高考数学二轮复习专题八附加题第2讲计数原理随机变量数学归纳文档格式.docx
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热点二 随机变量及其概率分布
例2 （2018·
南京师大附中考前模拟）如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.
（1）求S＝的概率；
（2）求S的概率分布及数学期望E（S）．
解
（1）从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，
其中S＝的为有一个角是30°
的直角三角形，（如△P1P4P5），共6×
2＝12种，
所以P＝＝.
（2）S的所有可能取值为，，.
S＝的为顶角是120°
的等腰三角形（如△P1P2P3），
共6种，所以P＝＝.
S＝的为等边三角形（如△P1P3P5），
共2种，所以P＝＝.
又由
（1）知P＝＝，故S的概率分布为
S
P
所以E（S）＝×
＝.
思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法
先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算．
跟踪演练2 （2018·
南通、徐州、扬州等六市模拟）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：
由电脑随机生成一张如图所示的3×
3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．
（1）求概率P；
（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．
解
（1）从3×
3表格中随机不重复地点击3格，共有C种不同情形，则事件“X＝600”包含两类情形：
第一类是3格各得奖200元；
第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含C种情形，第二类包含C·
C·
C种情形．
∴P＝＝.
（2）X的所有可能值为300,400,500,600,700.
则P＝＝＝，
P＝＝＝，
P（X＝600）＝，
P＝＝＝.
∴X的概率分布为
X
300
400
500
600
700
∴E＝300×
＋400×
＋500×
＋600×
＋700×
＝500.
热点三 数学归纳法
例3 （2018·
江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考）已知数列满足an＝C＋＋＋＋…＋，n∈N*.
（1）求a1,a2,a3的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
解
（1）a1＝2,a2＝4,a3＝8.
（2）猜想：
an＝2n（n∈N*）．
证明如下：
①当n＝1时，由
（1）知结论成立；
②假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时结论成立，
则有ak＝C＋＋＋＋…＋＝2k.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝C＋＋＋＋…＋.
由C＝C＋C得
ak＋1＝C＋＋＋＋…＋＋
＝2k＋＋＋＋…＋＋
＝2k＋
＝2k＋.
又C＝＝
＝＝C，
ak＋1＝2k＋，
于是ak＋1＝2k＋ak＋1.
所以ak＋1＝2k＋1,故n＝k＋1时结论也成立．
由①②得，an＝2n，n∈N*.
思维升华 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
跟踪演练3 （2018·
常州期末）记×
×
…×
（n≥2且n∈N*）的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.
（1）求Sn；
（2）若＝an2＋bn＋c对n＝2,3,4成立，求实数a，b，c的值；
（3）对
（2）中的实数a，b，c用数学归纳法证明：
对任意n≥2且n∈N*,＝an2＋bn＋c都成立．
（1）解 Sn＝＝.
（2）解 ＝，＝，＝，
则
解得a＝，b＝－，c＝－，
（3）证明 ①当n＝2时，由
（2）知等式成立；
②假设n＝k（k∈N*，且k≥2）时，等式成立，
即＝k2－k－.
当n＝k＋1时，由f（x）＝×
＝×
＝，
知Tk＋1＝Sk＋Tk
＝·
所以＝
＝＝，
又2－－＝，
等式也成立；
综上可得，对任意n≥2且n∈N*，
都有＝－－成立．
1．（2018·
全国大联考江苏卷）
（1）求4C－7C＋（n≥k，且n，k∈N*）的值．
（2）设f（n）＝1·
3＋2·
32＋…＋nC·
3n（n∈N*），求方程f（n）＝3840的所有解．
解
（1）因为4C＝4×
35＝140,7C＝7×
20＝140，
kC＝k·
＝n·
＝nC（n≥k，且n，k∈N*）．
所以4C－7C＋＝1.
（2）由
（1）知kC＝nC对1≤k≤n，且n，k∈N*成立．
所以f（n）＝n（C3＋C32＋…＋C3n），
所以f（n）＝3n（C＋C3＋…＋C3n－1）
＝3n（1＋3）n－1＝3n·
4n－1（n∈N*）．
又因为＝＝＝4＋>
1，即f（n＋1）>
f（n）对n∈N*成立，
所以f（n）是关于n（n∈N*）的递增函数．
又因为f（n）＝3840＝3×
5×
44＝f（5），
所以当且仅当n＝5时才满足条件，即n＝5是方程f（n）＝3840的唯一解．
2．（2018·
江苏）设n∈N*，对1,2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：
对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1），（3,1），则排列231的逆序数为2.记fn（k）为1,2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3
（2），f4
（2）的值；
（2）求fn
（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
解
（1）记τ（abc）为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列，有
τ（123）＝0，τ（132）＝1，τ（213）＝1，τ（231）＝2，τ（312）＝2，τ（321）＝3，
所以f3（0）＝1，f3
（1）＝f3
（2）＝2.
