三年级数学 奥数讲座 数阵图一.docx

三年级数学 奥数讲座 数阵图一.docx

《三年级数学 奥数讲座 数阵图一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年级数学 奥数讲座 数阵图一.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

三年级数学奥数讲座数阵图一

2019-2020年三年级数学奥数讲座数阵图

（一）

　　在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

　　那么，到底什么是数阵呢？

我们先观察下面两个图：

　　左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

　　上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

　　同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：

中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以

　　（1+2+3+4+5）+重叠数=9+9，

　　重叠数=（9+9）-（1+2+3+4+5）=3。

　　重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：

与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所

　　以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于

　　[（1+2+3+4+5）+5]÷2=10。

　　因此，两条直线上另两个数（非“重叠数”）的和等于10-5=5。

在剩下的四个数1，2，3，4中，只有1+4=2+3=5。

故有右上图的填法。

例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

分析与解：

例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。

但由例1、例2的分析知道，

　　（1+2+3+4+5）+重叠数

　　=每条直线上三数之和×2，

　　所以，每条直线上三数之和等于（15+重叠数）÷2。

　　因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。

　　若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为

　　（15+1）÷2=8。

　　填法见左下图；

　　若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为

　　（15+3）÷2=9。

　　填法见下中图；

　　若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为

　　（15+5）÷2=10。

　　填法见右下图。

　　由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。

为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。

例4将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

分析与解：

与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。

因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。

于是得到

　　（1+2+…+7）+重叠数×2=10×3。

　　由此得出重叠数为

　　[10×3-（1+2+…+7）]÷2=1。

　　剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。

可得右上图的填法。

　　如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？

怎样填？

例5将10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

解：

与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于

　　[（10+11+…+20）+15×4]÷5=45。

　　剩下的十个数中，两两之和等于（45-15=）30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。

于是得到右上图的填法。

例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。

例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。

　　一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。

　　辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。

对于辐射型数阵图，有

　　已知各数之和+重叠数×重叠次数

　　=直线上各数之和×直线条数。

　　由此得到：

（1）若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于

　　（直线上各数之和×直线条数-已知各数之和）÷重叠次数。

　　如例1、例4。

（2）若已知重叠数，则直线上各数之和等于（已知各数之和+重叠数×重叠次数）÷直线条数。

如例2、例5。

（3）若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。

练习

　　1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。

　　如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？

　　2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。

　　如果中心数是5，那么又该如何填？

　　3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。

（至少找出两种本质上不同的填法）

　　4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

　　5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

　　6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

附送：

2019-2020年三年级数学奥数讲座数阵图

（二）

　　上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

分析与解：

中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为

　　21×2-（1+2+…+8）=6。

　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。

每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有

　　2+6+7=15和3+4+8=15，

　　故有左下图的填法。

　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。

例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

分析与解：

本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。

所以三个重叠数之和等于

　　11×3-（1+2+…+6）=12。

　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。

　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。

容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

　　经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法（见右上图）。

例3将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

分析与解：

与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。

因为三个重叠数都重叠了一次，由（1+2+…+6）+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于

　　[（1+2+…+6）+重叠数之和]÷3

　　=（21+重叠数之和）÷3

　　=7+重叠数之和÷3。

　　因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。

考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。

　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：

　　每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12

例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

分析与解：

四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。

所以四个重叠数之和等于

　　18×4-（2+3+…+9）=28。

　　而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：

　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。

　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。

由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：

　　“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。

　　以上例题都是封闭型数阵图。

　　一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

　　与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

　　对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以

　　已知各数之和+重叠数之和

　　=每边各数之和×边数。

　　由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。

　　前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。

例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

分析与解：

这道题的“重叠数”很多。

有重叠2次的（中心数，记为a）；有重叠1次的（三个数，分别记为b，c，d）。

根据题意应有

　　（1+2+…+7）+a+a+b+c+d=13×3，

　　即a+a+b+c+d=11。

　　因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。

练习

　　1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

　　2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。

　　3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。

　　4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

　　5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。

　　6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。