指数函数与对数函数习题.docx

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指数函数与对数函数习题

二、指数与指数函数

2.2.27　下列各组函数中，图象关于y轴对称的是（　）．

（A）y＝4x与y＝（B）y＝4x与y＝－4x

（C）y＝2－2x与y＝－（D）y＝4x与y＝22x

解析　由指数函数的图象知函数y＝4x的图象与函数y＝的图象关于y轴对称，答案为A．

2.2.28　已知f（x）＝，g（x）＝，则下列关系式中不正确的是（　）．

（A）[g（x）]2－[f（x）]2＝1　

（B）f（2x）＝2f（x）g（x）

（C）g（2x）＝[g（x）]2＋[f（x）]2　

（D）f（－x）g（x）＝f（x）g（－x）

解析　[g（x）]2－[f（x）]2＝（e2x＋e－2x＋2－e2x－e－2x＋2）＝1．

f（2x）＝（e2x－e－2x），2f（x）g（x）＝（ex－e－x）（ex＋e－x）＝（e2x－e－2x）．

g（2x）＝（e2x＋e－2x），[g（x）]2＋[f（x）]2＝（e2x＋e－2x＋2＋e2x＋e－2x－2）＝（e2x＋e－2x）．

f（－x）g（x）＝（e－x－ex）（ex＋e－x）＝（e－2x－e2x），f（x）g（－x）＝（ex－e－x）（e－x＋ex）＝（e2x－

e－2x），所以，答案为D．

2.2.29　函数y＝2－的值域是（　）．

（A）{y|y≠2，y∈R}（B）{y|y<2}

（C）{y|y<1或12}

解析　由≠0得0<<1或>1，所以，1

2.2.30　已知指数函数的图象过点（3，64），则此函数的解析式是　．

解析　由已知可设所求函数为f（x）＝ax，而f（3）＝64，则a＝4，于是，所求指数函数为f（x）＝4x．

2.2.31　设0

解析　函数自变量x应满足解得

所以，函数f（x）的定义域为{x|x<2，x≠±1}．

2.2.32　函数f（x）＝ax（a>0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值是　．

解析　若a>1，则函数f（x）＝ax在[1，2]上单调递增，于是，a2－a＝，解得a＝．

若0

所以，a＝或a＝．

2.2.33　下列各函数中，不是指数函数的是（　）．

（A）y＝（B）y＝2x　

（C）y＝（D）y＝2－x

解析　函数y＝即为y＝（）x，函数y＝2－x即为y＝，它们都是指数函数，由幂函数的概念知函数y＝是幂函数，不是指数函数，答案为A．

2.2.34　函数y＝3－|x|的单调递减区间是（　）．

（A）不存在的（B）（－∞，0）

（C）（0，＋∞）（D）（－∞，＋∞）

解析　函数y＝所以，它的单调递减区间是（0，＋∞），答案为C．

2.2.35　函数f（x）＝2|x|－2－|x|（　）．

（A）不存在单调递减区间　

（B）在（－∞，0）上单调递减

（C）在（0，＋∞）上单调递减　

（D）在（－∞，＋∞）上单调递减

解析　f（x）＝而函数y＝2x－在（－∞，＋∞）上单调递增，又函数f（x）是偶函数，所以，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，答案为B．

2.2.36　函数f（x）＝（0

解析　f（x）＝所以，此函数的图象是答案D．

2.2.37　若0

（A）x

解析　由0aa>a，即z>y>x，所以，答案为A．

2.2.38　已知函数f（x）＝在（－∞，＋∞）上单调递减，则a的取值范围是　．

解析　由已知得0

所以，a的取值范围是1

2.2.39　设某地在海拔x（m）处的大气压是y（Pa），y与x满足y＝cekx，其中c，k都是常数．如果某游客从大气压为1.01×105（Pa）的海平面地区到了海拔为2400（m），大气压为0.90×105（Pa）的一个高原地区，感觉没有明显的高原反映，于是便准备攀登当地海拔为5596（m）的雪山，从身体氧气需求考虑（当人体处于大气压低于0.775×105（Pa）的地区时，有可能发生生命危险），你是否认为该游客太冒险?

