初中常用数学模型行稳书屋.docx

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初中常用数学模型行稳书屋

【1】中点+平行模型

如图，如果AB‖DE，且C为AE中点，则有△ABC≌△EDC

很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长）

【例题1】（2014深圳某模拟）

【例题2】（2014深圳）

答案：

1.

；2.D

【2】一线三等角模型

如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90）

则一定有△BDE与△CEF相似。

十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。

经常在矩形里出题。

【例题1】（2009太原）

【例题2】（2006河南）

【例题3】（原创）

答案：

1.2或

或

2.（

）

【3】巧造旋转模型

在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。

巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：

通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC。

我们可以将△ACD绕A顺时针旋转90°得到△ABE，使得AC与AB重合。

那么就有EB⊥BC，而在RT△AED中，DE²=2AD²（等腰直角三角形）

所以BE²+BD²=DE²，即BD²+CD²=2AD²

是不是赶脚很难想到？

要学会判断，这种感觉是要练出来的！

【例题1】（2014武汉）

【例题2】

【例题3】（2014菏泽改编）

答案：

1.

2.93.（1.）2，（2.）直角三角形，旋转后证全等，证明略

【4】等腰模型

这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形

首先：

平行+角平分线，

如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。

其次：

垂直+角平分

这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。

这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）

【例题1】（原创）

AB‖CD

【例题2】（原创）

【例题3】（改编）

1.112.33.延长CD交AB于M，利用中位线，证明略

【5】倍长中线法

常考，选填大证明都可能会用。

是的！

又是中点，中点用的很多啊==

这个模型怎么用？

先要判断。

做题的时候看见中点，先找有没有可以直接用的，没有就找就没有平行+中点，再没有就要想了

没事摆个中点在这里有啥用？

这时试试倍长中线。

记住一句话：

“倍长中线，定得全等”

先来举一个例子，吧里很经典的一题。

←_←

解：

延长AD，使DE=AD，连接CE（做这种题不变的辅助线说明）

∵AD=DE，BD=CD，∠ADB=∠CDE

∴△ADB≌△EDC

∴CE=AB=3

∴4-3

故1/2

这样就迎刃而解了，还有好多好多题，需要用到这个

【例题1】（改编）

【例题2】（改编）

1.62.证明略，（3.）

【6】几何最值模型.1

最值是中考最常考的题目，选择、填空、大题都可能有。

几何最值——当然数学书上是找不到的，所以这要我们平时多了解这种题的做题技巧

一般有三种：

线段最值、折线最值、周长面积最值

最值不好学，先从简单学起。

1.首先最简单的：

点到直线的距离垂线段最短、化曲为直，这是最基础的。

2.其次：

通过对称寻找最值，经典的【建设奶站】模型。

3.折叠最值：

三角形三边关系解题，寻找【三点共线】最关键。

举个例子：

第一问做一个垂线就行了。

第二问是重点，作C关于l的对称点C'，连接C'B，则C'B与l的交点为Q，此时BQ+CQ最小值为BC'。

用三角形三边关系证明，尝试一下吧

第三问同样重点（虽然没第二问那么常考），M可不是AD与l的交点，这时因为A、D在异侧讨论差值不方便，故作对称。

则AD'延长线与l的交点为M，此时lAM-DMl的最小值为D'M。

这同样用三角形三边关系证。

考试的时候辅助线要写，道理不用。

简单归纳，同侧最小找轴对称、异侧最大对称加延长，注意图形对称性

好了先到这里，下面是例题

【例题1】（改编）

【例题2】（原创）

1.42.（1.）

；（2.）①

；②

为BG的垂直平分线与BC的交点

【7】几何最值模型.2

初中大部分的几何最值都要化曲为直，一般我们称为【三点共线】，下面是折叠的一题。

做这种题，最重要找的是不变量。

如图，CD是不变量6，AD也是不变量√61，只有E、F在动

现在开始分析，先把AD连接，得到一个不变的线段。

而在△ADF中，由三边公式可知

AF＞AD-DF，这有什么用？

这个意思是万一A、F、D三点共线了，不就是AF=AD-DF了？

就是说当形成了三角形的时候，AF都是大于AD-DF的，三点共线时，AF=AD-DF，这样AF不就最短了吗？

所以AFmin=√61-6

还有一种经典的题：

照样先找不变量，发现AB、BC不变为4，其余没有。

这种题的不变量一般隐藏在某些条件中

分析一下：

等边你还没用，∠AOB=90°的条件也没用，综合考虑，取AB中点，因为直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以OD=2，由等边三角形，可知CD=2√3，现在用三点共线，

很快得到OC=OD+CD时OC最大，所以OC最大值为2+2√3

这种题要多练，寻找感觉。

主要是找不变量，这在动点问题中十分重要。

【例题1】

【例题2】（呵呵你会发现我偷懒了）

【例题3】

答案：

1.

2.13.

【8】十分重要！

反比例函数中的模型

俗话说的好，选填里面出得最难的不是几何题，而是反比例综合，要想稳拿3分，先掌握这些

首先简单搞起

①这个很简单，已知某点坐标（m,n）求过该点的反比例函数表达式y=k/x，则k=mn（k≠0）

②已知反比例函数图象分别交矩形AOBC的边AC、BC于D、E，连接OC，则：

S△OCD=S△OEC

③在上图的基础上，有AD：

CD=BE：

CE，

当然如果连接DE、AB，DE和AB一定是平行的。

④这个不大常用，但是也挺重要，如图，任意直线AB与双曲线交于G、H，则AG=BH

那么看到AG=GH的话就立马反应过来三段都等了。

⑤这个十分常用，在上图的基础上，S△OGH=S梯形GEFH

⑥看着不爽系列（雾）补全图形，常常有些梯形是要补全成矩形的，如此挖掘隐含条件

就差不多是这些，记住做反比例函数题的核心点：

面积转换最重要，各种垂直显神通

意思就是没思路的时候做些垂直的辅助线，会有相似等。

【例题1】

【例题2】

【例题3】

【例题4】

答案：

1.

2.

3.4

4.