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十字交叉法的原理和应用
化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用
一.“十字交叉法”简介
“十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。
十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。
下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。
例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？
采用十字交叉法计算的格式如下：
设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式：
10%的溶液1030—x
X=
30%的溶液30x—10
由此可得出x=25，即混合后溶液的质量分数为25%。
以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。
然而怎样的计算习题可以采用这种方法？
且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？
这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。
针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。
由于十字交叉法常用于：
①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算；
②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算；
③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。
因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。
这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。
实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。
然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？
该怎样确定其实际意义？
是我们应该探讨和明了的问题。
要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。
二、“十字交叉法”的数学原理
若用A、B分别表示二元混合物两种组分的量，混合物总量为A+B（例如mol）若用M1、M2分别表示两组分的特性数量（例如相对分子质量），x表示混合物的特性数量（例如平均分子量）则有：
M1×A＋M2×B＝x×（A+B）将此数学表达式变形即可转化为下式：
A/B=（x-xb）/（xa-x）此式又可由十字交叉法推导得出。
A组分xax-M2A
X=即：
B组分xbM1-xB
两组份物质的量之比等于各自摩尔质量与平均摩尔质量之差的比
由此我们可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演变而来的，这就是“十字交叉法”的数学原理。
即运用“十字交叉法”计算的习题必须具备的条件，是此习题能列出二元一次方程。
也可以说只要能用二元一次方程解决的习题就能用“十字交叉法”计算。
由于我们在列二元一次方程时，要设两个未知数，因此转化为“十字交叉法”时，所涉及的最后差值的比的意义就与所设未知数的意义有了紧密的关系。
也就是说用二元一次方程计算时，所设未知数的物理意义是什么，则最后差值的比就等于该物理量之比。
因此在运用“十字交叉法”计算时，特别要注意避免不明化学涵义而滥用。
否则会由于不明确差值之比的物理意义，而使计算结果错误。
我们可以根据下面例题来体会明确差值之比物理意义的重要性。
例2、由CO2和CO组成的混合气体，经分析测知含氧的质量分数为70%，则该混合气体中CO和CO2的体积比为多少？
解法一：
利用CO和CO2中氧的质量分数列十字交叉式。
（注意物理意义表述的质量）
在CO中氧的质量分数为4/7，CO2中氧的质量分数为8/11，则
CO4/78/11–7/10
7/10=
CO28/117/10–4/7
至此若即得出CO和CO2的体积比为7：
33，则为错误结果，原因是不明了如此计算所得的比值的物理意义。
而实际上由此得出的比值是两种气体的质量之比，而非物质的量之比，也不是体积之比。
这一点我们可以从下面二元一次方程的解法去理解。
解法二：
设混合气体中CO2质量为x，CO质量为y，根据氧元素的质量固定可得出下列方程：
不难解得x:
y=33:
7
由此我们可以看出在解法一中所得的CO和CO2的比值7：
33是两种气体的质量之比。
再从两气体的质量比求物质的量之比就很容易了。
n（CO）/n（CO2）=V（CO）/V（CO2）=m（CO）/28:
m（CO）/44=7/28:
33/44=1:
3
那么能否用“十字交叉法”直接计算出两种气体的体积之比呢？
要解决此问题，应该利用混合气体中氧元素的质量分数求出混合气体的平均分子式或平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。
解法三：
设：
混合气体的平均分子式为COx，则：