对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，f4
（2）＝f3
（2）＋f3
（1）＋f3（0）＝5.
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：
12…n，所以fn（0）＝1.
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn
（1）＝n－1.
为计算fn＋1
（2），当1,2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n＋1添加进原排列，n＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，fn＋1
（2）＝fn
（2）＋fn
（1）＋fn（0）＝fn
（2）＋n.
当n≥5时，fn
（2）＝[fn
（2）－fn－1
（2）]＋[fn－1
（2）－fn－2
（2）]＋…＋[f5
（2）－f4
（2）]＋f4
（2）＝（n－1）＋（n－2）＋…＋4＋f4
（2）＝，
因此，当n≥5时，fn
（2）＝.
3．已知实数数列{an}满足：
a1＝3，an＝·
（an－1＋2），n≥2.
证明：
当n≥2时，{an}是单调减数列．
证明 当n≥1时，有an＋1－an＝an＋＝（n＋3－nan）．
下面用数学归纳法证明：
an>
1＋（n≥2，n∈N*）．
（1）当n＝2时，a2＝（3＋2）＝>
1＋；
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，结论成立，即ak>
1＋.
那么，ak＋1＝（ak＋2）>
＝1＋>
故由
（1）
（2）知，an>
因此，当n≥2，n∈N*时，an＋1－an＝（n＋3－nan）<
0，即当n≥2时，{an}是单调减数列．
4．（2018·
江苏盐城中学模拟）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．
解
（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”．
所以P（A）＝1－P（）＝1－＝.
所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
（2）设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.
依题意知，X＝ax＋2a（4－x），故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.
则P（X＝8a）＝P（x＝0）＝＝，
P（X＝7a）＝P（x＝1）＝＝，
P（X＝6a）＝P（x＝2）＝＝，
P（X＝5a）＝P（x＝3）＝＝.
从而X的概率分布为
8a
7a
6a
5a
所以X的数学期望E（X）＝8a×
＋7a×
＋6a×
＋5a×
＝a.
A组 专题通关
1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E（X）．
解
（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝.
（2）由题意得X～B，
P（X＝k）＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
所以X的概率分布为
1
2
3
4
5
所以X的数学期望E（X）＝5×
江苏省南京师大附中模拟）设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．
（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对（A，B）的个数；
（2）若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对（A，B）的个数．
解
（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，
则A＝∅，，，则（A，B）的个数为3；
若集合B含有1个元素，则B有C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时（A，B）的个数为C×
1＝2.
综上，（A，B）的个数为5.
（2）集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，
则不同的有序集合对（A，B）的个数为2n（2n－1）．
若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对（A，B）的个数为
C（C－1）＋C（C－1）＋C（C－1）＋…＋C（C－1）
＝2＋2＋2＋…＋2－（C＋C＋C＋…＋C），
又（x＋1）n（x＋1）n的展开式中xn的系数为2＋2＋2＋…＋2,
且（x＋1）n（x＋1）n＝（x＋1）2n的展开式中xn的系数为C，
所以2＋2＋2＋…＋2＝C.
因为C＋C＋C＋…＋C＝2n，
所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，
有序集合对（A，B）的个数为C－2n.
所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对（A，B）的个数为
＝.
3．已知2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.记Tn＝an－k.
（1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：
对任意的n∈N*,Tn都能被4n＋2整除．
解 由二项式定理，得ai＝C（i＝0,1,2，…，2n＋1）．
（1）T2＝a2＋3a1＋5a0＝C＋3C＋5C＝30.
（2）∵C
∴Tn＝an－k＝C＝C
＝C
＝2C－C
＝2C－C＝2·
·
－·
22n＋1＝C.
∴Tn＝C＝
＝2C.
∵C∈N*，
∴Tn能被4n＋2整除．
4．是否存在正整数m使得f（n）＝（2n＋7）·
3n＋9对任意正整数n都能被m整除？
若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；
若不存在，说明理由．
解 由f（n）＝（2n＋7）·
3n＋9，得f
（1）＝36，f
（2）＝3×
36，f（3）＝10×
36，f（4）＝34×
36，由此猜想m＝36.
①当n＝1时，结论显然成立；
②假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，结论成立，即f（k）能被36整除，
设f（k）＝（2k＋7）·
3k＋9＝t·
36.
当n＝k＋1时，
f（k＋1）＝[2（k＋1）＋7]·
3k＋1＋9
＝（2k＋7）·
3k＋1＋2·
＝3[（2k＋7）·
3k＋9]＋18（3k－1－1）
＝3·
36t＋18·
2s＝36（3t＋s）．
所以当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切正整数n，存在正整数m，使得
f（n）＝（2n＋7）·
3n＋9都能被m整除，m的最大值为36.
B组 能力提高
5．（2018·
常州模拟）已知正四棱锥P－ABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：
若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；
若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求P的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布及数学期望E.
