高考北京版高考数学 11 集合的概念及运算.docx

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高考北京版高考数学11集合的概念及运算

专题一　集合与常用逻辑用语

【真题典例】

1.1　集合的概念及运算

挖命题

【考情探究】

考点

内容解读

5年考情

预测热度

考题示例

考向

关联考点

1.集合的含义与表示

1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题

2018课标Ⅱ,2

集合中元素个数的判断

集合间的基本关系、集合的基本运算

★☆☆

2.集合间的基本关系

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集

2.在具体情境中,了解全集与空集的含义

2011北京,1

集合间的基本关系

二次不等式的解法

★☆☆

3.集合的基本运算

1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集

3.能使用韦恩（Venn）图表示集合间的关系及运算

2018北京,1

2017北京,1

2016北京,1

2016北京文,14

2015北京文,1

2014北京,1

2013北京,1

集合的交、并、补运算

不等式和方程的解法

★★★

分析解读　　1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.

2.深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念,熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质,能用韦恩（Venn）图表示集合的关系及运算.

3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查数学思想方法.

4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.

破考点

【考点集训】

考点一　集合的含义与表示

1.（2018课标Ⅱ,2,5分）已知集合A={（x,y）|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为（　　）

A.9　　　　B.8　　　　C.5　　　　D.4

答案　A　

2.（2012课标全国,1,5分）已知集合A={1,2,3,4,5},B={（x,y）|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为（　　）

A.3　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10

答案　D　

考点二　集合间的基本关系

3.已知集合A={0,a},B={x|-1

A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2

答案　C　

4.若集合A={x|0

A.A∩B=⌀　　　　B.A∪B=R　　　　C.A⊆B　　　　D.B⊆A

答案　C　

考点三　集合的基本运算

5.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则（∁UA）∩B=（　　）

A.{1}　　　　B.{3,5}　　　　C.{1,6}　　　　D.{1,3,5,6}

答案　B　

6.若集合A={x|-32},则A∩B=（　　）

A.{x|-3

答案　B　

7.设全集U={x|x<5},集合A={x|x-2≤0},则∁UA=（　　）

A.{x|x≤2}　　　　B.{x|x>2}　　　　C.{x|2

答案　C　

8.（2016北京,1,5分）已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=（　　）

A.{0,1}　　　　B.{0,1,2}　　　　C.{-1,0,1}　　　　D.{-1,0,1,2}

答案　C　

炼技法

【方法集训】

方法1　利用数轴和韦恩（Venn）图解决集合问题的方法

1.（2014大纲全国,2,5分）设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=（　　）

A.（0,4]　　　　B.[0,4）　　　　C.[-1,0）　　　　D.（-1,0]

答案　B　

2.（2014重庆,11,5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则（∁UA）∩B=　　　　. 

答案　{7,9}

方法2　集合间的基本关系的解题方法

3.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是（　　）

A.M=N　　　　B.M∩N=N　　　　C.M∪N=N　　　　D.M∩N=⌀

答案　B　

方法3　解决与集合有关的新定义问题的方法

4.S（A）表示集合A中所有元素的和,且A⊆{1,2,3,4,5},若S（A）能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是（　　）

A.10　　　　B.11　　　　C.12　　　　D.13

答案　B　

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·北京卷题组

1.（2018北京,1,5分）已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=（　　）

A.{0,1}　　　　B.{-1,0,1}　　　　C.{-2,0,1,2}　　　　D.{-1,0,1,2}

答案　A　

2.（2017北京,1,5分）若集合A={x|-23},则A∩B=（　　）

A.{x|-2

答案　A　

3.（2017北京文,1,5分）已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA=（　　）

A.（-2,2）　　　　B.（-∞,-2）∪（2,+∞）　　　　C.[-2,2]　　　　D.（-∞,-2]∪[2,+∞）

答案　C　

4.（2014北京,1,5分）已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=（　　）

A.{0}　　　　B.{0,1}　　　　C.{0,2}　　　　D.{0,1,2}

答案　C　

5.（2013北京,1,5分）已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=（　　）

A.{0}　　　　B.{-1,0}　　　　C.{0,1}　　　　D.{-1,0,1}

答案　B　

6.（2011北京,1,5分）已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是（　　）

A.（-∞,-1]　　　　B.[1,+∞）　　　　C.[-1,1]　　　　D.（-∞,-1]∪[1,+∞）

答案　C　

7.（2016北京文,14,5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:

第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有　　　　种; 

②这三天售出的商品最少有　　　　种. 

