百校联盟全国卷I高考最后一卷押题卷文科数学第.docx

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百校联盟全国卷I高考最后一卷押题卷文科数学第

百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）文科数学（第三模拟）

一、选择题：

共12题

1．已知全集U=R,集合A={x|x2-x>0},B={x|lnx≤0},则（∁UA）∩B=

A.（0,1]B.（0,1）C.∅D.（-∞,0）∪[1,+∞）

【答案】A

【解析】本题考查一元二次不等式和对数不等式的解法以及集合的交、补运算.解题时,先求出对应不等式的解集,然后根据数轴确定两个集合的运算.

由已知得A=（-∞,0）∪（1,+∞）,∴∁UA=[0,1],又B=（0,1],∴（∁UA）∩B=（0,1],故选A.

2．已知i为虚数单位,若复数z=的虚部为-3,则a=

A.2B.4C.5D.7

【答案】C

【解析】本题主要考查复数的虚部、复数的运算,考查考生灵活运用知识的能力和运算求解能力.先根据复数的运算法则将z=化简,然后利用复数的虚部的定义列出方程,求出a的值.

∵z=- i,∴-=-3,∴a=5,故选C.

3．若定义域为R的函数f（x）不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是

A.∀x∈R,f（-x）≠f（x）B.∀x∈R,f（-x）=-f（x）

C.∃x0∈R,f（-x0）≠f（x0）D.∃x0∈R,f（-x0）=-f（x0）

【答案】C

【解析】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定,考查考生对基础知识的掌握情况.

定义域为R的偶函数的定义:

∀x∈R,f（-x）=f（x）,这是一个全称命题,所以它的否定为特称命题:

∃x0∈R,f（-x0）≠f（x0）,故选C.

4．某饮料店某5天的日销售收入y（单位:

百元）与当天平均气温x（单位:

℃）之间的数据如下表:

甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究,分别得到了x与y之间的四个线性回归方程:

①=-x+3,②=-x+2.8,③=-x+2.6,④=-x+2.4,其中正确的方程是

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【解析】本题主要考查统计中线性回归分析的有关知识,考查考生的理解能力和计算能力.本题只要抓住点（,）一定在回归直线上,就容易检验出结果.

由数据可得（-2-1+0+1+2）=0,（5+4+2+2+1）=2.8,又回归直线经过点（0,2.8）,代入验证可知直线=-x+2.8成立,故选B.

5．已知sin（+θ）=-,则2sin2-1=

A.B.-C.D.±

【答案】A

【解析】本题主要考查诱导公式、二倍角公式等,考查考生的运算能力.

通解,∵sin（+θ）=-,∴cosθ=-,∴2sin2-1=-cosθ=,故选A.

优解,特殊值法,取+θ=,∴θ=,2sin2-1=2×（）2-1=,故选A.

6．已知双曲线-=1（a>0,b>0）的一条渐近线与直线3x-4y-5=0垂直,则双曲线的离心率为

A.或B.C.D.

【答案】C

【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、基本量之间的关系,考查考生的运算求解能力.

直线3x-4y-5=0的斜率为,∴双曲线的一条渐近线的斜率为-,即-=-,∴b=a,∴c=a,∴e=,故选C.

7．已知x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】本题主要考查线性规划的应用,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x+y,即y=-x+z,显然当直线经过点A时,z的值最大,由可得,即A（3,1）,故zmax=

×3+1=5,选D.

8．如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为

A.+4B.2π+C.+4D.π+

【答案】D

【解析】本题考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等,考查空间想象能力和基本的运算能力等.首先根据三视图确定几何体的结构特征,然后根据三视图中的数据确定几何体的几何量,最后求解几何体的体积即可.

由三视图可知,该几何体是一个半圆柱与一个四棱锥的组合体,如图所示,其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面,顶点P在半圆柱所在圆柱OO1的底面圆上,且点P在AB上的射影为底面圆的圆心O.

由三视图中的数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r=1,母线长l=2,故半圆柱的体积V1=

πr2l=π×12×2=π;四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,PO⊥底面ABCD,且PO=r=1,

故其体积V2=S正方形ABCD×PO=×22×1=.故该几何体的体积V=V1+V2=π+.