解析　由x＝0时y＝1.01×105得c＝1.01×105，当x＝2400时y＝0.90×105得0.90×105＝1．01×105e2400k，解得k＝ln，则y＝1.01×105，当海拔高度x＝5596（m）时，该地区的大气压y≈0.772×105（Pa）<0.775×105（Pa），所以，该游客有冒险之嫌．

2.2.40　已知f（x）＝，g（x）＝（a>0且a≠1），确定x的取值范围，使得f（x）>g（x）．

解析　若a>1，则2x2－3x＋1>x2＋2x－5，即x2－5x＋6>0，解得x>3或x<2；

若0

2.2.41　设函数f（x）＝2|x＋1|－|x－1|，求使f（x）≥2成立的x的取值范围．

解析　由已知得2|x＋1|－|x－1|≥，于是，|x＋1|－|x－1|≥．

则或或解得x>1或≤x≤1，所以，x的取值范围是x≥．

2.2.42　若x∈R且x≠0，求证：

<．

解析　，若x>0，则2x>1，于是<0；

若x<0，则0<2x<1，于是<0，所以，<．

2.2.43　若a>0，试确定a2，aa，，a－1的大小关系．

解析　．

若a>1，则函数f（x）＝ax在（－∞，＋∞）上单调递增．

如果a>2，则由－1<<2

若a＝1，则a－1＝＝a2＝aa．

若0

如果>aa>a2；如果a＝，则a－1>＝aa>a2；如果0

a－1>aa>>a2．

2.2.44　若函数y＝＋1的定义域是－3

解析　由－3

2.2.45　设a>0，f（x）＝是R上的偶函数．

（1）求a的值；

（2）证明：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

解析　

（1）由f（x）＝是R上的偶函数可得，

即e2x（a2－1）＝a2－1对任意实数x恒成立，则a2－1＝0，又a>0，则a＝1，即f（x）＝ex＋e－x．

（2）设00，可得f（x1）－f（x2）<0，所以，f（x）＝ex＋e－x在（0，＋∞）是单调递增函数．

2.2.46　指出函数y＝的定义域、值域及单调性．

解析　函数y＝的自变量x必须满足9－≥0，则x2－4x＋5≤2，即（x－1）（x－3）≤0，所以，此函数的定义域是[1，3]．

当1≤x≤3时，x2－4x＋5＝（x－2）2＋1，则1≤x2－4x＋5≤2，于是，0≤9－≤6，0≤y≤，即此函数的值域是[0，]．

在[1，2]上，函数x2－4x＋5单调递减，于是，函数y＝在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减．

2.2.47　若函数f（x）对任意x1，x2∈D都有f≤[f（x1）＋f（x2）]，则称函数f（x）在D上是“下凸函数”．求证：

函数f（x）＝4x＋4－x在（－∞，＋∞）上是“下凸函数”．

解析　[f（x1）＋f（x2）]－f（）－＝[－2·－2·]＝[（）2＋（）2]≥0，于是，f≤[f（x1）＋f（x2）]，

所以，函数f（x）＝4x＋4－x在（－∞，＋∞）上是“下凸函数”．

2.2.48　已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：

存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x＋T）＝Tf（x）成立．

设函数f（x）＝ax（a>0且a≠1）的图象与y＝x的图象有公共点，证明：

f（x）＝ax∈M．

解析　由函数f（x）＝ax的图象与直线y＝x有公共点可知关于x的方程ax＝x存在解T，并且一定有T≠0，即aT＝T，于是，f（x＋T）＝ax＋T＝Tax＝Tf（x），所以，此时f（x）＝ax∈M．

2.2.49　为了得到函数y＝21－2x的图象，应将函数y＝4－x的图象（　）．

（A）向左平移1个单位（B）向右平移1个单位

（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位

解析　y＝21－2x即为y＝2·4－x，亦即y＝，所以，应将函数y＝4－x的图象向右平移个单位，答案为D．

2.2.50　若0

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限　　　（D）第四象限

解析　由于b<－1，则函数f（x）＝ax＋b的图象可由函数g（x）＝ax的图象向下平移|b|个单位得到，函数f（x）的图象与y轴的交点（0，b＋1）在x轴的下方，而函数g（x）＝ax在（－∞，＋∞）上单调递减，所以，函数f（x）＝ax＋b的图象不经过第一象限，答案为A．

