指数函数和对数函数对数函数例题.docx

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指数函数和对数函数对数函数例题

指数函数和对数函数·对数函数·例题

                                                                                                         [   ]

解 A

                                                                                                         [   ]

A．R                                  B．（-∞，-3]

C．[8，+∞）                       D．[3，+∞）

解 B

例1-6-26 若f（x）=loga|x+1|在（-1，0）内f（x）＞0，则f（x）              [   ]

A．在（-∞，0）内单调递增

B．在（-∞，0）内单调递减

C．在（-∞，-1）内单调递减

D．在（-∞，-1）内单调递增

解 D 依题设，f（x）的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象（略）即知D正确．

例1-6-27 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+lg（x+1），那么当x＜0时，f（x）的解析式是                                                                                                         [   ]

A．-x2-lg（1-x）                     B．x2+lg（1-x）

C．x2-lg（1-x）                      D．-x2+lg（1-x）

解 A 设x＜0，则-x＞0，所以

f（-x）=（-x）2+lg（-x+1）=x2+lg（1-x）=-f（x）

f（x）=-x2-lg（1-x）

例1-6-28 函数y=5x+1的反函数是                                            [   ]

A．y=log5（x+1）                  B．y=logx5+1

C．y=log5（x-1）                   D．y=log（x-1）5

解 C

解 

（1）奇函数．

∴ f（x）为奇函数

（2）3.373 因为ψ（x）=x2+f（x），又由

（1）知，f（x）为奇函数，所以f（-2）=-f

（2）．所以

ψ（-2）=（-2）2+f（-2）=2×22-（22+f

（2））

=8-ψ

（2）=8-4.627=3.373

例1-6-31 若1＜x＜2，则（log2x）2，log2x2，log2（log2x）的大小关系是______．

log2（log2x）＜（log2x）2＜log2x2

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）已知f（x）存在反函数f-1（x），若f-1（x）＜0，求x的取值范围．

另一方面，有

所以f（x）是奇函数．

故当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0．

例1-6-33 已知常数a，b满足a＞1＞b＞0，若f（x）=lg（ax-bx），

（1）求y=f（x）的定义域；

（2）证明y=f（x）在其定义域内是增函数；

（3）若f（x）恰在（1，+∞）上恒取正值，且f

（2）=lg2，求a，b的值．

（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2．

因为a＞1，所以g1（x）=ax是增函数，所以ax1-ax2＜0．

故f（x）=lg（ax-bx）在（0，+∞）内是增函数．

（3）因为f（x）在（1，+∞）内为增函数，所以对于x∈（1，+∞）内每一个x值，都有f（x）＞f

（1）．要使f（x）恰在（1，+∞）上恒取正值，即f（x）＞0只须f

（1）=0．于是f

（1）=lg（a-b）=0，得a-b=1．

又f

（2）=lg2，所以lg（a2-b2）=lg2，所以a2-b2=2，即（a+b）（a-b）=2．而a-b=1，所以a+b=2．

例1-6-34 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小．

解 作差比较．

因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，1＜1+x＜2，0＜1-x2＜1．

当a＞1时，|loga（1-x）|=-loga（1-x），|loga（1+x）|=loga（1+x）．所以

|loga（1-x）|-|loga（1+x）|=-loga（1-x）-loga（1+x）

=-loga（1-x2）＞0

即     |loga（1-x）|＞|loga（1+x）|

当0＜a＜1时，

|loga（1-x）|=loga（1-x），|loga（1+x）|=-loga（1+x）

所以   |loga（1-x）|-|loga（1+x）|=loga（1-x）+loga（1+x）

=loga（1-x2）＞0

即     |loga（1-x）|＞|loga（1+x）|

注 本例也可用作商比较法来解．

例1-6-35 设对所有实数x，不等式

恒成立，求a的取值范围．

解 根据题意，可知原不等式（关于x的二次不等式）应满足下列条件：

例1-6-36 设函数f（x）=log2[（3-2k）x2-2kx-k+1]，求使f（x）在（-∞，0）内单调递减，而在（1，+∞）内单调递增的所有实数k组成的集合M．

必须有g（x）＞0，3-2k＞0，且g（x）的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于[0，1]．于是k确定于不等式组

例1-6-37 在函数y=logax（0＜a＜1，x≥1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是m，m+2，m+4．

（1）若△ABC面积为S，求S=f（m）；

（2）判断S=f（m）的增减性；

（3）求S=f（m）的最大值．

解 

（1）由A，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为A1，B1，C1，则