9．阅读程序框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所组成的集合为

A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{2,3}D.{1,2}

【答案】C

【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的逻辑思维能力和运算能力.解题的关键是读懂程序框图.

通解　要使输出的结果中有且只有三个自然数,只能是5,4,2,所以应使5≤<10,解得1

优解　代入验证法,当n0=1时,输出的结果是10,5,4,2,排除选项A,D,当n0=4时,输出的结果是4,2,排除选项B,故选C.

10．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a,b为常数,a≠0,x∈R）在x=处取得最小值,则函数y=|f（-x）|的

A.最大值为a,且它的图象关于点（π,0）对称

B.最大值为a,且它的图象关于点（,0）对称

C.最大值为b,且它的图象关于直线x=π对称

D.最大值为b,且它的图象关于直线x=对称

【答案】C

【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质等知识,考查考生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.先由条件求出a与b的关系,再进行三角恒等变换,然后由函数的表达式进行求解.

由条件得f（）=f（0）,∴a=-b,∴f（x）=asinx+acosx=asin（x+）,又f（x）在x=处取得最小值,∴a<0,b>0,∴y=|f（-x）|=|asin（-x+）|=|asinx|=b|sinx|,故选C.

11．设等比数列{an}的前n项和为Sn,则M=+,N=Sn（S2n+S3n）的大小关系是

A.M≥NB.N≥MC.M=ND.不确定

【答案】C

【解析】本题考查等比数列的性质.解题的关键是熟练掌握等比数列的性质,且能进行准确计算.

对于等比数列1,-1,1,-1,1,-1,…,S2k=0,S4k-S2k=0,S8k-S4k=0,令n=2k,此时有M=N=0;对于Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,各项均不为零时,∵等比数列{an}的前n项和为Sn,设{an}的公比为q,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是一个公比为qn的等比数列,∴S2n-Sn=Sn×qn,S3n-S2n=Sn×q2n,∴M=+×[1+（1+qn）2]=×（2+2qn+q2n）=Sn×（S2n+S3n）=N.由上可知,M=N,选C.

12．已知函数f（x）=,若方程f（x）-kx+k=0有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是

A.（-1,-]B.[-,0）C.[-1,+∞）D.[-,+∞）

【答案】B

【解析】本题主要考查分段函数、方程的根等知识,考查考生对数形结合思想的运用能力.

要使方程f（x）-kx+k=0有两个不同的实数根,则函数y=f（x）和y=k（x-1）的图象有两个不同的交点,而f（x）=,画出图象,由于y=k（x-1）过定点（1,0）,要使两函数y=f（x）和y=k（x-1）的图象有两个不同的交点,则由图象可知-≤k<0,故选B.

二、填空题：

共4题

13．已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且（3a-2b）⊥a,则a与b的夹角θ的大小为　　　　. 

【答案】

【解析】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量垂直的充要条件,考查考生的运算求解能力.

由题意知（3a-2b）·a=3a2-2a·b=0,即3-2×1×cosθ=0,解得cosθ=,由于0≤θ≤π,因此θ=.

14．已知函数f（x）=log3（a>0）是奇函数,则使不等式f（x）>1成立的x的取值范围为　　　　　.

【答案】（1,2）

【解析】本题主要考查奇函数的定义及对数不等式的解法,考查考生的运算求解能力.解决本题的关键是求出a的值.

由题意得f（-x）+f（x）=log3+log3=0,即a2-x2=1-x2,∴a=1或a=-1（舍去）,∴log3>1,∴1

15．已知点P是抛物线C1:

y2=4x上的动点,过点P作圆C2:

（x-3）2+y2=2的两条切线,则两切线夹角的最大值为　　　　. 

【答案】

【解析】本题主要考查抛物线的性质、圆的切线的性质以及函数的最值等有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.

由已知得,圆心C2（3,0）,半径为 .设点P（,y0）,两切点分别为A,B,要使两切线的夹角最大,只需|PC2|最小,|PC2|=,当=4时,|PC2|min=2,∴∠APC2=∠BPC2=,∴∠APB=.