2.2.51　当0

（A）（1－a>（1－a）b（B）（1＋a）a>（1＋b）b

（C）（1－a）b>（D）（1－a）a>（1－b）b

解析　由0b，所以，<（1－a）b．

由a>0得函数f（x）＝（1＋a）x在（－∞，＋∞）上单调递增，于是（1＋a）a<（1＋a）b，由b>0得函数g（x）＝xb在（0，＋∞）上单调递增，则（1＋a）b<（1＋b）b，所以，（1＋a）a<（1＋b）b．

由函数f（x）＝（1－a）x在（－∞，＋∞）上单调递减及b>得（1－a）b<．

由函数f（x）＝（1－b）x在（－∞，＋∞）上单调递减及a（1－b）b，再由函数g（x）＝xa在（0，＋∞）上单调递增及1－a>1－b>0得（1－a）a>（1－b）a，所以，（1－a）a>（1－b）b，答案为D．

2.2.52　若函数f（x），g（x）分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f（x）－g（x）＝ex，则有（　）．

（A）f

（2）

（2）

（C）f

（2）

（2）

解析　由已知可得f（－x）－g（－x）＝e－x，并由奇函数f（x）和偶函数g（x）得到－f（x）－g（x）＝e－x，则g（x）＝－（ex＋e－x），g（0）＝－1，f（x）＝（ex－e－x）在（－∞，＋∞）上单调递增，于是，f（3）>f

（2）>f（0）＝0，所以，g（0）

（2）

2.2.53　对实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝ab．则下列命题中正确命题的个数是（　）．

①　a⊗b＝b⊗a；

②　（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）；

③a⊗（b＋c）＝（a⊗b）＋（a⊗c），

（A）0（B）1（C）2（D）3

解析　若a＝2，b＝1，则a⊗b＝2，b⊗a＝1，此时，a⊗b≠b⊗a；

若a＝2，b＝1，c＝2，则（a⊗b）⊗c＝4，a⊗（b⊗c）＝2，此时，（a⊗b）⊗c≠a⊗（b⊗c）；

若a＝1，b＝2，c＝2，则a⊗（b＋c）＝1，（a⊗b）＋（a⊗c）＝2，此时，a⊗（b＋c）≠（a⊗b）＋（a⊗c）；

所以，答案为A．

2.2.54　函数f（x）＝的大致图象是　．

解析　函数f（x）＝的定义域是{x|x≠0，x∈R}．f（－x）＝＝－f（x），所以，该函数是奇函数．f（x）＝＝1＋，当x>0时，e2x>1，且在（0，＋∞）上单调递减，所以，该函数的大致图象是A．

2.2.55　已知3a＝0.618，若a∈，k∈Z，则k＝　．

解析　<0.618<1，则<3a<1，所以，－

2.2.56　指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，则a，b，c，d及1这5个数的大小关系是　．

解析　考察函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象与直线x＝1的交点可得c>d>1>a>b．

题2.2.56

2.2.57　函数y＝的值域是　．

解析　由已知得y＝，则102x＝>0，解得－1

2.2.58　函数y＝的反函数的定义域是　．

解析　由已知得ex＝>0，解得－1

2.2.59　已知0

解析　由0aa>a，即a>a．

2.2.60　设M＝{x|x＝2m－2n，m>n，m，n∈N*}，P＝{x|1900

解析　设x＝2m－2n＝2n（2m－n－1）∈M∩P，则1900<2n（2m－n－1）<2009，于是，2n≤2n（2m－n－1）<2009，则n可能的值是1，2，3，

，10，则1900<1900＋2n<2m<2009＋2n≤2009＋210＝3033，所以，只能m＝11，则1900＋2n<211<2009＋2n，只能n＝6或n＝7，即集合M∩P＝{211－26，211－27}，其中的元素的和为3904．

2.2.61　作出下列函数的大致图象：

（1）y＝2|x－2|；

（2）y＝|2x－2|．

解析　

（1）函数y＝2|x－2|的图象可由函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位得到，其图象如图2.2.61

