期权价格知识概述.docx
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期权价格知识概述
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期权价格知识概述
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第十章期权价格概述
【学习目标】
本章是期权部分的重点内容之一。
本章首先从内在价值和时间价值两个方面对期权价格进行了深入解析，分析了影响期权价值的主要因素，确定期权价格的基本边界，探讨了美式期权是否需要提前执行的问题，从而画出了期权价格曲线的基本形状，最后，我们运用无套利分析的基本方法，推出了看涨期权和看跌期权之间的平价关系。
学习完本章，读者应能够运用期权价格曲线，深入掌握期权价格中的内在价值和时间价值的有关内容，掌握期权价值的主要影响因素和期权价格的基本边界，掌握看涨期权和看跌期权之间的平价关系，同时理解美式期权的提前执行问题。
如第八章所述，期权交易实质上就是一种权利的交易。
在这种交易中，期权购买者为了获得期权合约所赋予的权利，就必须向期权出售者支付一定的费用。
这一费用就是期权费（期权价格），即期权合约本身的价格。
在期权交易中，期权价格（价值价格和价值本来是两个不同的概念，它们之间是市场价格和理论价值的区别。
但是在对期权费的研究中，一般将这两者混用。
所谓的期权价格（OptionsPrice）实际上就是期权价值（OptionsValue），即期权的合理公平价值。
）的决定是一个重要而复杂的核心问题。
自1973年以来，许多专家和学者纷纷提出各自的期权定价模型，以说明期权价格的决定和变动。
在这些模型中，最著名的模型主要有如下两个：
一个是布莱克－舒尔斯模型（TheBlack-ScholesModel），另一个则是二项式模型（TheBinominalModel）。
在第十一章，我们将对这两个模型作一简要的介绍和评价。
在此之前，为了更好地说明这两个模型的内涵，我们有必要先对各种期权定价模型的理论基础——期权价格的构成、影响期权价格的主要因素以及期权价格的边界等问题进行深入的分析。
第一节期权价格解析
尽管在现实的期权交易中，期权价格会受到多种因素的复杂影响，但从理论上说，期权价格都是由两个部分组成的：
一是内在价值，二是时间价值。
即
期权价格＝期权内在价值＋期权时间价值。
一、期权的内在价值
期权的内在价值（IntrinsicValue）是指期权合约本身所具有的价值，也就是期权多方行使期权时可以获得的收益的现值。
我们曾经在第八章中谈及这一概念详见第八章第一节。
。
例如，如果股票XYZ的市场价格为每股60美元，而以该股票为标的资产的看涨期权协议价格为每股50美元，那么这一看涨期权的购买方只要执行此期权即可获得1000美元（股票期权通常为美式期权且一张期权合约的交易单位为100股股票）。
这1000美元的收益就是看涨期权的内在价值。
从例子中我们可以很明显地看到，一个期权合约有无内在价值以及内在价值的大小，取决于该期权执行价格与其标的资产市场价格之间的关系，即与期权是实值、虚值还是平价有很大的关系。
具体来看，理解期权的内在价值，需要注意两个方面的问题：
其一，欧式期权和美式期权内在价值存在一定的差异。
由于欧式期权只能在到期日执行，所以在到期以前的任一时刻，欧式期权的内在价值应该是到期时该期权内在价值的现值。
因此，对于欧式看涨期权来说，其内在价值为（ST-X）的现值。
其中，如果标的资产在期权存续期内没有现金收益，ST的现值就是当前的市价（S），而对于支付现金收益的资产来说，ST的现值则为S-D，其中D表示在期权有效期内标的资产现金收益的现值。
因此，无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r（T-t）,而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe-r（T-t）。
同样道理，无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为Xe-r（T-t）-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值都为Xe-r（T-t）+D-S。
美式期权与欧式期权的最大区别在于其可以提前执行，因此，美式期权的内在价值就应该等于其即时执行的收益，而无需对X进行贴现。
但是，我们在后文将证明，美式看涨期权当中，如果标的资产是没有现金收益的，在期权到期前提前行使无收益美式看涨期权是不明智的。
因此无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r（T-t）。
另外，有收益资产美式看涨期权虽然有提前执行的可能，但可能性较小，因此一般都认为其内在价值也等于S-D-Xe-r（T-t），即也等于相应的欧式看涨期权内在价值。
对于美式看跌期权来说，由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式看跌期权不同。
其中，无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。
