知识讲解数列基础.docx
《知识讲解数列基础.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解数列基础.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
知识讲解数列基础
数列
【学习目标】
1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题；
2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系；
3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项；
4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.
【要点梳理】
知识点一、数列的概念
一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项•数
列的一般形式可以写成：
ai，a2，a3，…，an，…
简记为，其中数列的第1项ai，也称首项；数列的第n项寺，也叫数列的通项.
要点诠释：
（1）｛an｝与an的含义完全不同：
｛an｝表示一个数列，an表示数列的第n项.
（2）数列的项与项数是两个不同的概念：
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数
是指这个数在数列中的位置序号.
（3）数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
（4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
知识点二、数列的通项公式与前n项和
1.数列的通项公式
如果数列CaJ的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式表示成a^f（n），那么
这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
如数列：
0,1,2,3,的通项公式为a.=n-1；
n_1
1,-1,1,-1，|的通项公式为an--1；
1丄丄丄川I的通项公式为an=l；
234n
要点诠释：
（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；
（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的
如数列：
1,0，1,0，1,0，通项公式可以是an=1（一1），也可以是an=|cosM二|.
22
（3）数列通项公式的作用：
1求数列中任意一项；
2检验某数是否是该数列中的一项•
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的
一般表示.
2.数列｛a.｝的前n项和
数列｛an｝的前n项和：
指数列｛an｝的前n项逐个相加之和，通常用
Sn=ai-.a■..._an.
3.an与Sn的关系
S,n=1；
a—2
n—&丄,（n^2且nWN*）
知识点三、数列的分类
1.根据数列项数的多少分
,有穷数列：
项数有限的数列.例如数列1，2，3和2，4，8都是有穷数列；
；无穷数列：
项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列.
2.根据数列项的函数特性分
递增数列：
从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an+i>an的数列；
递减数列：
从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an+1£
常数数列：
各项都相等，即an+1=an的数列；
摆动数列：
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.根据数列项的大小分
|有界数列：
如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数；
无界数列：
不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数知识点四、数列的表示方法
1.通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.给了数列的通项公式，
可求出数列的每一项•反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项
2.列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：
用a1表示第一项，用
Sn表示，即
代入项数就
a?
表示第二
项，…，用an表示第n项，…，依次写出得数列｛an｝•
项数
1
2
n
项
a
a2
an
3.图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形.
具体方法：
以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以（n,an）为坐标在平面直角坐
标系中做出点•所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小
到大变化而变化的趋势.
4.递推公式法
递推公式：
如果已知数列CaJ的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项片」（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式•
递推公式也是给出数列的一种方法.女口：
数列：
-3,1,5,9,13,|,可用递推公式：
a1=-3,a^and4（n_2）表示；
数列：
3,5,8,13,21,34,55,89,,可用递推公式：
at=3,a2=5,an=an」-务去n_3）
表示.
知识点五：
数列与函数
数列可以看成以正整数集N"（或它的有限子集{1,2,3,|||,n}）为定义域的函数an=f（n）,
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值
反过来，对于函数y=f（x），如果f（i）（i=1,2,3川|,n,|||）有意义，那么我们可以得到一个数列f
（1）,f
（2）,f（3）,；f（n）,'.
要点诠释：
1.数列是离散函数的重要模型之一
数列是一个特殊的函数，它的定义域是正整数或正整数集的子集•数列是离散函数的一种（离散函数是相对于定义在实数集或者实数集的某个区间上的函数而言的），它在数学中
有重要的地位.
2.数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式•数列的通
项公式反映了一个数列项与项数的函数关系•给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列
的每一项•反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项
3.数列的图象是落在y轴右侧的一群孤立的点
数列an=f（n）的图象是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标的一系列孤立的点
（n,an），这些点都落在函数y=f（x）的图象上.因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴
的右侧，而点的有限或无限取决于数列是有穷数列还是无穷数列，我们从图象中可以直观地
看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
4•跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式
【典型例题】
类型一：
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1•写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是：
（1）0,
—?