利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。
16x/（12+16x）=7/10，解得：
x=7/4。
即我们可以认为混合气体的平均分子式为CO7/4，然后依据“十字交叉法”原理可列出下面式子计算。
CO18/4–7/41V（CO）
7/4==————
CO227/4–4/43V（CO2）
求出平均分子式后，还可继续求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”进行计算。
解法四：
因为混合气体的平均分子式为CO7/4，故混合气体的平均分子量为12+16×7/4=40
CO2844–401V（CO）
40————=——=————
CO24440–283V（CO2）
利用这种方法求出的差值之比之所以能确定是两种气体的物质的量之比，或者说能确定是两种气体的体积之比，我们可以利用下面方程来进行证明。
方法五：
设：
混合气体中CO2物质的量为x，CO物质的量为y，则:
利用混合气体中氧元素的质量相等可以列出下列方程。
32x+16y=（44x+28y）×7/10，解得x:
y=3:
1
因此：
混合气体中CO和CO2的体积之比为1:
3。
为了将“十字交叉法”理解透彻，我们再看下列一些例题，认真体会“十字交叉法”解计算题的类型和原理。
例3K35ClO3与K37Cl在酸性溶液中反应生成Cl2，则该Cl2的相对分子质量为多少？
解：
因为K35ClO3中Cl的化合价为+5价，K37Cl中Cl的化合价为-1价，所以生成Cl2时，K35ClO3与K37Cl的物质的量之比为1/5，即生成的Cl2分子中35Cl与37Cl的原子个数之比为1/5。
设生成的Cl2的相对分子质量为M，
则6×M=（35g/mol+37g/mol×5）×2
M＝73.33g/mol
由：
6×M=35g/mol×2+37g/mol×2×5
可以推出5×M+M=70g/mol+74g/mol×5
5×（74g/mol-M）=1×（M-70g/mol）
（74g/mol-M）/（M-70g/mol）=1/5
因此对于此题我们可以直接利用右边的式子进行计算，即十字交叉法
37Cl274g/molM-70g/mol5
M————=——
35Cl270g/mol74g/mol-M1
例4 已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均原子量为192.22，这两种同位素的原子个数比应为[ ]
A．39∶61 B．61∶39C．1∶1 D．39∶11
此题可列二元一次方程求解，但运用十字交叉法最快捷：
铱-1911910.7839
192.22————=——
铱-1931931.2261
解得这两种核素的原子个数比为39：
61，正确答案是A。
例5 一定量的乙醇在氧气不足的情况下燃烧，得到CO、CO2和水的总质量为27.6g，若其中水的质量为10.8g，则CO的质量是[ ]
A．1.4g B．2.2gC．4.4g D．在2.1g和4.4g之间
此题考查有机物的不完全燃烧，可运用十字交叉法：
CO与CO2总质量：
27.6g-10.8g=16.8g，
生成水的物质的量为：
10.8g÷18g/mol=0.6mol，
则燃烧的乙醇为：
0.6mol×1/3=0.2mol。
因此生成CO、CO2的物质的量共0.2mol×2=0.4mol
则CO和CO2混合气体的平均分子量为：
16.8g/0.4mol=42
CO2844–421n（CO）
42————=——=————
CO24442–287n（CO2）
所以，n（CO）=0.4mol×1/8=0.05mol
m（CO）=28g/mol×0.05mol=1.4g
正确答案是A
例6 右图中横坐标表示完全燃烧时耗用可燃气体X（X=A、B、C）的物质的量n（X），纵坐标表示消耗O2的物质的量n（O2），A、B是两种可燃性气体，C是A和B的混合气体，则C中n（A）∶n（B）为 （）
A．2∶1 B．1∶2C．1∶1 D．任意比
仔细地观察图示，分析图象可以看出：
1molA完全燃烧消耗0.5molO2
1molB完全燃烧消耗2molO2
1molC（C是A、B混合气）完全燃烧消耗1molO2
可以利用1mol气体燃烧耗O2进行十字交叉计算：
A0.512n（A）
1——=——=———
B20.51n（B）
正确答案为A。
三、结论
“十字交叉法”是中学化学中很常见的一种计算方法，有很多类型的计算习题均可采用此方法进行求解，所有二元混合物中，求解各组分比例的习题就可以采用“十字交叉法”进行计算。
关键是要明确得出的差值之比的物理意义。
由于此方法是由二元一次方程转化而来，所以在列方程时所设未知数的物理意义就是此方法中所得差值之比的物理意义。
十字交叉法的原理及其在化学计算中的应用
陈积常
（琼州学院化学系,海南五指山572200）
摘要:
十字交叉法是有关二组分混合物计算中一种常见的巧解方法,它可以简化解题过程、提高解题速度.介绍了十字交叉法的原理,并通过例证说明其应用.
关键词：
十字交差法;原理;应用;化学计算
十字交叉法又称对角线法,也叫混合规则.作为一种简化的解题方法,是实际计算方程式图解形式，应用于二元混合体系具有平均值的计算问题,它具有简化思路、简便运算、计算速度快等显著优点.近年来,十字交叉法在中学化学计算中广泛使用,通过十字交叉得到差值的比值的含义如何确定,如果没有真正理解十字交叉法含义,在使用该方法时将没有真正达到简化思路、快速准确求解的目的,从而限制了该方法的推广和应用.“十字交叉法”是通常中学化学计算必需掌握的一种计算方法,因为用此法解题实用性强、速度快.学生若能掌握此方法解题,将会起到事半功倍的效果.以下是笔者几年来对“十字交叉法”理解及体会.