因此，欧式期权和美式期权内在价值的主要差异就在于贴现与否，但现实生活中常常不考虑贴现问题，而将它们视为相同，都采用美式期权即时执行的内在价值。
其二，期权的内在价值应大等于0。
将期权的内在价值与实值、虚值和平价等相联系，从理论上说，实值期权内在价值为正，虚值期权内在价值为负，而平价期权内在价值为零。
但从实际来看，期权多头方是不会执行虚值期权（即标的资产市价低于协议价格的看涨期权和标的资产市价高于协议价格的看跌期权）的，因此内在价值至少等于零。
图10.1给出了期权内在价值的曲线。
显然平价点随着欧式、美式期权和有无收益而变化。
从图中我们可以进一步看出，在执行价格一定的时候，标的资产的市场价格就决定了期权内在价值的大小，例如对于看涨（看跌）期权来说，平价点及其左（右）侧的期权内在价值都为零，而平价点右（左）侧的期权内在价值则为正数，价格越高（低），内在价值越大。
相反地，如果市场价格一定，期权的执行价格就决定了内在价值的大小。
当执行价格提高（降低）时，图10.1（a）和（b）中的两条内在价值线都要向右（左）移动，也就意味着在同一市场价格水平上，看涨期权的内在价值减少（增大），而看跌期权的内在价值则相应地增大（减少）。
实值
平价点
虚值
45°
看跌期权价格
S
（b）看跌期权内在价值曲线
内在价值曲线
图10.1期权内在价值曲线
二、期权的时间价值
内在价值是决定期权价格的主要因素，但并非唯一的因素。
在现实市场中，各种期权通常是以高于内在价值的价格交易的，平价期权和虚值期权在这一点上尤其明显：
虽然这两类期权的内在价值为零，但在到期以前，它们总是以高于零的价格在买卖的。
这是因为在期权价格中，还包含着一个重要的部分：
期权的时间价值。
与我们平时所理解的时间价值（即无风险利率，货币持有者暂时放弃货币所获得的回报）不同，期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。
换句话说，期权的时间价值实质上是期权在其到期之前获利潜力的价值。
我们知道，期权的买方通过支付期权费，获得了相应的权利，即（近于）无限的收益可能和有限的损失。
这意味着标的资产价格发生同样的上升和下降，所带来的期权价值的变化是不对称的，这一不对称性，使得期权总价值超过了其内在价值，就是期权时间价值的根本来源。
与内在价值不同，期权的时间价值通常不易直接计算，因此，它一般是运用期权的总价值减去内在价值求得的。
例如，某债券的市场价格目前为105美元，而以该债券为标的资产、执行价格为100美元的看涨期权则以6.5美元成交。
那么，该看涨期权的内在价值为5美元（105美元－100美元），而它的时间价值则为1.5美元（6.5美元－5美元）。
影响期权时间价值大小的主要因素有：
到期时间
由于期权时间价值代表到期之前期权带来收益的可能性。
因此，距离到期的时间越长，期权时间价值一般来说越大。
对于美式期权来说，这一点显然是肯定的；而欧式期权由于只能在到期日执行，所以这一关系不一定成立，但总的来说其时间价值也是随着时间的延长而增大的。
这意味着在一般情况下，期权的边际时间价值都是正的。
但是，我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。
这就是期权的边际时间价值递减规律。
换句话说，对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。
这意味着，当时间流逝同样长度，期限长的期权的时间价值减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小幅度。
这一点对组建和分析期权差期组合和对角组合是很重要的。
2.标的资产价格的波动率
标的资产价格的波动率是指证券资产收益率单位时间内的标准差，因此，标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。
由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，无论是看涨期权还是看跌期权，期权的时间价值都应越大。
3.内在价值
此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。
以无收益资产看涨期权为例，当S=Xe-r（T-t）时，期权的时间价值最大。
当S-Xe-r（T-t）的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图10.2所示。
我们举个例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。
假设A股票（无红利）的市价为9.05元，A股票有两种看涨期权，其协议价格分别为X1=10元，X2=8元，它们的有效期都是1年，1年期无风险利率为10%（连续复利）。
这两种期权的内在价值分别为0和1.81元。
那么这两种期权的时间价值谁高呢？
假设这两种期权的时间价值相等，都等于2元，则第一种期权的价格为2元，第二种期权的价格为3.81元。
那么让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？