16．在△ABC中,A=120°,AB=,角B的平分线BD=,则BC=　　　　. 

【答案】

【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理等知识,意在考查考生的运算求解能力及应用能力.本题先利用正弦定理求出∠ADB,得∠ABC=∠ACB,进而得两边相等,最后用余弦定理求解.

在△ABD中,由正弦定理得,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=45°,∴∠ABD=15°,∴∠ABC=30°,∴∠ACB=30°,∴AC=AB=,∴在△ABC中,由余弦定理得BC=

 .

三、解答题：

共8题

17．设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn+2an=2（n∈N*）.

（1）求证:

数列{}是等差数列;

（2）设bn=（1-an）（1-an+1）,求数列{bn}的前n项和Sn.

【答案】

（1）∵Tn+2an=2,∴当n=1时,T1+2a1=2,∴T1=,即.

又当n≥2时,Tn=2-2×,得Tn·Tn-1=2Tn-1-2Tn,

∴-,

∴数列{}是以为首项,为公差的等差数列.

（2）由

（1）知,数列{}为等差数列,∴+（n-1）=,

∴an=,

∴bn=（1-an）（1-an+1）=-,

∴Sn=（-）+（-）+…+（-）=- .

【解析】本题考查数列的基础知识,考查等差数列的定义、通项公式,前n项和的求法等,考查考生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.第

（1）问根据已知条件得出数列{}为等差数列;第

（2）问利用裂项相消法求和.

【备注】近几年的高考数列试题以等差、等比数列为载体,考查等差、等比数列的判断,求数列的通项公式和前n项和,考查数列的基础知识和逻辑推理能力.在复习数列知识的过程中,要求考生掌握好求数列的通项公式和前n项和的基本方法,重视等差数列、等比数列与函数、不等式等知识的综合问题,学会运用函数的观点、分类讨论与等价转化的思想方法分析问题和解决问题,提高运算能力.

18．某校拟举办“成语大赛”,高一

（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试,在相同的测试条件下,两人5次测试的成绩（单位:

分）的茎叶图如图所示.

（1）你认为选派谁参赛更好?

并说明理由;

（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析,求抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率.

【答案】

（1）由茎叶图可知,甲的平均成绩为=73.8（分）,乙的平均成绩为=82.8（分）,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,

又甲的成绩的方差为×[（58-73.8）2+（55-73.8）2+（76-73.8）2+（88-73.8）2+（92-73.8）2]=228.16,

乙的成绩的方差为×[（65-82.8）2+（82-82.8）2+（87-82.8）2+（85-82.8）2+（95-82.8）2]=97.76,

乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差,

因此选派乙参赛更好.

（2）设事件A:

抽到的2次成绩中至少有1次高于90分.

从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次,所有的基本事件为

{58,65},{58,82},{58,87},{58,85},{58,95},

{55,65},{55,82},{55,87},{55,85},{55,95},

{76,65},{76,82},{76,87},{76,85},{76,95},

{88,65},{88,82},{88,87},{88,85},{88,95},

{92,65},{92,82},{92,87},{92,85},{92,95},

共25个.

事件A包含的基本事件为

{58,95},{55,95},{76,95},{88,95},

{92,65},{92,82},{92,87},{92,85},{92,95},

共9个.

所以P（A）=,即抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率为.

【解析】本题考查茎叶图、平均数、方差以及古典概型,考查考生分析问题、解决问题的能力及计算能力.第

（1）问对数据进行分析得出结论;第

（2）问利用列举法,借助古典概型的概率计算公式进行求解.

【备注】在古典概型条件下,当基本事件总数为n时,每一个基本事件发生的概率均为,要求事件A的概率,关键是求出基本事件总数n和事件A所包含的基本事件数m,再由古典概型的概率计算公式P（A）=求出事件A的概率.含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较繁琐时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质求解.

19．如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=3,∠ACB=90°,又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,且BC=3B

（1）求证:

AC⊥平面BB1C1C;

（2）求三棱锥B1-ABC1的体积.

