学年最新人教版九年级数学上册圆周角同步练习3及答案精品试题.docx
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学年最新人教版九年级数学上册圆周角同步练习3及答案精品试题
24.1.4圆周角
5分钟训练（预习类训练,可用于课前）
1.在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对
思路解析：
同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.
答案：
C
2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有（）
图24-1-4-1
A.5对B.6对C.7对D.8对
思路解析：
在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.
先找同弧所对的圆周角：
弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2=∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.
答案：
D
3.下列说法正确的是（）
A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
思路解析：
本题考查圆周角的定义.
答案：
D
4.（2010东北师大附中月考）如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=度.
图24-1-4-2
思路解析：
根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.
答案：
90°
10分钟训练（强化类训练,可用于课中）
1.（山东济南模拟）如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是（）
A.30°B.60°C.15°D.20°
图24-1-4-3图24-1-4-4图24-1-4-5
思路解析：
根据圆周角与圆心角的关系解答.
答案：
C
2.（2010南京建邺一模）如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于（）
A.75°B.60°C.45°D.30°
思路解析：
根据圆周角和圆心角的关系求得.
答案：
B
3.（重庆模拟）如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.
思路解析：
连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.
答案：
50°
4.（经典回放）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.
思路解析：
如图
（1）和图
（2），分两种情况，作直径AD，连结BD，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.
（1）
（2）
答案：
15°或75°
5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？
试证明你的结论.
图24-1-4-6
思路分析：
利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.
解：
当∠BAP=∠CAQ时，△ABC是等腰三角形.
证明：
如图，作出△ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连结DB、CE，由∠BAP=∠CAQ，得弧BD=弧CE.
从而弧BDE=弧CED，所以BD=CE，∠CBD=∠BCE.又BP=CQ，
则△BPD≌△CQE，这时∠D=∠E，由此弧AB=弧AC，故AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
快乐时光
某足球队队员添了一个小孩,所有队友被邀请参加洗礼,来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落,守门员果断地扑出,在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼,守门员习惯地拍了两下,接着熟练地大脚开出.
30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）
1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.
图24-1-4-7
思路分析：
已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.
解：
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中，BC=
=
=8.
∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.
在Rt△ADB中，AD=BD=
AB=5
（cm）.
2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
（）
图24-1-4-9
思路解析：
本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.
A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.
答案:
B
3.（辽宁大连模拟）如图24-1-4-9，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）
A.10°B.20°C.40°D.80°
思路解析：
由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.
答案：
B
4.如图24-1-4-10
（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.
（1）求证：
△DOE是等边三角形.
（2）如图24-1-4-10
（2），若∠A=60°，AB≠AC，则
（1）中结论是否成立？
如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
图24-1-4-10
思路分析：
△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.
（1）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.
∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.
∴△DOE为等边三角形.
（2）解:
当∠A=60°，AB≠AC时，
（1）中的结论仍然成立.
证明：
连结CD.∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.
∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.
5.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.
图24-1-4-11
思路分析：
由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.
解：
∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.
∵AB∥CD，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.
∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.
在Rt△EDB中，BD=
=
，∴BD的长为
.
6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？
图24-1-4-12
思路分析：
在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.
解：
考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.
7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？
为什么？
图24-1-4-13
思路分析：
根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.
解：
船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.
（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于F，连结FB.
∵∠AFB=∠θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.
（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.∵∠E=θ，∠ABD＞∠E，∴∠ADB＞θ.
由
（1）
（2）知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧弧APB外任一点对A、B的视角都小于θ;在圆弧弧APB上任一点对A、B的视角都等于θ;在圆弧弧APB内任一点对A、B的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.
8.（湖北恩施自治州课改区模拟）在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图24-1-4-14
（1）所示：
图24-1-4-14
∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.
又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,
即∠ABC=
∠AOC.
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14
（2）（3）,那么结论会怎样?
请你说明理由.
思路分析：
本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:
（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；
（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.
解：
如果∠ABC的两边都不经过圆心,
结论∠ABC=
∠AOC仍然成立.
（1）对图
（2）的情况,连结BO并延长交圆O于点D,
由题图
（1）知:
∠ABD=
∠AOD,
∠CBD=
∠COD.
∴∠ABD+∠CBD=
∠AOD+
∠COD,
即∠ABC=
∠AOC.
（2）对图（3）的情况仿图
（2）的情况可证.
9.（经典回放）如图24-1-4-15所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm.
（1）求证：
AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若∠A=30°，求⊙O的直径.
图24-1-4-15
思路分析：
根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.
（1）证明:
∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.
∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.
（2）解:
∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.
∴OD=
BC=
×4=2（cm）.
（3）解:
∵∠A=30°，在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=
AB.
∴AB=2BC=8（cm）,即⊙O的直径是8cm.
10.（经典回放）如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=__________.
思路解析：
∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE，而弧AE＋弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD，∠ADB的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO，得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°，这是圆周角定理的直接应用.
答案：
90°
图24-1-4-16图24-1-4-17
11.（经典回放）如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是（）
A.∠APB为锐角B.∠AQB为直角
C.∠ARB为钝角D.∠ASB＜∠ARB
思路解析：
AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角.由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.
答案：
B
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