—?
-
—,；
2
3
4
⑵1,
-3
5
-7
?
—?
••••
?
?
9
16
⑶9,
99,
999,
9999,.
⑷6,
1,
6,1,
【思路点拨】观察法求数列的通项公式，需注意一下两点：
纵向分析：
观察各项与对应的项数n之间的关系；
横向比较：
观察各项之间的变化规律，能否用统一的式子表示
【解析】
（1）将数列改写为Ld
1
22-1
2
32-1
3
42-1...
4
n2-1
故a:
n
故an=10n-1.
（1）;特别注意
2的函数为背景.
很多情况下是将已写出的项进行适当的
数列
-1,
1,
-1
1,
…的通项公式为
an珂-1）"；
数列
1,
2,
3,
4,"
•的通项公式为
an=n；
数列
1,
3,
5,
7,"
•的通项公式为
a」2n-1；
数列
2,
4,
6,
8,"
•的通项公式为
a.=2n；
数列
1,
4,
9,
16,
…的通项公式为
2
an=n；
数列1,1,1,〔，…的通项公式为爲=丄.
234n
举一反三：
【高清课堂：
数列的概念与简单表示法379271数列知识的讲解及配套练习】
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）1
1,1,1，…；
（2）-1
1,
-11•…
（3）1
-1
1-1•…
⑷1,
11
1….
—,-
_,…；
23
4
（5）2
0,2,
0,…
【答案】
（1）an
=1；
⑵
an
=（-1）n2;
⑶
an
=（-1）n1;
⑷
an
=（-1）n11;
n
an
n十
=1+（—1）;
类型二：
通项公式的应用
，写出这个数列的前五项
ai,a2,a3,a4,a5.
1
【答案】-1,丄
2
【变式2】根据下列数列
｛an｝的通项公式，写出它的第五项
n
2n-1
（2）an二nsinJ,
【答案】
（1）—；
（2）5.
9
例3.已知数列｛an｝的通项公式an=3n-2,试问下列各数是否为数列｛a.｝的项，若是，是第几项？
⑴94；
（2）71.
【思路点拨】本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式an=3n_2中，已知项数a.，
求正自然数n，带入解方程即可•
【解析】
（1）设94=3n一2，解得n=32.
故94是数列｛an｝的第32项.
1
（2）设71=3n-2，解得n=24N.
3
故71不是数列｛an｝的项.
【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，n‘a-d'S^aF中知三求二，就是采
用了方程的思想.
举一反三：
【变式】已知数列｛an｝的通项公式an=（n-1）（n-2），
（1）若a.=9900，试问an是第几项?
（2）56和28是否为数列｛耳｝的项？
【答案】
（1）98项；
（2）56是，28不是.
类型三：
递推公式的应用
【高清课堂：
数列的概念与简单表示法379271例2】
例4.设数列｛an｝满足:
a^1，a.=1•丄（n—2），写出这个数列的前五项
anJ
an=1•1，故可以依次写
anJ
出下列前五项.
358
故数列的前5项为:
1，2，-，-，-.
235
【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列
的所有项.
举一反三:
【变式1】已知数列｛an｝满足：
a1=1,a2=3,an2二an“•2an（n_1），写出前6项.
【答案】ai=1,a?
=3,&3=5,a4=11,35=21,a§=43.
【变式2】已知数列｛an｝满足：
a1=2,anj=2an，写出前5项，并猜想an.
【答案】
法一:
a法二：
由an4=2an，二an=2an」即—=2
an4
3n3n_J3n_2
-》
a1
3n』3n_23n：
nJ
…3n—312
类型四：
前n项和公式Sn与通项an的关系
例5.已知数列｛an｝的前n项和公式S，求通项an.
（1）Sn=2n2-n1,
（2）Sn=log2（n1）.
并验证31是否符合所求出的3n.