【答案】

（1）∵点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,

∴B1D⊥平面ABC,∵AC⊂平面ABC,∴B1D⊥AC,

又∠ACB=90°,∴BC⊥AC,

又B1D∩BC=D,∴AC⊥平面BB1C1C.

（2）∵B1D⊥平面ABC,∴B1D⊥BC,又BD=1,B1B=AA1=3,

∴B1D==2,

∴四边形B1BCC1的面积=3×2=6,

∴=3.

由

（1）知AC⊥平面BB1C1C,故三棱锥A-B1BC1的高为AC=3,

∴×3×3=3.

【解析】本题主要考查空间几何体中线面垂直的判定、体积的计算,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力及转化与化归思想.第

（1）问关键是找到线线垂直,从而得出线面垂直;第

（2）问利用等体积法求解.

【备注】立体几何试题在高考中主要考查线面平行、线面垂直的证明,体积、距离的计算.证明一般是判定定理和性质定理的运用,如要证线面平行,先找线线平行,然后利用判定定理证明.多面体体积的计算问题关键是运用化归与转化思想找对底面积和高.

20．已知直线l:

y=x+,圆O:

x2+y2=4,椭圆E:

+=1（a>b>0）的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

（1）求椭圆E的方程;

（2）已知动直线l1（斜率存在）与椭圆E交于P,Q两个不同的点,且△OPQ的面积S△OPQ=1,若N为线段PQ的中点,问:

在x轴上是否存在两个不同的定点A,B,使得直线NA与NB的斜率之积为定值?

若存在,求出A,B的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】

（1）设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离d=,则直线l被圆O截得的弦长为2,所以b=1,

∵e=,b=1,∴a2=4,b2=1,

∴椭圆E的方程为+y2=1.

（2）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,直线l1的方程为y=kx+m,

由,消去y,得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0,则判别式Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）>0,∴m2<1+4k2,

x1+x2=-,x1x2=,

|PQ|=·|x1-x2|=,

原点O到直线l1的距离d1=,

则S△OPQ=|PQ|·d1==1,

∴2|m|·=1+4k2,令1+4k2=n,则2|m|·=n,

∴n=2m2,1+4k2=2m2.

∵N为PQ的中点,∴xN==-,yN=,

∵1+4k2=2m2,∴xN=-,yN=,∴+2=1.

假设在x轴上存在两个不同的定点A（s,0）,B（t,0）（s≠t）满足题意,

则直线NA的斜率k1=,直线NB的斜率k2=,

∴k1k2=·=-· .

当且仅当s+t=0,st=-2时,k1k2=-,

则s=,t=-或s=-,t=,

综上所述,存在两个不同的定点A（,0）,B（-,0）或A（-,0）,B（,0）,使得直线NA与NB的斜率之积为定值.

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、性质,考查直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想.

【备注】近几年的高考题中,解析几何一般重点考查圆锥曲线的方程、几何性质和与其他图形结合的综合运用等.第

（1）问都是简单的求解方程和离心率,属于送分题;第

（2）问重点考查思想方法,一般要利用化归与转化思想和设而不求的思想,需利用坐标将问题转化为比较熟悉的弦长问题、距离问题、方程问题等,然后解决.

21．已知函数f（x）=mx--lnx（m∈R）,g（x）=+lnx.

（1）若f（x）-g（x）在[1,+∞）上为单调函数,求实数m的取值范围;

（2）设h（x）=,若在[1,e]上至少存在一个实数x0,使得f（x0）-g（x0）>h（x0）成立,求实数m的取值范围.

【答案】

（1）f（x）-g（x）=mx--2lnx,所以[f（x）-g（x）]'=,

因为f（x）-g（x）在[1,+∞）上为单调函数,

所以mx2-2x+m≥0或mx2-2x+m≤0在[1,+∞）上恒成立.

mx2-2x+m≥0等价于m≥,

[]max=1（当且仅当x=1时等号成立）,所以m≥1.

mx2-2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x,即m≤在[1,+∞）上恒成立,

而∈（0,1],所以m≤0.

