高考数学二轮复习专题八附加题第2讲计数原理随机变量数学归纳.docx
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高考数学二轮复习专题八附加题第2讲计数原理随机变量数学归纳
第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法
[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B级要求.2.考查n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B级要求．
热点一 计数原理与二项式定理
例1 （2018·苏州调研）已知fn（x）＝n，n∈N*.
（1）当a＝1时，求f5（x）展开式中的常数项；
（2）若二项式fn（x）的展开式中含有x7的项，当n取最小值时，展开式中含x的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a的值．
解 二项式n的展开式通项为
Tr＋1＝Cn－rr＝C（3a）rx2n－5r（r＝0,1,2，…，n），
（1）当n＝5，a＝1时，f（x）的展开式的常数项为T3＝9C＝90.
（2）令2n－5r＝7，则r＝∈N，所以n的最小值为6，
当n＝6时，二项式6的展开式通项为
Tr＋1＝C（3a）rx12－5r（r＝0,1,2，…，6），
则展开式中含x的正整数次幂的项为T1，T2，T3，它们的系数之和为
C＋C（3a）＋C（3a）2＝135a2＋18a＋1＝10，
即15a2＋2a－1＝0，解得a＝－或.
思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：
（1）某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别．
（2）根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．
（3）关于x的二项式（a＋bx）n（a，b为常数）的展开式可以看成是关于x的函数，且当x给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．
跟踪演练1 （2018·江苏丹阳高级中学期中）设n≥3，n∈N*，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b.
（1）当n＝3时，求a，b的值；
（2）求证：
对任意的n≥3，n∈N*，为定值．
（1）解 当n＝3时，集合的所有元素个数为2的子集为，，，所以a＝2＋3＋3＝8,
b＝1＋1＋2＝4.
（2）证明 当n≥3，n∈N*时，依题意，
b＝1×C＋2×C＋3×C＋…＋×
＋×
，
a＝2×C＋3×C＋4×C＋…＋×C＋n×C
＝2×1＋3×2＋4×3＋…＋×＋n×.
则＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C，
所以a＝2C.
又a＋b＝（n－1）（1＋2＋3＋…＋n）＝×＝3C，所以b＝C.故＝.
热点二 随机变量及其概率分布
例2 （2018·南京师大附中考前模拟）如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.
（1）求S＝的概率；
（2）求S的概率分布及数学期望E（S）．
解
（1）从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，
其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形，（如△P1P4P5），共6×2＝12种，
所以P＝＝.
（2）S的所有可能取值为，，.
S＝的为顶角是120°的等腰三角形（如△P1P2P3），
共6种，所以P＝＝.
S＝的为等边三角形（如△P1P3P5），
共2种，所以P＝＝.
又由
（1）知P＝＝，故S的概率分布为
S
P
所以E（S）＝×＋×＋×＝.
思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法
先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算．
跟踪演练2 （2018·南通、徐州、扬州等六市模拟）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：
由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．
（1）求概率P；
（2）求X的概率分布及数学期望E（X）．
解
（1）从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C种不同情形，则事件“X＝600”包含两类情形：
第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含C种情形，第二类包含C·C·C种情形．
∴P＝＝.
（2）X的所有可能值为300,400,500,600,700.
则P＝＝＝，
P＝＝＝，
P＝＝＝，
P（X＝600）＝，
P＝＝＝.
∴X的概率分布为
X
300
400
500
600
700
P
∴E＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝500.
热点三 数学归纳法
例3 （2018·江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考）已知数列满足an＝C＋＋＋＋…＋，n∈N*.
（1）求a1,a2,a3的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
解
（1）a1＝2,a2＝4,a3＝8.
（2）猜想：
an＝2n（n∈N*）．
证明如下：
①当n＝1时，由
（1）知结论成立；
②假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时结论成立，
则有ak＝C＋＋＋＋…＋＝2k.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝C＋＋＋＋…＋.
由C＝C＋C得
ak＋1＝C＋＋＋＋…＋＋
＝2k＋＋＋＋…＋＋
＝2k＋
＝2k＋.