【解析】
（1）当n—2时，3n=Sn-Sn』=（2n2-n1）-[2（n-1）2-（n-1）1]=4n-3,
当n=1时，冃=3=212-11=2=41-3,
3n
2,（n=1）
4n-3,（n_2且nN*）
（2）当n_2时,
1+1当n=1时，3）=S1=log2（1'1）=1=log21
n+1_*
二3^log2（nN）为所求.
n
【总结升华】已知Sn求出依据的是q的定义：
Sn=3132..<3n，分段求解，然后
检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式
举一反三：
【变式1】已知数列｛an｝的前n项和&=2n-3，求通项an.
【答案】当n_2时，
an二Sn_Sn」=（2n_3）_（2n」一3）=2n_2n」=2n」（2_1）=2心，当n=1时，c=0=21-3=「1=21二=1，
r-1,（n=1）
--annJ*
2,（n_2且nN）
【变式2】已知数列｛a*｝的前n项积Sn=n2，求通项an
【答案】当n_2时,
&n2
Snjn1
1+2当n=1时，a1=Si=1，2=3=
1+1
3（n=1）
an一n2,（n_2且nN*）.
n1
类型五：
数列与函数
3n—2
例6.已知数列｛an｝中an，判断数列｛an｝的单调性，并给以证明
n+3
【思路点拨】选择数列中任意相邻两项比较大小（可采用作差法）即可•
【解析】•••an二心口亠山,
n+3n+3
二数列｛an｝是递增数列.
【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明举一反三：
2a*
【变式1】数列｛an｝中：
印=1,an1=———（nN）an+2
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
2
1
2
2
1
2
2
（1）
a1=1,
a2,a3=
—
a4：
a5=
an:
3
2
4
5
3
6
n+1
2
2
2
（2）
方法一：
'an1_an-'
0,
n2n1（n2）（n1）
二数列｛an｝是递减数列.
2
方法二：
•••函数f（x）在x・[1「：
：
）上单调递减，
X+1
二数列｛an｝是递减数列.
【变式2】数列｛an｝中：
an二a（—）n（n・N*,a=0且a为常数），判断数列&｝的单
2
调性•
【答案】
1、n11、n
-an^an=a
（2）■a
（2）
D,
22
••数列｛an｝是递减数列;
当a0时an1-an
：
0,-
当a0时an1一可
0,
•••数列｛an｝是递增数列
类型六:
求数列前n项和的最值
例7.已知数列｛an｝的前n项和S=-n2+24nn・N".
（1）求｛an｝的通项公式；
⑵当n为何值时，Sn达到最大？
最大值是多少？
S,（n=1V
【思路点拨】第
（1）问采用公式an二注意验证第一项；
Sn_1,（nK2且nWN）
在第
（2）问中，要使0达到最大，可通过通项分析（此时，n满足家n色0；）,也可以通
an+1—0.
过前n项和公式分析（利用函数的单调性）
【解析】
（1）当n=1时，a1=S=10,
当n.2时，
an=S
Sn-1
=_n+24n--n-1]+24i.n-1i=25—2n
而a1=23满足上式,
所以an=25-2n,nN.
法一：
考察函数fx=-X2+24X，它的图象是一条抛物线，如图在抛物线的对称轴x=12处该函数取得最大值144.
所以当n=12时，Sn=-n2+24n取得最大值144.
法二：
an=25-2n可以看作分布在直线gx=25-2x上的一系列
孤立的点，而gx的图象是一条单调递减的直线•
所以要使Sn达到最大值，只需％一°；即可，
]an+i_0・
解得
由n：
=N得，n=12.
当n=12时Sn取得最大值，此时,
S2=23+21+19+17+15+13+11+9+7+5+3+1
=623+1
=144.
【总结升华】求解数列的最值问题时，可转化为相应的函数，再通过函数的最值求得结果.这
个过程用到了转化与化归思想、数形结合思想，综合性较强
举一反三：
【变式1】已知数列｛an｝的前n项和Sn=—n2+11n（n^屮），当n=时，Sn取得最大值.
【答案】5或6
【变式2】当数列｛3n-20｝的前n项和取得最小值时，项数n的值为
【答案】6
升级会员 