泰勒公式及其应用88291资料.docx
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泰勒公式及其应用88291资料
泰勒公式及其应用
数学与计算机科学学院数学与应用数学数学091班赵菲
【摘要】泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
在现行教材对泰勒公式证明基础上，介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法，并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明，行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。
1预备知识
1.1带有Peano型余项的泰勒公式
Vx€[a,讐5
函数门|在［a,b］上具有n阶导数，贝S
b］有f何何d+
其中
扎（0«（丄讥即
1.2带有Lagrange型余项的泰勒公式
若函数上连续，在开区间（a,b）内存在，则
狂％f在丄与®之间，使得下式成立
ZW二fMx-托）+_J严（％）（■-Xb）B+人®
-其中
丄严％£）为Lagrange型余项。
/WfMx-珀+_+2严（xbXx-吗）11+
注：
若
'■中取
这里
（E介于与0之间）称之为Maclaurin型余项
1.3常见的Maclaurin公式
0）CO5X-1-—+_+（-5，1—21（2n）!
+"*1上
（4）"谢』申旦护―吆先严凹宀如）
（这里仏为任意实数）；
（g1®（7止TJl
2n
2泰勒公式的证明
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函
数。
公式
（1）非普通的等式，而是反映了极限性质的渐进等式，因此公式
（1）在求极限时很有用处，对余项可以提供充分小量的估计。
公式
（2）的余项有确定表达式，当然也有不确定因素，即有中值,但不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。
证明：
设RQ）川）几⑴2（©（丄如）】现在只需要证
二0.
1有关系式（3）可知，梟」札E）號（5）叽并易知仏（5）一（「（5）一一g）—°屁仏）—乩因为存在，所以在点W的某个领域"仏）内f存在斤1介导函数/⑴，于是且'7州时，允许接连使用洛必达法则斤1次，得到
-"）亠_亠心T⑴既丽吉丽―既破©=fcn严小（功一严〜^珀））一严理无刃工一氏）f»（n-5_"斤】
丿缸F%）一尸⑷一严（$工一叼
=0_
注：
满足的条件匚是唯一的。
4.泰勒公式的应用4.1在求极限的问题中，可以利用泰勒公式及皮亚诺余项计算。
例4.1求
解由于等价无穷小可以知道，分母为—
只要把OK丄，尺?
展开到十即可。
/I*cnsx=l-'—+——l-o（x4）
24
fl?
=1
cnsx-e“4g
^in.j■■j-
故
注:
因为对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此,对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题，因
此满足下列情况时可考虑用泰勒公式来求极限:
（i）用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁。
（ii）分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。
（iii）所遇到的函数展开为泰勒公式不难。
当确定了要用泰勒公
式求极限时,关键是确定展开的阶数。
如果分母（或分子）是n阶,就将分子（或分母）展开为n阶麦克劳林公式。
如果分子，分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数
4.2泰勒公式在微分方程方面的应用。
■I
例4.2解微分方程〕▼
解显然侃丄）丄佩丄）1在的领域内可展开成幂数，
故方程的解为•，带入原方程并整理得
（2・込*州）+0■坷+2哦r+（4•珂+3oj）r3+—+［（«+IXn+=°
因为各次幂系数都等于零，所以
111（D5
2
5»3
6・4・汽吗》严=蛊气—
34
_-1W_1
带入所设方程解中的原方程的通解为
这里咏网为任意常数
注当微分方程的解不用初等函数或其积分表达时，常常采用泰勒级
数解决，如微分方程/1p^y1伽°，当加）点丄）在领域"也®内可以展开成仗点的泰勒级数（或幕级数）时，方程在叫。
内必有形如『普Q“的解
4.3泰勒公式在近似值计算上的应用
例4.3计算&的值使得误差不超过10°;
解由上面公式
（1），当x=1时有
JtBCD=*»
故当n=9时便有
^<—=—-—<10^_
从而略去而得e的近似值
4.4在级数敛散性理论中，要判断一个正级数
°°1
难的问题是如何选取恰当的7JP（P0）中P的值?