为了比较这两种期权，我们假定1年后出现如下三种情况：
情况一：
ST=14元。
则期权持有者可从期权1中获利（14-10-2e0.1）=1.79元，可从期权2中获利（14-8-3.81e0.1）=1.79元。
期权1获利金额等于期权2。
情况二：
ST=10元。
则期权1亏2e0.1=2.21元，期权2也亏3.81e0.1-2=2.21元。
期权1亏损等于期权2。
情况三：
ST=8元。
则期权1亏2e0.1=2.21元，而期权2亏3.81e0.1=4.21元。
期权1亏损少于期权2。
由此可见，无论未来A股票价格是涨是跌还是平，期权1均优于或等于期权2。
显然，期权1的时间价值不应等于而应高于期权2。
我们再来比较如下两种期权。
X1=10元，X3=12元。
其它条件与上例相同。
显然，期权1的内在价值为0，期权3的内在价值虽然也等于0，但S-Xe-r（T-t）却等于-1.81元。
通过同样的分析，我们也可以得出期权1的时间价值应高于期权3的结论。
综合这三种期权，我们就可以得出无收益资产看涨期权的时间价值在S=Xe-r（T-t）点最大的结论。
通过同样的分析，我们还可以得出如下结论：
有收益资产看涨期权的时间价值在S=D+Xe-r（T-t）点最大，而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S=Xe-r（T-t）点最大，有收益资产欧式看跌期权的时间价值在S=Xe-r（T-t）-D点最大,无收益资产美式看跌期权的时间价值在S=X点最大，有收益资产美式看跌期权的时间价值在S=X-D点最大。
图10.2无收益资产看涨期权时间价值与（S-Xe-r（T-t））的关系
弄清时间价值与内在价值的上述关系对于组建和分析期权的差期组合和对角组合也很重要。
第二节期权价格的影响因素
期权价格既然由内在价值和时间价值两部分构成，则凡是影响内在价值和时间价值的因素，就是影响期权价格的因素。
总的来看，期权价格的影响因素主要有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。
一、标的资产的市场价格与期权的协议价格
标的资产的市场价格与期权的协议价格是影响期权价格最主要的因素。
因为这两个价格及其相互关系不仅决定着内在价值，而且还进一步影响着时间价值。
由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。
因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。
对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。
二、期权的有效期
如前所述，对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，期权多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。
对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。
这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。
例如，同一股票的两份欧式看涨期权，一个有效期1个月，另一个2个月，假定在6周后标的股票将有大量红利支付，由于支付红利会使股价下降，在这种情况下，有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期权。
但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（MarginalTimeValue）为正值。
另外，由于期权经常被作为避险保值的工具，而期权费则是保值者为了套期保值所支付的价格。
所以，有效期越长，意味着保险时间越长，避险者所支付的保险费也应当越高。
三、标的资产价格的波动率
标的资产价格的波动率对期权价格具有重要的影响。
“没有波动率，则期权就是多余的”。
ToddE.Petzel（1989）FinancialFuturesandOptions,NewYork:
QuorumBooks,p.45
如前所述，波动率对期权价格的影响，是通过对时间价值的影响而实现的。
波动率越大，则在期权到期时，标的资产市场价格涨跌达到实值期权的可能性也就越大，而如果出现虚值期权，期权多头方亏损有限。
因此，无论是看涨期权还是看跌期权，其时间价值以及整个期权价格都随着标的资产价格波动率的增大而增大，随标的资产价格波动率的减小而降低。
值得注意的是，与决定和影响期权价格的其他因素不同，在期权定价时，标的资产价格在期权有效期内的波动率是一个未来的未知数。
因此，在期权定价时，要获得标的资产价格的波动率，只能通过近似估计得到。
估计波动率的方法主要有两种：
一是利用过去所观察得到的标的资产价格波动的历史数据，用以估计未来价格的波动率。
这一方法求得的波动率被称为“历史波动率”（HistoryVolatility）。
另一种方法则是利用期权定价模型，设定波动率为未知数，将期权的市场价格和相应的各个参数代入，推算出波动率，这种被推算出来的波动率则被称为“隐含波动率”（ImpliedVolatility）。