又C＝＝
＝＝C，
ak＋1＝2k＋，
于是ak＋1＝2k＋ak＋1.
所以ak＋1＝2k＋1,故n＝k＋1时结论也成立．
由①②得，an＝2n，n∈N*.
思维升华 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
跟踪演练3 （2018·常州期末）记××…×（n≥2且n∈N*）的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.
（1）求Sn；
（2）若＝an2＋bn＋c对n＝2,3,4成立，求实数a，b，c的值；
（3）对
（2）中的实数a，b，c用数学归纳法证明：
对任意n≥2且n∈N*,＝an2＋bn＋c都成立．
（1）解 Sn＝＝.
（2）解 ＝，＝，＝，
则
解得a＝，b＝－，c＝－，
（3）证明 ①当n＝2时，由
（2）知等式成立；
②假设n＝k（k∈N*，且k≥2）时，等式成立，
即＝k2－k－.
当n＝k＋1时，由f（x）＝××…××
＝×＝，
知Tk＋1＝Sk＋Tk
＝·，
所以＝
＝＝，
又2－－＝，
等式也成立；
综上可得，对任意n≥2且n∈N*，
都有＝－－成立．
1．（2018·全国大联考江苏卷）
（1）求4C－7C＋（n≥k，且n，k∈N*）的值．
（2）设f（n）＝1·C·3＋2·C·32＋…＋nC·3n（n∈N*），求方程f（n）＝3840的所有解．
解
（1）因为4C＝4×35＝140,7C＝7×20＝140，
kC＝k·＝n·＝nC（n≥k，且n，k∈N*）．
所以4C－7C＋＝1.
（2）由
（1）知kC＝nC对1≤k≤n，且n，k∈N*成立．
所以f（n）＝n（C3＋C32＋…＋C3n），
所以f（n）＝3n（C＋C3＋…＋C3n－1）
＝3n（1＋3）n－1＝3n·4n－1（n∈N*）．
又因为＝＝＝4＋>1，即f（n＋1）>f（n）对n∈N*成立，
所以f（n）是关于n（n∈N*）的递增函数．
又因为f（n）＝3840＝3×5×44＝f（5），
所以当且仅当n＝5时才满足条件，即n＝5是方程f（n）＝3840的唯一解．
2．（2018·江苏）设n∈N*，对1,2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：
对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1），（3,1），则排列231的逆序数为2.记fn（k）为1,2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3
（2），f4
（2）的值；
（2）求fn
（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
解
（1）记τ（abc）为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列，有
τ（123）＝0，τ（132）＝1，τ（213）＝1，τ（231）＝2，τ（312）＝2，τ（321）＝3，
所以f3（0）＝1，f3
（1）＝f3
（2）＝2.
对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，f4
（2）＝f3
（2）＋f3
（1）＋f3（0）＝5.
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：
12…n，所以fn（0）＝1.
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn
（1）＝n－1.
为计算fn＋1
（2），当1,2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n＋1添加进原排列，n＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，fn＋1
（2）＝fn
（2）＋fn
（1）＋fn（0）＝fn
（2）＋n.
当n≥5时，fn
（2）＝[fn
（2）－fn－1
（2）]＋[fn－1
（2）－fn－2
（2）]＋…＋[f5
（2）－f4
（2）]＋f4
（2）＝（n－1）＋（n－2）＋…＋4＋f4
（2）＝，
因此，当n≥5时，fn
（2）＝.
3．已知实数数列{an}满足：
a1＝3，an＝·（an－1＋2），n≥2.
证明：
当n≥2时，{an}是单调减数列．
证明 当n≥1时，有an＋1－an＝an＋＝（n＋3－nan）．
下面用数学归纳法证明：
an>1＋（n≥2，n∈N*）．
（1）当n＝2时，a2＝（3＋2）＝>1＋；
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥2）时，结论成立，即ak>1＋.
那么，ak＋1＝（ak＋2）>
＝1＋>1＋.
故由
（1）
（2）知，an>1＋（n≥2，n∈N*）．
因此，当n≥2，n∈N*时，an＋1－an＝（n＋3－nan）<0，即当n≥2时，{an}是单调减数列．
4．（2018·江苏盐城中学模拟）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．
解
（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”．
所以P（A）＝1－P（）＝1－＝.