n弓n
考虑以下情况
-be彳
（i）右p=2,此时'—2收敛，但是lim-业=：
：
n#n1^1
n2
（"）若p=i,此时訂收敛’但是nm^0，这里我们无法判定
-be
an
n4
n
O0A
的敛散性，为了有效的选取a2（p0）中P的值，可以
n二n
用泰勒公式研究an>0的阶，据此选取恰当的p的值，使得
lim字=1，并且保证0：
：
：
|「：
：
，再有比较判别法就可以判定
np
『an的敛散性。
n4
"be"boa:
例4.4判定级数aan八（-ln（11））的敛散性。
nmn吕Jn\n
解利用泰勒公式展开有
性，所以7an收敛
n=1
注：
泰勒公式研究序列无穷小量an的阶，然后与恰当的
bn（如+，P0）去比较，有的放矢的求出P的值再求出极限值，则
np
可顺利解决问题。
4.5泰勒公式在导数方面的应用。
例4.5设f（x）在X。
处n次可导
nn」
f（x）八ak（x-x°）kO（（x_x°）n）证明f'（x）八aki（k1）（x_x°）ko（（x_Xo）n」）
k=0k=0
,n
证因为f（x）在xo处n次可导，且f（x）八ak（x—Xo）k•o（（x—Xo）n）故
k=0
由泰勒局部公式的唯一性可知，ak二匸凹,（k=0,1,2……,n）即且知
k!
f'（x）在xo点n-1次可导。
在xo的某领域内具有n-2阶导数，故有n_!
泰勒局部公式，f（x）二g（x）八bk（x一xo）k•o（（x-xo）n'）且
k=O
（k）（k1）z、
bk凹」凹,k=o,1,2n-1将f（k1）（x。
）=aki（k1）!
代入上
k!
k!
nA.
式即得bk二aki（k■1）所以f（x）八ak1（k1）（X-Xo）ko（（x-Xo）n」）
k=O
注1.本题用到泰勒局部公式的条件与唯一性等知识。
2.由本题证明可见，虽然证明是由对f'（x）直接应用，泰勒局
部公式并利用f（x）在Xo点泰勒局部公式唯一性得到的结论，但效
果上看，掐相当于在f（x）的泰勒公式两端关于X求导所得结果。
4.6泰勒公式在无穷小中的应用
例4.6确定常数a,b，使得当x=O时f（x）=e—g
1+bx
为x的3阶无穷小。
3!
o（x3）
2
=1X—2!
—aX=（1ax）（1bx）4=（1ax）1-bxb2x2-b3x3o（x3）】
1bx
=1（a-b）x（b2-ab）x2（ab2-b3）x3o（x3）
x>0时使f（x）为x的3阶无穷小，应选则常数，a,b.使得｛了爲
1
ap
即｛解得｛i既有ex一匕一丄x3+o（x3）
2b（a』）=0b-三2-X12
注按照无穷小界的概念，这里应在极限式
但实际上正是从这一极限式中:
^0的要求下进行的，及当且仅当
f（x）的泰勒局部展式中低于k阶的系数等于0,k阶系数工0时，有:
-0,为此，f（x）的佩亚诺余项应为O（xk），这也是解决问题的一般方法1。
4.6关于界的估计
例4.6设f（x）在b,1上有二阶导数，0Wx兰1时|f（x）<1,f''（x^2试
证：
当0兰x兰1时，f'（x）兰3。
'1''匕2
f
（1）=f（x）=f（x）（1—x）+；f牡）（1—x）,证2
'1''2
f（0Hf（x）f（x）（-x）f（）（-x）
2
所以
厂&）勻仁1）|+“（0）+1厂'（©）（1—乂）2+2|厂。
汗2乞2+（1—乂）2%2兰1+2=3
4.8泰勒公式证明不等式
2
例4.8证明:
—x
_x0,xIn（1X）：
：
：
x
2
2122
ln（1"x±3宀x七，02：
x
2
故-x.0,有x—彳In（1X）:
:
：
x证毕
2
可见，用泰勒公式证明不等式是一种很好的方法。
4.9泰勒公式证明中值公式
例4.9设f（x）在a,b】上三次可导，试证：
-d（a,b）使得
f（b）二f（a）f'（¥）£f”'（c）（b-a）3）
（1）
证（待定系数法）设k为使下式成立的实数；
，a…b13
f（b）-f（a）-f
（2）（b-a）_24k（b-a）=0
（2）
这时，我们的问题归为证明：
c.（a,b），使得
HI
k=f（c）。
（3）
令g（x）二f（x）-f（a）-f'C^y^x-a）-^（x-a）3（4）
则g（a）=g（b）=0根据Rolle定理，:
（a,b）使得g'（；）=0由（4）式，即：
f'（；）_f'（亍）_f''（答）（亍）€（~）=0
（5）这是关于k的方程，注意到f'（j在点」处的泰勒
2
'a二"a■■a1川■■a2
公式；f（J=f（〒厂f（〒）（〒）2f（c）（〒）2，（6）其中代佝b）。
比较（5），（6）可得式（3）。
证毕。
参考文献高等教育出版社裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》华东师范大学数学系第三版《数学分析》廊坊师范学院学报潘劲松《泰勒公式的证明及应用》
西安交通大学出版社李惜文《数学分析例题解析及难点注释》
北京电力高等专科学校学报杜道渊《泰勒公式在高等数学中的若干应用》
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