（1）所示．

（2）函数y＝|2x－2|的图象可由函数y＝2x的图象向下平移2个单位，再作所得曲线在x轴下方部分关于x轴的对称曲线，从而得到函数y＝|2x－2|的图象如图2.2.61

（2）所示．

题2.2.61

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　题2.2.61

（2）

2.2.62　正数m满足>（mm）2，求m的取值范围．

解析　原不等式即为>m2m，于是，或解得02．

2.2.63　求函数f（x）＝3x＋1＋9x－12的反函数f－1（x）的定义域．

解析　函数f（x）＝3x＋1＋9x－12＝9x＋3×3x－12＝－12－，而3x>0，所以f（x）>－12，即函数f（x）的值域是（－12，＋∞），所以，f－1（x）的定义域是（－12，＋∞）．

2.2.64　已知函数f（x）＝32x－（k＋1）·3x＋2对任意的x∈R都有f（x）>0成立，求k的取值范围．

解析　对任意x∈R都有3x>0，则对任意x∈R使得f（x）>0总成立，

应有（k＋1）≤0或解得k≤－1或－1

2.2.65　求函数f（x）＝4x＋4－x－2a（2x＋2－x）的最小值，并指出使f（x）取得最小值时x的值．

解析　函数f（x）＝（2x＋2－x）2－2a（2x＋2－x）－2＝（2x＋2－x－a）2－a2－2，而2x＋2－x≥2，于是，若a≥2，则当2x＋2－x＝a时，函数取得最小值－a2－2，此时有22x－a×2x＋1＝0，解得x＝log2（a±）－1．

若a<2，则当2x＋2－x＝2，即22x－2×2x＋1＝0，2x＝1，x＝0时，函数取得最小值2－4a．

2.2.66　正实数x1，x2及函数f（x）满足4x＝，且f（x1）＋f（x2）＝1，求f（x1＋x2）的最小值．

解析　由已知可解得f（x）＝，则＝1，＋3≥2＋3，即（－3）（＋1）≥0，于是，≥9．

又f（x1＋x2）＝＝1－≥，所以，f（x1＋x2）的最小值是．

2.2.67　设a、b∈R＋，比较aabb与abba的大小．

解析　＝aa－bbb－a＝．

若a>b>0，则>1，a－b>0，于是>1；若a＝b>0，则＝1；若b>a>0，则0<<1，a－b<0，于是>1．

所以，aabb≥abba，其中等号当且仅当a＝b时成立．

2.2.68　已知2x＋3y＋5z＝7，2x－1＋3y＋5z＋1＝11，求2x＋1＋3y＋5z－1的取值范围．

解析　由已知得解得则1<5z<，于是2x＋1＋3y＋5z－1＝16×5z－16＋15－9×5z＋×5z＝×5z－1，所以，<2x＋1＋3y＋5z－1<11．

2.2.69　已知f（x）＝，其中a>0，a≠1．

（1）求证：

函数f（x）的图象关于点中心对称；

（2）求f＋f＋f＋

＋f的值．

解析　

（1）设（x，y）是函数f（x）＝图象上的任意一点，则y＝，它关于点的对称点是（1－x，1－y），则f（1－x）＝＝＝1－，即点（1－x，1－y）在函数f（x）＝的图象上，所以，该函数的图象关于点中心对称．

（2）点与点（n＝1，2，3，4）都关于点中心对称，于是，f＋f＋f＋…＋f＝4×1＋．

2.2.70　设函数f（x）＝，其中实常数a≥－1．试研究该函数的基本性质并给出相应的结论．

解析　函数f（x）＝的定义域是R．

若a＝－1，则此函数的值域是{－1}；若a>－1，则2x＝>0，解得－1

若a＝－1，则f（x）＝－1，此时该函数为偶函数；若a＝1，即f（x）＝，

则f（－x）＝＝－f（x），所以，若a＝1，该函数是奇函数；

若a>－1且a≠1，则f

（1）＝，f（－1）＝，此时，f（－1）≠f

（1），f（－1）≠－f

（1），函数f（x）是非奇非偶函数．

设x1－1，则f（x1）－f（x2）>0，所以，当a＝－1时，函数f（x）是常数函数；当a>－1时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减．