答案　①16　②29

B组　统一命题、省（区、市）卷题组

考点一　集合的含义与表示

　（2016四川,1,5分）设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6

答案　C　

考点二　集合间的基本关系

（2015重庆,1,5分）已知集合A={1,2,3},B={2,3},则（　　）

A.A=B　　　　B.A∩B=⌀　　　　C.A⫋B　　　　D.B⫋A

答案　D　

考点三　集合的基本运算

1.（2017课标Ⅰ,1,5分）已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则（　　）

A.A∩B={x|x<0}　　　　B.A∪B=R　　　　C.A∪B={x|x>1}　　　　D.A∩B=⌀

答案　A　

2.（2017课标Ⅲ,1,5分）已知集合A={（x,y）|x2+y2=1},B={（x,y）|y=x},则A∩B中元素的个数为（　　）

A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0

答案　B　

3.（2017课标Ⅱ,2,5分）设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=（　　）

A.{1,-3}　　　　B.{1,0}　　　　C.{1,3}　　　　D.{1,5}

答案　C　

4.（2016课标Ⅰ,1,5分）设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=（　　）

A.

　　　　B.

　　　　C.

　　　　D.

答案　D　

5.（2016课标Ⅱ,2,5分）已知集合A={1,2,3},B={x|（x+1）（x-2）<0,x∈Z},则A∪B=（　　）

A.{1}　　　　B.{1,2}　　　　C.{0,1,2,3}　　　　D.{-1,0,1,2,3}

答案　C　

6.（2015课标Ⅱ,1,5分）已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|（x-1）（x+2）<0},则A∩B=（　　）

A.{-1,0}　　　　B.{0,1}　　　　C.{-1,0,1}　　　　D.{0,1,2}

答案　A　

7.（2014课标Ⅱ,1,5分）设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=（　　）

A.{1}　　　　B.{2}　　　　C.{0,1}　　　　D.{1,2}

答案　D　

8.（2014课标Ⅰ,1,5分）已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=（　　）

A.[-2,-1]　　　　B.[-1,2）　　　　C.[-1,1]　　　　D.[1,2）

答案　A　

9.（2018江苏,1,5分）已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=　　　　. 

答案　{1,8}

C组　教师专用题组

1.（2018天津,1,5分）设全集为R,集合A={x|0

A.{x|0

答案　B　

2.（2017山东,1,5分）设函数y=

的定义域为A,函数y=ln（1-x）的定义域为B,则A∩B=（　　）

A.（1,2）　　　　B.（1,2]　　　　C.（-2,1）　　　　D.[-2,1）

答案　D　

3.（2017天津,1,5分）设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则（A∪B）∩C=（　　）

A.{2}　　　　B.{1,2,4}　　　　C.{1,2,4,6}　　　　D.{x∈R|-1≤x≤5}

答案　B　

4.（2017浙江,1,5分）已知集合P={x|-1

A.（-1,2）　　　　B.（0,1）　　　　C.（-1,0）　　　　D.（1,2）

答案　A　

5.（2016天津,1,5分）已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=（　　）

A.{1}　　　　B.{4}　　　　C.{1,3}　　　　D.{1,4}

答案　D　

6.（2016山东,2,5分）设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=（　　）

A.（-1,1）　　　　B.（0,1）　　　　C.（-1,+∞）　　　　D.（0,+∞）

答案　C　

7.（2016浙江,1,5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪（∁RQ）=（　　）

A.[2,3]　　　　B.（-2,3]　　　　C.[1,2）　　　　D.（-∞,-2]∪[1,+∞）

答案　B　

8.（2015福建,1,5分）若集合A={i,i2,i3,i4}（i是虚数单位）,B={1,-1},则A∩B等于（　　）

A.{-1}　　　　B.{1}　　　　C.{1,-1}　　　　D.⌀

答案　C　

9.（2015浙江,1,5分）已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1

A.[0,1）　　　　B.（0,2]　　　　C.（1,2）　　　　D.[1,2]