综上,m的取值范围是（-∞,0]∪[1,+∞）.

（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x）=mx--2lnx-,

当m≤0时,x∈[1,e],mx-≤0,-2lnx-<0,

所以此时在[1,e]上不存在x0,使得f（x0）-g（x0）>h（x0）成立.

当m>0时,F'（x）=m+-+,

因为x∈[1,e],所以2e-2x≥0,mx2+m>0,所以F'（x）>0在[1,e]上恒成立,

故F（x）在[1,e]上单调递增,F（x）max=me--4,

所以只需me--4>0,解得m>,

故实数m的取值范围是（,+∞）.

【解析】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想的应用.第

（1）问利用导数研究函数的单调性;第

（2）问构造函数,利用分类讨论思想求解.

【备注】导数是高考对函数知识考查的重点之一,通常作为压轴题,主要包括极值、最值的求解,不等式的综合,单调性的探讨,导数的几何意义等,常以导数为工具研究函数的图象与性质,并常以方程的根、不等式恒成立、不等式有解相结合的形式出现,解题的关键是正确求导,并注意分类讨论和数形结合思想的运用.

22．如图,四边形ABCD内接于圆O,且对边BA和CD的延长线相交于点E,P是BC延长线上的点,过点P作圆O的切线,切点为F,连接PE,且PE=PF.

求证:

（1）AD∥PE;

（2） .

【答案】

（1）∵PF是圆O的切线,

∴PF2=PB·PC,

∵PE=PF,∴PE2=PB·PC,即,

又∠EPB=∠CPE,∴△EPB∽△CPE,∴∠EBP=∠CEP.

又四边形ABCD内接于圆O,∴∠ADE=∠EBP,

∴∠ADE=∠CEP,∴AD∥PE.

（2）∵△EPB∽△CPE,∴,

又PE=PF,∴,

∵PF是圆O的切线,∴∠PBF=∠PFC,

又∠BPF=∠CPF,∴△PBF∽△PFC,∴,

∴ .

【解析】本题主要考查平面几何中圆的切线的性质、圆内接四边形的性质与相似三角形的证明,考查考生的转化与化归能力、推理论证能力.第

（1）问运用圆的切割线定理进行三角形相似的证明,从而得到线线平行;第

（2）问借助弦切角定理证明相等关系,证明三角形相似,从而得到线段成比例.

【备注】几何证明选讲要求考生掌握好几个重要定理:

直角三角形的射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、相交弦定理与切割线定理.这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决,因此在复习时要注意总结一些添加辅助线的方法和技巧.

23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.

（1）求证:

曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0;

（2）设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.

【答案】

（1）∵ρ=,

∴ρ-ρcosθ=2,即ρ=ρcosθ+2,

∴ρ2=（x+2）2,化简得y2-4x-4=0.

∴曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0.

（2）∵（t为参数）,

∴2x+y+4=0,

∴曲线C1的普通方程为2x+y+4=0,

∴曲线C1是直线2x+y+4=0.

∵M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,

∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.

设M2（r2-1,2r）,M2到直线2x+y+4=0的距离为d,

则d=≥.

∴|M1M2|的最小值为.

【解析】无

24．已知函数f（x）=|2x-a|.

（1）若f（x）

（2）若a=2时,不等式f（x）+m≥f（x+2）对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.

【答案】

（1）∵|2x-a|

∵f（x）

∴,∴ .

（2）由已知,得m≥f（x+2）-f（x）=|2x+2|-|2x-2|对一切实数x均成立,

又|2x+2|-|2x-2|≤|（2x+2）-（2x-2）|=4,

∴m≥4.

【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查考生的转化能力和计算能力.

【备注】对于带有绝对值的不等式的求解,要掌握好三种方法:

一是根据绝对值的几何意义,借助于数轴的直观解法;二是根据绝对值的意义,采用零点分段法去绝对值后,转化为不等式组的方法;三是构造函数,利用函数图象求解的方法.在解题过程中,应根据不同的问题情境灵活运用这些方法.