解 根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC，△PBD为等腰直角三角形，ξ的可能取值为：
0,，，共C＝28种情况，其中，当ξ＝0时，有2种；
当ξ＝时，有3×
4＋2×
4＝20（种）；
当ξ＝时，有2＋4＝6（种）．
（1）P＝＝.
（2）P＝＝，P＝＝，
根据
（1）的结论，随机变量的概率分布如下表：
ξ
根据上表，E＝0×
＝π.
6．设P（n，m）＝（－1）kC，Q（n，m）＝C，其中m，n∈N*.
（1）当m＝1时，求P（n,1）·
Q（n,1）的值；
（2）对∀m∈N*，证明：
P（n，m）·
Q（n，m）恒为定值．
（1）解 当m＝1时，P（n,1）＝（－1）kC
＝（－1）kC＝，
又Q（n,1）＝C＝n＋1，显然P（n,1）·
Q（n,1）＝1.
（2）证明 P（n，m）＝（－1）kC
＝1＋（－1）k（C＋C）＋（－1）n
＝1＋（－1）kC＋（－1）kC
＝P（n－1，m）＋（－1）kC
＝P（n－1，m）－（－1）kC
＝P（n－1，m）－P（n，m）．
即P（n，m）＝P（n－1，m），
由累乘，易求得P（n，m）＝＝，
又Q（n，m）＝C，所以P（n，m）·
Q（n，m）＝1.
7．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是m展开式的前三项的系数．
（1）求m展开式的中间项；
（2）当n≥2时，试比较＋＋＋…＋与的大小．
解
（1）m＝1＋C＋C2＋…＋Cm，
依题意a1＝1，a2＝m，a3＝，
由2a2＝a1＋a3，可得m＝1（舍去）或m＝8.
所以m展开式的中间项是第五项，
T5＝C4＝x4.
（2）由
（1）知，an＝3n－2，
当n＝2时，＋＋＋…＋＝＋＋＝＋＋＝>
；
当n＝3时，＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋＋＋
＝＋＋
>
＋＋
＝＋＋>
＋＋>
猜测：
当n≥2时，＋＋＋…＋>
以下用数学归纳法加以证明：
①当n＝2时，结论成立．
②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，＋＋＋…＋>
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋
＝＋
＋>
＋－
＝＋－
＝＋.
由k≥3可知，3k2－7k－3>
0，
即＋＋＋…＋>
综合①②，可得当n≥2时，
＋＋＋…＋>
8．设|θ|<
，n为正整数，数列{an}的通项公式an＝sin·
tannθ，其前n项和为Sn.
（1）求证：
当n为偶数时，an＝0；
当n为奇数时，an＝（－1）
tannθ.
对任意正整数n，S2n＝sin2θ·
[1＋（－1）n＋1·
tan2nθ]．
证明
（1）因为an＝sintannθ.
当n为偶数时，设n＝2k（k∈N*），an＝a2k＝sintan2kθ＝sinkπ·
tan2kθ＝0，an＝0.
当n为奇数时，设n＝2k－1（k∈N*），an＝a2k－1
＝sintan2k－1θ＝sin·
tan2k－1θ.
当k＝2m（m∈N*）时，
an＝a2k－1＝sin·
tan4m－1θ
＝sin·
tan4m－1θ＝－tan4m－1θ，
此时＝2m－1，
an＝a2k－1＝－tan4m－1θ＝（－1）2m－1tan4m－1θ
＝（－1）
tannθ.
当k＝2m－1（m∈N*）时，
tan4m－3θ
tan4m－3θ＝tan4m－3θ，
此时＝2m－2，an＝a2k－1＝tan4m－3θ＝（－1）2m－2tan4m－3θ＝（－1）
综上，当n为偶数时，an＝0；
（2）当n＝1时，由
（1）得S2＝a1＋a2＝tanθ，
sin2θ[1＋（－1）n＋1tan2nθ]＝sin2θ（1＋tan2θ）
＝sinθ·
cosθ·
＝tanθ.
故当n＝1时，命题成立．
假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时命题成立，
即S2k＝sin2θ·
[1＋（－1）k＋1tan2kθ]．
当n＝k＋1时，由
（1）得
S2（k＋1）＝S2k＋a2k＋1＋a2k＋2＝S2k＋a2k＋1
＝sin2θ·
[1＋（－1）k＋1tan2kθ]＋（－1）ktan2k＋1θ
[1＋（－1）k＋2·
tan2k＋2θ]．
即当n＝k＋1时命题成立．
综上所述，对正整数n，命题成立．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；
读太阳，读出了它普照万物的无私；
读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；
幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.
幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；
幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；
幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：
从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；
从归雁的行列中，我读出了集体的力量；
从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；
从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；
从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；
朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；
朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；
青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；
青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；
青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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