答案　C　

10.（2014浙江,1,5分）设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=（　　）

A.⌀　　　　B.{2}　　　　C.{5}　　　　D.{2,5}

答案　B　

11.（2014陕西,1,5分）设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=（　　）

A.[0,1]　　　　B.[0,1）

C.（0,1]　　　　D.（0,1）

答案　B　

12.（2014四川,1,5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=（　　）

A.{-1,0,1,2}　　　　B.{-2,-1,0,1}　　　　C.{0,1}　　　　D.{-1,0}

答案　A　

13.（2014山东,2,5分）设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=（　　）

A.[0,2]　　　　B.（1,3）　　　　C.[1,3）　　　　D.（1,4）

答案　C　

14.（2014辽宁,1,5分）已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U（A∪B）=（　　）

A.{x|x≥0}　　　　B.{x|x≤1}　　　　C.{x|0≤x≤1}　　　　D.{x|0

答案　D　

15.（2018北京,20,14分）设n为正整数,集合A={α|α=（t1,t2,…,tn）,tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=（x1,x2,…,xn）和β=（y1,y2,…,yn）,记

M（α,β）=

[（x1+y1-|x1-y1|）+（x2+y2-|x2-y2|）+…+（xn+yn-|xn-yn|）].

（1）当n=3时,若α=（1,1,0）,β=（0,1,1）,求M（α,α）和M（α,β）的值;

（2）当n=4时,设B是A的子集,且满足:

对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M（α,β）是奇数;当α,β不同时,M（α,β）是偶数.求集合B中元素个数的最大值;

（3）给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:

对于B中的任意两个不同的元素α,β,M（α,β）=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.

解析　

（1）因为α=（1,1,0）,β=（0,1,1）,

所以M（α,α）=

[（1+1-|1-1|）+（1+1-|1-1|）+（0+0-|0-0|）]=2,

M（α,β）=

[（1+0-|1-0|）+（1+1-|1-1|）+（0+1-|0-1|）]=1.

（2）设α=（x1,x2,x3,x4）∈B,则M（α,α）=x1+x2+x3+x4.

由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M（α,α）为奇数,

所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以

B⊆{（1,0,0,0）,（0,1,0,0）,（0,0,1,0）,（0,0,0,1）,（0,1,1,1）,（1,0,1,1）,（1,1,0,1）,（1,1,1,0）}.

将上述集合中的元素分成如下四组:

（1,0,0,0）,（1,1,1,0）;（0,1,0,0）,（1,1,0,1）;（0,0,1,0）,（1,0,1,1）;（0,0,0,1）,（0,1,1,1）.

经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M（α,β）=1.

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以集合B中元素的个数不超过4.

又集合{（1,0,0,0）,（0,1,0,0）,（0,0,1,0）,（0,0,0,1）}满足条件,

所以集合B中元素个数的最大值为4.

（3）设Sk={（x1,x2,…,xn）|（x1,x2,…,xn）∈A,xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}（k=1,2,…,n）,

Sn+1={（x1,x2,…,xn）|x1=x2=…=xn=0},

所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1.

对于Sk（k=1,2,…,n-1）中的不同元素α,β,

经验证,M（α,β）≥1.

所以Sk（k=1,2,…,n-1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以B中元素的个数不超过n+1.

取ek=（x1,x2,…,xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1,2,…,n-1）.

令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.

故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.

16.（2014北京,20,13分,0.23）对于数对序列P:

（a1,b1）,（a2,b2）,…,（an,bn）,记T1（P）=a1+b1,Tk（P）=bk+max{Tk-1（P）,a1+a2+…+ak}（2≤k≤n）,其中max{Tk-1（P）,a1+a2+…+ak}表示Tk-1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.