所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
（2）设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.
依题意知，X＝ax＋2a（4－x），故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.
则P（X＝8a）＝P（x＝0）＝＝，
P（X＝7a）＝P（x＝1）＝＝，
P（X＝6a）＝P（x＝2）＝＝，
P（X＝5a）＝P（x＝3）＝＝.
从而X的概率分布为
X
8a
7a
6a
5a
P
所以X的数学期望E（X）＝8a×＋7a×＋6a×＋5a×＝a.
A组 专题通关
1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E（X）．
解
（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P＝1－＝.
（2）由题意得X～B，
P（X＝k）＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以X的数学期望E（X）＝5×＝.
2．（2018·江苏省南京师大附中模拟）设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．
（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对（A，B）的个数；
（2）若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对（A，B）的个数．
解
（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，
则A＝∅，，，则（A，B）的个数为3；
若集合B含有1个元素，则B有C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，此时（A，B）的个数为C×1＝2.
综上，（A，B）的个数为5.
（2）集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，
则不同的有序集合对（A，B）的个数为2n（2n－1）．
若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对（A，B）的个数为
C（C－1）＋C（C－1）＋C（C－1）＋…＋C（C－1）
＝2＋2＋2＋…＋2－（C＋C＋C＋…＋C），
又（x＋1）n（x＋1）n的展开式中xn的系数为2＋2＋2＋…＋2,
且（x＋1）n（x＋1）n＝（x＋1）2n的展开式中xn的系数为C，
所以2＋2＋2＋…＋2＝C.
因为C＋C＋C＋…＋C＝2n，
所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，
有序集合对（A，B）的个数为C－2n.
所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对（A，B）的个数为
＝.
3．已知2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.记Tn＝an－k.
（1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：
对任意的n∈N*,Tn都能被4n＋2整除．
解 由二项式定理，得ai＝C（i＝0,1,2，…，2n＋1）．
（1）T2＝a2＋3a1＋5a0＝C＋3C＋5C＝30.
（2）∵C
＝·
＝＝C，
∴Tn＝an－k＝C＝C
＝C
＝2C－C
＝2C－C＝2··－··22n＋1＝C.
∴Tn＝C＝
＝2C.
∵C∈N*，
∴Tn能被4n＋2整除．
4．是否存在正整数m使得f（n）＝（2n＋7）·3n＋9对任意正整数n都能被m整除？
若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
解 由f（n）＝（2n＋7）·3n＋9，得f
（1）＝36，f
（2）＝3×36，f（3）＝10×36，f（4）＝34×36，由此猜想m＝36.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，结论显然成立；
②假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，结论成立，即f（k）能被36整除，
设f（k）＝（2k＋7）·3k＋9＝t·36.
当n＝k＋1时，
f（k＋1）＝[2（k＋1）＋7]·3k＋1＋9
＝（2k＋7）·3k＋1＋2·3k＋1＋9
＝3[（2k＋7）·3k＋9]＋18（3k－1－1）
＝3·36t＋18·2s＝36（3t＋s）．
所以当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切正整数n，存在正整数m，使得
f（n）＝（2n＋7）·3n＋9都能被m整除，m的最大值为36.
B组 能力提高
5．（2018·常州模拟）已知正四棱锥P－ABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：
若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；
若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求P的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布及数学期望E.
解 根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC，△PBD为等腰直角三角形，ξ的可能取值为：
0,，，共C＝28种情况，其中，当ξ＝0时，有2种；当ξ＝时，有3×4＋2×4＝20（种）；
当ξ＝时，有2＋4＝6（种）．
（1）P＝＝.
（2）P＝＝，P＝＝，
根据
（1）的结论，随机变量的概率分布如下表：
ξ
0
P
根据上表，E＝0×＋×＋×＝π.
6．设P（n，m）＝（－1）kC，Q（n，m）＝C，其中m，n∈N*.