四、无风险利率
影响期权价格的另一个重要因素是无风险利率，尤其是短期无风险利率。
利率对期权价格的影响是比较复杂的，需要进行区别分析。
不同的分析角度，结论各不相同。
首先，利率对期权价格的影响主要体现在对标的资产价格以及贴现率的影响上。
这一影响又需要从两个方面加以探讨：
第一，我们可以从比较静态的角度考察，即比较不同利率水平下的两种均衡状态。
如果状态1的无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价（S），未来预期价格[E（ST）]较高。
同时由于贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。
这两种效应都将减少看跌期权的价值。
但对于看涨期权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使期权价格下降。
由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。
第二，我们可从动态的角度考察，即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。
在标的资产价格与利率呈负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，只是前者的降幅更大来实现的。
同是贴现率也随之上升。
对于看涨期权来说，两种效应都将使期权价格下降，而对于看跌期权来说，前者效应为正，后者为负，由于前者效应通常大于后者，因此其净效应是看跌期权价格上升。
大家应注意到，从两个角度得到的结论刚好相反。
因此我们在具体运用时要注意区别分析的角度，根据具体情况作全面的、深入的分析。
其次，换一个讨论的角度，如果就利率本身对期权价格的影响而言，利率的变动对看涨期权价格有正向的影响，而对看跌期权的价格有反向的影响。
这种影响在股票期权中表现得尤其明显。
因为对于买进股票的投资者而言，买进股票本身与买进以该股票为标的资产的看涨期权在某种程度上具有替代性，那么买进看涨期权相对节省的资金显然可以带来机会收益，因此看涨期权价格将随无风险利率上升而上涨；同样，买进看跌期权则和直接卖出股票具有一定的替代性，在利率较高的时候，投资者显然倾向于选择直接卖出股票，获得资金用于再投资而赚取较高的利息收益，而买入看跌期权却需要支付期权费，因此利率和看跌期权价格成反向关系。
除了以上两个角度的分析，也有人从期权费机会成本的角度来分析利率对期权价格的影响、由于期权费是在期权交易初期以现金方式直接支付的，因而具有机会成本。
而这一机会成本显然取决于利率的高低：
当无风险利率较高时，期权价格机会成本较高，投资者将把资金从期权市场转移到其他市场，从而导致期权价格下降；反之，当无风险利率较低时，较低的机会成本显然将带来期权价格的上升。
总之，无风险利率对期权价格的影响是非常复杂的，在具体运用的时候，需要全面分析，并针对特殊情况，判断哪种影响更重要，从而得到相应的结论。
五、标的资产的收益
根据第八章的说明，标的资产分红或者是获得相应现金收益的时候，期权合约并不进行相应的调整。
这样，标的资产进行分红付息，将减少标的资产的价格，这些收益将归标的资产的持有者所有，同时协议价格并未进行相应调整。
因此在期权有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。
由以上分析可知，决定和影响期权价格的因素很多，而且各因素对期权价格的影响也很复杂，既有影响方向的不同，又有影响程度的不同；各个影响因素之间，既有相互补充的关系，又有相互抵消的关系。
表10-1对这些主要影响因素作了一个基本的总结。
表10-1影响期权价格的主要因素
注：
＋表示正向的影响，－表示反向的影响，？
则表示影响方向不一定。
第三节期权价格的边界
为了推导出期权定价的精确公式，我们先得找出期权价格的上、下限。
期权价值边界的确定最早是由Merton在1973年完成的参见RobertMerton（1992）Continuous-TimeFinance,RevisedEdition,London:
BasilBlackwell,p.255
。
他运用随机占优（StochasticDominance）的概念，提出了关于期权价格的基本理性条件。
其基本思想如下：
假设有两个投资组合A和B，其投资报酬是不确定的。
如果在给定的期限内，在任何情况下组合A的投资收益都不低于B的投资收益，则称组合A随机优于组合B。
那么理性投资者必然选择组合A，因此组合A的价格必然高于组合B的价格。
由此，Merton得出期权价值非负的基本结论，即：
其中小写的和表示欧式期权价值，大写的和则表示美式期权价值。
这样，Merton已经给出了期权价值的一个下限。
以此为基础，我们可以进一步讨论确定期权边界的问题。
一、期权价格的上限
（一）看涨期权价格的上限
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。
否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。
