

（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

解：

（1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有

（条）.

（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

（条）.

例8．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件.

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

解：

（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

=161700（种）.

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有

=9506（种）.

（3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第

（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有

+=9604（种）.

解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即

=161700-152096=9604（种）.

说明：

“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

变式：

按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选；

（2）甲、乙、丙三人不能当选；

（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；

（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；

例9．

（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

解：

．

（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？

解：

问题可以分成2类：

第一类2名男生和2名女生参加，有中选法；

第二类3名男生和1名女生参加，有中选法

依据分类计数原理，共有100种选法

错解：

种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多

例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：

（直接法）小组构成有三种情形：

3男，2男1女，1男2女，分别有，，，

所以，一共有++＝100种方法．

解法二：

（间接法）

组合数的性质1：

．

一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：

．在这里，主要体现：

“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：

∵

又，∴

说明：

①规定：

；

②等式特点：

等式两边下标同，上标之和等于下标；

③此性质作用：

当时，计算可变为计算，能够使运算简化.

例如＝＝=xx；

④或．

2．组合数的性质2：

＝+．

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：

一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m-1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：

∴＝+．

说明：

①公式特征：

下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；

②此性质的作用：

恒等变形，简化运算

例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：

（1）,或，；

（2）；（3）．

例12．

（1）计算：

；

（2）求证：

＝++．

解：

（1）原式

；

证明：

（2）右边

左边

例13．解方程：

（1）；

（2）解方程：

．

解：

（1）由原方程得或，∴或，

又由

得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为，即，∴，

∴

，

∴，解得或，

经检验：

是原方程的解

例14．证明：

。

证明：

原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。

原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。

显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例15．证明：

…（其中）。

证明：

设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：

男同学0个，1个，…，个，则女同学分别为个，个，…，0个，共有选法数为…。

又由组合定义知选法数为，故等式成立。

例16．证明：

…。

证明：

左边=…=…，

其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数。

设某班有个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。

把这种选法按取到的人数分类（…），则选法总数即为原式左边。

现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种。

显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例17．证明：

…。

证明：

由于可表示先在个元素里选个，再从个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。

对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。

若组长和副组长是同一个人，则有种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有种选法。

∴共有+种选法。

显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例18．第17届世界杯足球赛于xx年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？

答案是：

，这题如果作为习题课应如何分析

解：

可分为如下几类比赛：

⑴小组循环赛：

每组有6场，8个小组共有48场；

⑵八分之一淘汰赛：

8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；

⑶四分之一淘汰赛：

根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；

⑷半决赛：

根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；

⑸决赛：

2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名共有2场.

综上，共有场

四、课堂练习：

1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？

2．名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）

．．．．

3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）

．对．对．对．对

4．设全集，集合、是的子集，若有个元素，有个元素，且，求集合、，则本题的解的个数为（）

．．．．

5．从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法

6．从位同学中选出人去参加座谈会，有种不同的选法

7．圆上有10个点：

（1）过每2个点画一条弦，一共可画条弦；

（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形

8．

（1）凸五边形有条对角线；

（2）凸五边形有条对角线

9．计算：

（1）；

（2）．

10．个足球队进行单循环比赛，

（1）共需比赛多少场？

（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？

11．空间有10个点，其中任何4点不共面，

（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？

（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？

12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？

13．写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合

答案：

1.

（1）组合,

（2）排列2.B3.A4.D5.306.15

7.

（1）45

（2）1208.

（1）5

（2）

9.⑴455；⑵10.⑴10；⑵20

11.⑴；⑵

12.

13.；；；；

五、小结：

组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理

学生探究过程：

（完成如下表格）

名称内容

分类原理

分步原理

定义

相同点

不同点

名称

排列

组合

定义

种数

符号

计算

公式

关系

性质

，

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、教学反思：

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时