2.2.71　已知函数f1（x）＝，f2（x）＝2·（x∈R，p1，p2为常数）．

函数f（x）定义为：

对每个给定的实数x，f（x）＝

（1）求f（x）＝f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；

（2）设a，b是两个实数，满足a

函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n－m）．

解析　

（1）由f（x）＝f1（x）得≤2·对任意x∈R恒成立，则|x－p1|－|x－p2|≤log32．

若p1≤p2，则|x－p1|－|x－p2|＝应有最大值p2－p1≤log32．

若p1>p2，则|x－p1|－|x－p2|＝应有最大值p1－p2≤log32．

所以，f（x）＝f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件是|p2－p1|≤log32．

（2）若|p2－p1|≤log32，则f1（x）≤f2（x）对任意x∈R恒成立，则f（x）＝f1（x）＝此时，函数f（x）在[p1，b]上单调递增．

而由f（a）＝f（b）得，于是，p1－a＝b－p1，p1＝，则单调递增区间长度为b－p1＝．

若|p2－p1|>log32，设p1≤p2，于是，p2－p1>log32．

当a≤x≤p1时，f1（x）＝≤<2·＝f2（x），则f（x）＝f1（x）．

当p2≤x≤b时，f1（x）＝·>2·＝f2（x），则f（x）＝f2（x）．

当p10，（p1＋p2＋log32）－p2＝（p1－p2＋log32）<0，即p1<（p1＋p2＋log32）

f（x）＝

所以，函数f（x）的单调递增区间是，[p2，b]．

又由f（a）＝f（b）得＝2·，于是，p1＋p2＝a＋b＋log32，单调递增区间的长度和为b－p2＋（p1＋p2＋log32）－p1＝．

若|p2－p1|>log32，设p1>p2，于是，p1－p2>log32．

当a≤x≤p2时，f1（x）＝·>2·＝f2（x），则f（x）＝f2（x）．

当p1≤x≤b时，f1（x）＝<<2·＝f2（x），则f（x）＝f1（x）．

当p20，即p2<（p1＋p2－log32）

f（x）＝

所以，函数f（x）的单调递增区间是，[p1，b]．

又由f（a）＝f（b）得2·，于是，p1＋p2＝a＋b－log32，单调递增区间的长度和为b－p1＋（p1＋p2－log32）－p2＝．

综上所述，函数f（x）在区间[a，b]上的单调递增区间的长度之和为．

三、对数与对数函数

2.2.72　若log2（log3（log4x））＝log3（log4（log2y））＝log4（log2（log3z））＝0，则x＋y＋z＝（　）．

（A）50（B）58（C）89（D）111

解析　由已知得log3（log4x）＝1，即log4x＝3，所以x＝43＝64，同理，y＝24＝16，z＝32＝9，所以，x＋y＋z＝89，答案为C．

2.2.73　已知x＝，则x的值属于区间（　）．

（A）（－2，－1）（B）（1，2）（C）（－3，－2）（D）（2，3）

解析　x＝＝log32＋log35＝log310，而32<10<33，所以，x∈（2，3），答案为D．

2.2.74　若a＝，b＝，c＝，则（　）．

（A）a

解析　由52<25得2ln5<5ln2，于是，<，由23<32得3ln2<2ln3，于是，<，所以，c

2.2.75　若0

（A）第一象限　　　（B）第二象限　　　（C）第三象限　　　（D）第四象限

解析　函数f（x）＝loga（5＋x）在（－5，＋∞）上单调递减，且其图象过点（－4，0），所以，该函数的图象不经过第一象限，答案为A．

2.2.76　已知1

（A）a

解析　由1

所以，logd（x2）>（logdx）2>0>logd（logdx），即b>a>c，答案为D．

2.2.77　计算：

（1）log2＝　；

（2）log8（log2）＝　；

（3）3log3－log3log34＋log3＝　；

（4）－lg5＝　．

解析　

（1）原式＝log2．

（2）原式＝log8＝－log82＝－log8＝－．

（3）原式＝l