初中数学专题复习方案设计题含解答.docx
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初中数学专题复习方案设计题含解答
专题复习四方案设计题
一、知识系统网络
近年来,在各地中考试题中,出现了方案设计题.方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等.命题的方案设计也出现创新、新颖、异彩纷呈的新趋势.毛
二、中考题型例析
1.设计图形题
例1（2003·潍坊）小明家有一块三角形菜地,要种植面积相等的四种蔬菜,请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）.
方案一方案二方案三方案四
分析:
解决本题作图主要用到的是三角形面积公式,考查学生对这一公式和相关概念的灵活运用,以及分解平面图形的能力.
解:
方案一方案二方案三方案四
2.设计测量方案题
例2（2004·青岛）在一次实验活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案（如图1所示）:
（1）在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;
（3）量出测倾器的高度AC=h.
根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.
如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山高度（如图2）的方案:
（1）在图中,画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）;
（2）写出你设计的方案.
（1）
（2）（3）
分析:
本题主要考查解决直角三角形的有关知识,学生根据提供的信息容易写出测量方案.
解:
（1）正确画出示意图（如图3）
（2）①在测点A处安置测倾器,测得此时山顶M的仰角∠MCE=α;
②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上）,测得此时山顶M的仰角∠MDE=β;
③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A、B之间的距离AB=m.根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.
点评:
数学与生活紧密相连,将一些数学知识置于生活情景之中,使学生进一步论证以数学就在身边,会用数学知识解决现实生活中的问题.
3.设计最佳方案题
例3（2003·广州）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.
（1）设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的函数关系式;
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节乙型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按时要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?
（3）在上述方案中,哪个方案运费最省?
最少运费为多少元?
分析:
解答应用题,先要读懂文字,理解题意,再将其翻译成数学语言,建立数学模型.从条件和提高的角度看,A、B两种车厢的节数是一个范围内的整数值,由此需用不等式组来求解.
解:
（10设用A型车厢x节,则用B型车厢（40-x）节,总运费为y万元.
依题意,得y=0.6x+0.8（40-x）=-0.2x+32.
（2）依题意,得
化简,得
∴24≤x≤26.
∵x取整数,故A型车厢可用24节或25节或26节,相应有三种装车方案:
①24节A型车厢和16节B型车厢;
②25节A型车厢和15节B型车厢;
③26节A型车厢和14节B型车厢.
（3）由函数y=-0.2x+32知,x越大,y越小,故
当x=26时,运费最省.这时y=-0.2×26+32=26.8（万元）.
答:
安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省,最少运费为26.8万元.
点评:
与当今各行业都密切相关的“最好、最省、最大、最低”等优化问题常常与函数的解析式及性质有关,因此,加强培养学生用函数知识解决优化问题的意识和能力势在必行.
专题训练
1.（2004·潍坊）现有树12棵,把它栽成三排,要求每排恰好为5棵,如图所示就是一种符合条件的栽法,请你再给出三种不同的栽法（画出图形即可）.
2.（2003·河北）探究规律:
如图
（1）,已知:
直线m∥n,A、B为直线n上两点,C、P为直线m上两点.
（1）请写出图
（1）中,面积相等的各对三角形:
_______________________________;
（2）如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,总有________与△ABC的面积相等.理由是:
_____________;
解决问题:
如图
（2）,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图.经过多年开垦荒地,现已变成如图（3）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图（3）中折线CDE）还保留着.张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案.（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案,并在图（3）中画出相应的图形;
（2）说明方案设计理由.
3.（2004·潍坊）图为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离（我们不能直接量得）.
请你根据所学知识,以卷尺和测量仪为测量工具设计一种测量方案.
要求:
（1）画出你设计的测量平面图;
（2）简述测量方法,并写出测量的数据（长度用a,b,c…表示;角度用α,β,γ,…表示）.
（3）根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.
4.（2004·哈尔滨）“利海”通讯器材商场,计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机,出厂价分别为甲种型号手机每部1800元,乙种型号的手机每部600元,丙种型号手机每部1200元.
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完.请你帮助商场计算一下如何购买.
（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完,并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部,请你求出商场每种型号手机的购买数量.
5.（2004·沈阳）某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1）.小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天火热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:
∠α=24°36′,∠β=73°30′,小明又量得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件:
（1）当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;
（2）当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.
请你借助下面的图形（如图2）,帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?
（精确到0.01m）
sin24°36′=0.416,cos24°36′=0.909,tan24°36′=0.458,cot24°36′=2.184,
sin73°30′=0.959,cos73°30′=0.284,tan73°30′=3.376,cot73°30′=0.296.
（1）
（2）
6.（2003·黑龙江）为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
处理污水量（吨/月）
240
200
年消耗费（万元/台）
1
1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
（1）请你设计该企业有几种购买方案;
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;
（3）在第
（2）问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年的费用包括购买设备的资金和消耗费）
7.（2004·陕西）李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘如图所示,鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树,现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大）,又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）.