1十字交叉法的原理[4]:
A×a%+B×b%=（A+B）×c%整理变形得:
A/B=（c-b）/（a-c）①
如果我们以100g溶液所含的溶质为基准
上式表示溶液混合时它们的质量比与有关质量分数比的关系.
可得如下十字交叉形式
ac-b
c②
ba-c
指导老师:
黎瑞珍
对比①,②两式不难看出:
十字交叉关系中（c-b）/（a-c）为组分A和组分B混合时的质量比.推广到二组分混合体系中,当以一定质量的混合体系为基准所得十字交叉关系,其比值为质量比（例如,质量分数是以质量为基准）;若有c-b比a-c的化学意义由平均值c决定,则比值就表示组分A中c-b和组分B中a-c所表示的量的比值.如c为质量或质量分数,则（c-b）/（a-c）表示组分A和组分B溶液的质量之比.若c为密度,则（c-b）/（a-c）就表示组分A和组分B的溶液体积之比.若c为摩尔质量,则（c-b）/（a-c）就表示组分A和组分B的物质的量比;此时可用十字交叉法求混合物中各组分的含量.
2十字交叉法的应用例析：
2.1用于混合物中质量比的计算
例1将铝铁合金18.5克溶于足量的盐酸中产生标准状况下的氢气11.2升,求合金中铝铁的质量之比是多少？
解：
在标准状况下，求出氢气的质量M=1g,以混合物总质量18.5g作为基准物再根据镁铝与盐酸的关系列出十字交叉式如下：
Al37/1819/56
1
Fe37/5619/18
求得铝与铁质量的比是9/28
例2镁和铝的混合物10g,与足量的稀硫酸充分反应,生成1.0g氢气,混合物中镁和铝的质量比为多少?
解：
在标准状况下，以混合物总质量10g作为基准物再根据镁铝与盐酸的关交叉式如下：
Mg5/61/9
1
Al10/91/6
求得镁与铝的质量比是2/3
例3KHCO3和CaCO3的混合物和等质量的NaHCO3分别与盐酸完全反应时,所消耗的酸的量相等,则混合物中KHCO3与CaCO3的质量比是多少?
解析:
由化学反应方程式:
KHCO3+HCl=KCl+H2O+CO2↑
CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑
以消耗HCl物质的量1mol作为基准物,求出反应掉KHCO3、CaCO3、NaHCO3的质量的数值分别为100g、50g、84g，依题意KHCO3和CaCO3的混合物84g与NaHCO384g均消耗1molHCl，即两个分量值分别为100和50,平均值为84,用十字交叉法图解如下:
KHCO310034
84
CaCO35016
因为是以物质消耗HCl的物质的量1mol为基准物,所以比值34/16=17/8为碳酸氢钾与碳酸钙消耗HCl的物质的量之比,故原混合物中碳酸氢钾与碳酸钙的物质的量之比为17/4,即质量比也为17/4（因它们的相对分子质量相等）.
2.2用于混合物中物质的量比的计算
例4在标准状况下，测得空气和HCl混合气体对氢气的相对密度为17，求空气和HCl气体的物质的量之比
解:
混合气体的平均式量为17×2=34,以1mol混合物为基准物则十字交叉法如下:
空气292.5
34
HCl36.55
求出空气与HCl气体的物质的量比是1/2
例5某Na2SO3已部分氧化成Na2SO4,经测定该混合物中硫的质量分数为25%,求混合物中Na2SO3和Na2SO4的物质的量之比（整数比）？
解：
由平均质量分数25%，列出十字交叉法如下：
Na2SO3中S%25.397%2.465%
25%
Na2SO4中S%22.535%0.397%
求得Na2SO3与Na2SO4的物质的量比是6/1
2.3用于混合物中体积比的计算
例6已知CH4,C2H4及其混合气体在同温同压下分别为0.71g/L、1.25g/L、1.16g/L.求混合气体CH4和C2H4的体积比是多少？
解：
以1mol混合气体密度1.16g/L作为基准物则十字交叉法如下：
CH40.710.09
1.16
C2H41.250.45
求得CH4与C2H4的体积比是1/3
例7已经2H2（g）+O2（g）=2H2O（g）;△H=-571.6千焦
C3H8（g）+5O2（g）=3CO2（g）+4H2O
（1）;△H=-2220千焦
求H2和C3H8的体积比.