因此，对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
（10.1）
同前所述，代表标的资产价格。
（二）看跌期权价格的上限
由于美式看跌期权的多头执行期权得到的最高价值为协议价格（），因此，美式看跌期权购买方所支付的价格（）不应该超过上限：
（10.2）
由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：
（10.3）
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。
二、期权价格的下限
由于确定期权价格的下限较为复杂，我们这里先给出欧式期权价格的下限，并区分无收益与有收益标的资产两种情况。
（一）欧式看涨期权价格的下限
1.无收益资产欧式看涨期权价格的下限
为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：
组合A：
一份欧式看涨期权加上金额为的现金
组合B：
一单位标的资产
在组合A中，如果现金按无风险利率投资则在T时刻将变为X，即等于协议价格。
此时多头要不要执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格（ST）是否大于X。
若ST>X，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若ST£X，则不执行看涨期权，组合A的价值为X。
因此，在T时刻，组合A的价值为：
而在T时刻，组合B的价值为ST。
由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:
c+Xe-r（T-t）≥S
c≥S-Xe-r（T-t）
由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：
（10.4）
2.有收益资产欧式看涨期权价格的下限
我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
（10.5）
（二）欧式看跌期权价格的下限
1.无收益资产欧式看跌期权价格的下限
考虑以下两种组合：
组合C：
一份欧式看跌期权加上一单位标的资产
组合D：
金额为的现金
在T时刻，如果STX，期权将不被执行，组合C价值为ST，即在组合C的价值为：
max（ST，X）
假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。
由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：
由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
（10.6）
2.有收益资产欧式看跌期权价格的下限
我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
（10.7）
从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。
三、美式期权：
是否需要提前执行
为了确定美式期权的价值及其边界，我们需要对美式期权作更深入的分析。
由于美式期权与欧式期权的唯一区别在于能否提前执行，因此如果我们可以证明提前执行美式期权是不合理的，那么在定价时，美式期权就等同于欧式期权，从而大大降低定价的难度。
（一）无收益资产的美式期权
1．看涨期权
由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。
为了精确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合：
组合A：
一份美式看涨期权加上金额为的现金
组合B：
一单位标的资产
在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。
而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。
这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。
我们再来看一下提前执行美式期权的情况。
若在时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于S-X，其中S表示时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为，其中表示T-时段的远期利率。
因此，若提前执行的话，在时刻组合A的价值为：
，而组合B的价值为。
由于因此。
这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。
比较两种情况我们可以得出结论：
提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。
因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：
C=
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