（1）若按圆形设计,利用图
（1）画出你所设计的圆形鱼塘示意图,并求出圆形鱼塘的面积;
（2）若按正方形设计,利用图
（2）画出你所设计的正方形鱼塘示意图;
（3）你在图
（2）所设计的正方形鱼塘中,有无最大面积?
为什么?
（4）李大爷想使新建的鱼塘面积最大,你认为新建鱼塘的最大面积是多少?
8.（2004·黑龙江）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40m,B楼与C楼之间的距离为60m.已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站方案.
方案一:
让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小;
方案二:
让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和.
（1）若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?
（2）若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?
（3）在
（2）的情况下,若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人）,那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?
请说明理由.
答案：
1.略
2.探究规律:
（1）△ABC和△ABP,△AOC和△BOP,△CPA和△CPB;
（2）△ABP.
因为平行线间的距离相等,所以无论点P在m上移动到任何位置,总有△ABP和与△ABC同底等高,因此,它们的面积总相等.
解决问题:
（1）画法如图.
连结EC,过点D作DF∥EC,交CM于点F,连结EF,EF即为所求直路的位置.
（2）设EF交CD于点H,由上面得到的结论,可知:
S△ECF=S△ECD,S△HCF=S△EDH,
∴S五边形ABCDE=S五边形ABCFE,S五边形EDCMN=S四边形EFMN。
3.解:
参考答案:
（1）测量平面图如右图.
（2）先测量出AC=b米,BC=c米,再找出AC的中点D,BC的中点E,最后再测出DE=a米.
（3）根据三角形中位线定理得AB=2DE=2a（米）.
4.
（1）设甲种型号手机购买x部,乙种型号手机购买y部,丙种型号手机购买z部，根据题意,得
解得
或
解得
或
解得
（不合题意,舍去）
答:
有两种购买方法:
甲种手机购买30部,乙种手机购买10部;或甲种手机购买20部,乙种手机购买20部;
（2）根据题意,得
解得
或
或
答:
若甲种型号手机购买26部,则乙种型号手机购买6部,丙种型号手机购买8部;若甲种型号手机购买27部,则乙种型号手机购买7部,丙种型号手机购买6部;若甲种型号手机购买28部,则乙种型号手机购买8部,丙种型号手机购买4部。
5.解:
在Rt△BCD中,tan∠CDB=
∠CDB=∠α,
∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.
在Rt△ACD中,tan△CDA=
∠CDA=∠β,
∴AC=CD·tan∠CDA=CD.tanβ.
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD（tanβ-tanα）,
∴CD=
≈0.57（m）.
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26（m）.
答:
BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.
6.解:
（1）购买污水处理设备A型x台,则B型（10-x）台.
由题意知12x+10（10-x）≤105.
x≤2.5.
∵x取非负整数,∴x可取0,1,2.
∴有三种购买方案:
购A型0台,B型10台;购A型1台,B型9台;购A型2台,B型8台.
（2）由题意得240x+200（10-x）≥2040.
当x≥1时,∴x为1或2.
当x=1时,购买资金为:
12×1+10×9=102（万元）;当x=2时,购买资金为:
12×2+10×8=104（万元）.
∴为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
（3）10年企业自己处理污水的总资金为:
102+10×10=202（万元）.
若将污水排到污水厂处理,10年所需费用为:
2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）,
244.8-202=42.8（万元）,
∴节约资金42.8万元.
7.解:
（1）如图
（1）所示,S圆形鱼塘=
a2.
（2）如图
（2）所示.
（3）有最大面积.
如图
（2）,由作图知,Rt△ABE、Rt△BFC、Rt△CDG和Rt△AHD为四个全等的三角形.
因此,只要Rt△ABE的面积最大,就有正方形EFGH的面积最大.
然而,Rt△ABE的斜边AB=a为定值,
所以,点E在以AB为直径的半圆上,
当点E正好落在线段AB的中垂线上时,面积最大（斜边为定值的直角三角形为等腰直角三角形）.
（4）S最大面积=2a2.
（1）
（2）
8.
（1）设取奶站建在距A楼xm处,所有取奶的人到奶站的距离总和为ym,
①当0≤x≤40时,y=20x+70（40-x）+60（100-x）=-110x+8800,
∴当x=40时,y的最小值为4400,
②当40此时,y的值大于4400,因此按方案一建奶站,取奶站应建在B楼处;
（2）设取奶站建在距A楼xm处,
①当0≤x≤40时,20x+60（100-x）=70（40-x）,解得x=-
<0（舍去）,
②当40因此按方案二建奶站,取奶站应建在距A楼80米处;
（3）设A楼取奶人数增加a人,
①当0≤x≤40时,（20+a）x+60（100-x）=70（40-x）,解得x=
（舍去）,
②当40∴当a增大时,x增大,
∴当A楼取奶的人数增加时,按照方案二建奶站,取奶站仍建在B、C两楼之间,且随着人数的增加,离B楼越来越近.毛
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