解析:
lmolC3H8完全燃烧放热为:
571.6/2=285.8千焦
lmolC3H8完全燃烧放热为:
2220千焦
lmol混合气体完全燃烧放热为:
3847/5=769.4千焦
列出十字交叉法如下：
H2285.51460.6
769.4
C3H82220483.6
求得H2和C3H8的体积比为3/1
例8一种气态烷烃和一种气态烯烃，它们的分子式中所含碳原子数相同，若l体积这种混合烃在O2中充分燃烧，能生成2体积的和2.4体积的水蒸气，则混合中烷烃和烯烃的体积比是多少？
解:
设混合烃分子式为CxHy、烷烃与烯烃的体积比为
CxHy+3.2O2=2CO2+2.4H2O
13.222.4
根据原子守衡定理得混合烃分子式为C2H4.8即氢的原子数是4.8.十字交叉法如下：
C2H660.8
4.8
C2H441.2
求得混合物中C2H6和C2H4的体积比是2/3
2.4用于混合物中原子个数比的计算
例9已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素,而铱的相对分子质量为192.22,求这两种同位素原子个数比.
解：
以1mol铱的相对分子质量为192.22为基准则十字交叉法如下：
191Ir1910.78
199.2191Ir/193Ir=0.78/1.22
193Ir1931.22
求得191Ir与193Ir物质的量比39/61也是它们原子个数比.
2.5用于混合物中质量分数和体积分数的计算
例10把0.200gNaCl和KI混和物溶于水后加入过量AgN03溶液析出0.449g，求原混和物中NaCl和KI的质量百分数.
解：
分别计算产生沉淀物的质量,根据化学方程式得：
0.200gNaCl生成0.490gAgCl
0.200gNaI生成0.283gAgI
则十字交叉法如下：
NaCl0.490/0.2000.166
0.449/0.200m（NaCl）/m（KI）=0.166/0.041
KI0.283/0.2000.041
求得NaCl和KI的质量比是4/1，即他们的质量分数分别为80%，20%
例11在标准状况下氢气和一氧化碳的混合气体7L，质量为2.25g，求H2和CO的体积分数？
解：
设混合气体的摩尔质量为M
2.25/M=7/22.4L/molM=7.29
列出十字交叉法如下：
CO285.2
7.2V（CO）/V（H2）=5.2/20.8
H2220.8
求得CO与H2体积比是1/4即它们体积分数分别是25%,75%
例12已知Fe2O3在高炉中发生反应Fe2O3+CO=2FeO+CO2,反应形成的固体混合物Fe2O3、FeO中,元素铁和氧的质量之比用m（Fe）∶m（O）表示.若m（Fe）∶m（O）=21∶8,计算Fe2O3被CO还原的质量分数.
解析:
此题用方程式法甚为烦琐,用十字交叉法则非常简单.即:
若Fe2O3全部被还原,则m（Fe）∶m（O）=21∶6;若Fe2O3未被还原,则m（Fe）∶m（O）=21∶9.列出十字交叉法如下：
未被还原Fe2O39/212/21
8/21
被还原Fe2O36/211/21
则未被还原的氧化铁与被还原的氧化铁的物质的量之比为2∶1,所以被还原的氧化铁的质量分数为13×100%=33.3%.
例13将20%NaCl溶液与60%NaCl溶液按质量比1:
3混合,计算NaCl溶液的质量分数.
解：
设20%NaCl溶液为mg,则60%NaCl溶液质量就为3mg,所得NaCl溶液的质量为x%
列出十字交叉法如下：
m20%x%-60%
x%
3m60%20%-x%
则m/3m=（x%-60%）/（20%-x%）求出x=50既NaCl质量分数50%
通过上面的论述,我们可以看出,十字交叉法确实简单、方便、容易操作,但值得一提的是,在应用十字交叉法进行运算时,必须满足它的运算基础.十字交叉法应用于处理两组分（或相当于两组分）的混合物的组成计算十分方便.不断积累、总结、发掘新的解题方法，可促进知识的有效迁移、同化和深化对问题的理解，提高解题的效率与正确率.
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