（1）当m＝1时，求P（n,1）·Q（n,1）的值；
（2）对∀m∈N*，证明：
P（n，m）·Q（n，m）恒为定值．
（1）解 当m＝1时，P（n,1）＝（－1）kC
＝（－1）kC＝，
又Q（n,1）＝C＝n＋1，显然P（n,1）·Q（n,1）＝1.
（2）证明 P（n，m）＝（－1）kC
＝1＋（－1）k（C＋C）＋（－1）n
＝1＋（－1）kC＋（－1）kC
＝P（n－1，m）＋（－1）kC
＝P（n－1，m）－（－1）kC
＝P（n－1，m）－P（n，m）．
即P（n，m）＝P（n－1，m），
由累乘，易求得P（n，m）＝＝，
又Q（n，m）＝C，所以P（n，m）·Q（n，m）＝1.
7．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是m展开式的前三项的系数．
（1）求m展开式的中间项；
（2）当n≥2时，试比较＋＋＋…＋与的大小．
解
（1）m＝1＋C＋C2＋…＋Cm，
依题意a1＝1，a2＝m，a3＝，
由2a2＝a1＋a3，可得m＝1（舍去）或m＝8.
所以m展开式的中间项是第五项，
T5＝C4＝x4.
（2）由
（1）知，an＝3n－2，
当n＝2时，＋＋＋…＋＝＋＋＝＋＋＝>；
当n＝3时，＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋＋＋
＝＋＋
>＋＋
＝＋＋>＋＋>.
猜测：
当n≥2时，＋＋＋…＋>.
以下用数学归纳法加以证明：
①当n＝2时，结论成立．
②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，＋＋＋…＋>，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋
＝＋
>＋>＋－
＝＋－
＝＋
＝＋.
由k≥3可知，3k2－7k－3>0，
即＋＋＋…＋>.
综合①②，可得当n≥2时，
＋＋＋…＋>.
8．设|θ|<，n为正整数，数列{an}的通项公式an＝sin·tannθ，其前n项和为Sn.
（1）求证：
当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝（－1）
tannθ.
（2）求证：
对任意正整数n，S2n＝sin2θ·[1＋（－1）n＋1·tan2nθ]．
证明
（1）因为an＝sintannθ.
当n为偶数时，设n＝2k（k∈N*），an＝a2k＝sintan2kθ＝sinkπ·tan2kθ＝0，an＝0.
当n为奇数时，设n＝2k－1（k∈N*），an＝a2k－1
＝sintan2k－1θ＝sin·tan2k－1θ.
当k＝2m（m∈N*）时，
an＝a2k－1＝sin·tan4m－1θ
＝sin·tan4m－1θ＝－tan4m－1θ，
此时＝2m－1，
an＝a2k－1＝－tan4m－1θ＝（－1）2m－1tan4m－1θ
＝（－1）
tannθ.
当k＝2m－1（m∈N*）时，
an＝a2k－1＝sin·tan4m－3θ
＝sin·tan4m－3θ＝tan4m－3θ，
此时＝2m－2，an＝a2k－1＝tan4m－3θ＝（－1）2m－2tan4m－3θ＝（－1）
tannθ.
综上，当n为偶数时，an＝0；
当n为奇数时，an＝（－1）
tannθ.
（2）当n＝1时，由
（1）得S2＝a1＋a2＝tanθ，
sin2θ[1＋（－1）n＋1tan2nθ]＝sin2θ（1＋tan2θ）
＝sinθ·cosθ·＝tanθ.
故当n＝1时，命题成立．
假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时命题成立，
即S2k＝sin2θ·[1＋（－1）k＋1tan2kθ]．
当n＝k＋1时，由
（1）得
S2（k＋1）＝S2k＋a2k＋1＋a2k＋2＝S2k＋a2k＋1
＝sin2θ·[1＋（－1）k＋1tan2kθ]＋（－1）ktan2k＋1θ
＝sin2θ·
＝sin2θ·
＝sin2θ·
＝sin2θ·[1＋（－1）k＋2·tan2k＋2θ]．
即当n＝k＋1时命题成立．
综上所述，对正整数n，命题成立．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：
从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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