（1）对于数对序列P:

（2,5）,（4,1）,求T1（P）,T2（P）的值;

（2）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对（a,b）,（c,d）组成的数对序列P:

（a,b）,（c,d）和P':

（c,d）,（a,b）,试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P'）的大小;

（3）在由五个数对（11,8）,（5,2）,（16,11）,（11,11）,（4,6）组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5（P）最小,并写出T5（P）的值.（只需写出结论）

解析　

（1）T1（P）=2+5=7,

T2（P）=1+max{T1（P）,2+4}=1+max{7,6}=8.

（2）T2（P）=max{a+b+d,a+c+d},

T2（P'）=max{c+d+b,c+a+b}.

当m=a时,T2（P'）=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.

因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2（P）≤T2（P'）.

当m=d时,T2（P'）=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.

因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2（P）≤T2（P'）.

所以无论m=a还是m=d,T2（P）≤T2（P'）都成立.

（3）数对序列P:

（4,6）,（11,11）,（16,11）,（11,8）,（5,2）的T5（P）值最小,T1（P）=10,T2（P）=26,T3（P）=42,T4（P）=50,T5（P）=52.

思路分析　

（1）根据题目中所给定义和已知的数对序列,直接求值;

（2）利用最小值m的不同取值,对求出的结果比较大小;（3）依据数对序列的顺序对结果的影响,写出结论.

评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.

17.（2016北京,20,13分）设数列A:

a1,a2,…,aN（N≥2）.如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak

（1）对数列A:

-2,2,-1,1,3,写出G（A）的所有元素;

（2）证明:

若数列A中存在an使得an>a1,则G（A）≠⌀;

（3）证明:

若数列A满足an-an-1≤1（n=2,3,…,N）,则G（A）的元素个数不小于aN-a1.

解析　

（1）G（A）的元素为2和5.

（2）证明:

因为存在an使得an>a1,

所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠⌀.

记m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1},

则m≥2,且对任意正整数k

因此m∈G（A）.从而G（A）≠⌀.

（3）证明:

当aN≤a1时,结论成立.

以下设aN>a1.

由

（2）知G（A）≠⌀.

设G（A）={n1,n2,…,np},n1

则

<

<

<…<

.

对i=0,1,…,p,记Gi={k∈N*|ni

}.

如果Gi≠⌀,取mi=minGi,则对任何1≤k

<

.

从而mi∈G（A）且mi=ni+1.

又因为np是G（A）中的最大元素,所以Gp=⌀.

从而对任意np≤k≤N,ak≤

特别地,aN≤

.

对i=0,1,…,p-1,

≤

.

因此

=

+（

-

）≤

+1.

所以aN-a1≤

-a1=

（

-

）≤p.

因此G（A）的元素个数p不小于aN-a1.

思路分析　

（1）先理解G时刻的新定义,然后对

（1）中具体的有穷数列直接套用定义解题,并感受解题规律;

（2）根据an>a1,研究两者之间数列的变化趋势;（3）抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明.

18.（2015北京,20,13分）已知数列{an}满足:

a1∈N*,a1≤36,且an+1=

（n=1,2,…）.记集合M={an|n∈N*}.

（1）若a1=6,写出集合M的所有元素;

（2）若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:

M的所有元素都是3的倍数;

（3）求集合M的元素个数的最大值.

解析　

（1）6,12,24.

（2）证明:

因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.

由an+1=

可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.

如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.

如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,

所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.

类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数.

从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.

综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.

（3）由a1≤36,an=

可归纳证明an≤36（n=2,3,…）.

因为a1是正整数,a2=

所以a2是2的倍数,

从而当n≥3时,an是4的倍数.

如果a1是3的倍数,由

（2）知对所有正整数n,an是3的倍数,

因此当n≥3时,an∈{12,24,36},

这时M的元素个数不超过5.

如果a1不是3的倍数,由

（2）知对所有正整数n,an不是3的倍数,

因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},

这时M的元素个数不超过8.

当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.

综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.

思路分析　

（1）利用已知的递推关系写出数列的前几项,根据周期性写出集合M的所有元素;

（2）利用已知条件以及递推公式的特征进行证明;（3）根据an的范围,分a1是3的倍数和a1不是3的倍数两种情况讨论,继而得集合M的元素个数的最大值.

19.（2014天津,20,14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.

（1）当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;

（2）设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:

若an

解析　

（1）当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.

可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

（2）证明:

由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1