源于经典而高于经典的初二几何难题解答概要.docx

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源于经典而高于经典的初二几何难题解答概要

源于经典而高于经典的初二几何难题解答

1、经典题：

已知正方形ABCD和正方形AEFG，B、A、G在一条直线上，求证BE与DG垂直且相等。

证明延长BE交DG于H，AB=AD,AE=AG,Rt△ABE≌Rt△ADG,BE=DG.∠ABE=∠ADG,∠ABE+∠AEB=900，∠AEB=∠DEH,∴∠DEH+∠EDH=900，∴BE⊥DG.即BE与DG垂直且相等.

2、已知正方形ABCD和正方形AEFG，P为BG的中点，M、N分别BD、EG的中点。

（1）如图1，当B、A、G在一条直线上时，试探究△PMN的形状，并证明.

（2）当正方形AEFG绕点A任意旋转到如图2的位置时，

（1）中的结论是否成立?

解：

（1）如图1连接BE、DG，延长BE交DG于H，易证△ABE≌△ADG,BE=DG.∠ABE=∠ADG,∠ABE+∠AEB=900，∠AEB=∠DEH,∴∠DEH+∠EDH=900，∴BE⊥DG.即BE与DG垂直且相等.

又PM是△BDG的中位线，PN是△BGE的中位线，∴PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半.∴PM与PN垂直且相等。

∴△PMN是等腰直角三角形。

（2）如图2，仿

（1）的方法，易证BE与DG垂直且相等。

PM是△BDG的中位线，PN是△BGE的中位线，

∴PM平行且等于DG的一半，PN平行且等于BE的一半.

∴PM与PN垂直且相等。

∴△PMN是等腰直角三角形。

说明：

本题的第

（2）小题也可看成以△ABG边AB、AG向外作正方形ABCD和

正方形AEFG。

可得以上结论。

3、分别以任意四边形ABCD的各边向外作正方形ABEF、AGHD、DIJC、CKLB。

M、N、P、Q分别是各正方形的中心。

（1）求证MP与NQ垂直且相等；

（2）R、S、T、W分别是NM、MQ、QP、PN的中点。

求证四边形RSTW是正方形。

解：

连接AC取AC的中点X，连接XN，XP。

由前面题目易证XN与XP垂直且相等。

同理XM与XQ也垂直且相等。

因此，MP与NQ垂直且相等。

（2）RS平行且等于NQ的一半，TW平行且等于NQ的一半，ST平行且等于MP的一半，MP与NQ垂直且相等，所以，四边形RSTW是正方形。

4、以平行四边形ABCD的各边向外作正方形，E、F、G、H分别是各个正方形的中心。

求证四边形EFGH是正方形。

证法1：

连接AC、BD交于O，O是AC，BD的中点，

连接OE，OF，OG，OH。

由前面题的结论知，

OE与OF垂直且相等，OF与OG垂直且相等，

OG与OH垂直且相等，OH与OE垂直且相等。

且

E、O、F共线，F、O、H共线。

∴EG与FH垂直平分且相等，

∴四边形EFGH是正方形。

证法2：

FB=FC,EB=CG,∠1=1800-∠ABC,

∠BCD=1800-∠ABC,∴∠1=∠BCD.∴∠EBF=∠GCF,

∴△FBE≌△FCG.∴EF=FG.

∠EFB=∠GFC,

∠GFC+∠BFG=900,∠EFB+∠BFG=900,

∴EF⊥FG.

∴EF与FG垂直且相等。

同理：

其它相邻两边也垂直且相等。

∴四边形EFGH是正方形。

5、已知，正方形ABCD和正方形CGEF，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到如图所示的位置，取AE得中点P。

试探究PD与PF的关系且证明。

解：

连接AC，CE，作DM⊥AC于M，FN⊥CE于N，

连接MP，PN。

则PN是△ACE的中位线，

∴四边形MCNP是平行四边形，

MD=MC=PN.MP=CN=NF,

∠DMP=900-∠PMC=900-∠PNC=∠PNF.

∴△MPD≌△NFP.∴PD=PF.

延长MP交FN于H，∠PFH+∠FPH=900,

∠MPD=∠PFN,∴∠MPD+∠FPH=900,∴PD⊥PF.

∴PD与PF垂直且相等。

顺便指出：

若连接PB、PG，仿以上方法，也

可证明PB与PG垂直且相等（证明从略）。

6、分别以△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACGF，P为DG的中点。

试判断△PBC的形状，并证明你的结论。

解：

分别作AD、AG中点M、N，连接MB，NC，

PM，PN。

则PM，PN是△ADG的中位线。

四边形AMPN是平行四边形。

则BM=MA=PN，

PM=AN=NC，由∠AMP=∠ANP，

得∠BMP=900-∠AMP，

∠PNC=900-∠ANP，∴∠BMP=∠PNC，

∴△BMP≌△PNC,

∴PB=PC.

延长NP交MB于点H，则NH⊥MB.

∠HBP+∠HPB=900,∵∠HBP=∠CPN，

∴∠HPB+∠CPN=900.∴PB⊥PC.

即△PBC是等腰直角三角形。

7、△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠EDA=900,∠ABC=900.

（1）如图1，点E、A、C在一条直线上时，M是EC的中点。

求证MD=MB且MD⊥MB；

（2）

将△ADE绕点A顺时针旋转到如图2的位置时，M是EC的中点。

（1）中的结论是否成立？

并说明理由。

证明：

（1）如图1，作DF⊥EA于F；BG⊥AC于G；

∴EM=FG,∴EF=MG,∵EF=FA=DF,∴DF=MG。

FA=MG，∴FM=AG,AG=BG，

∴FM=BG。

∴Rt△DFM≌Rt△MGB.∴MD=MB。

∠FMD=∠MBG.

∠MBG+∠BMG=900,∴∠FMD+∠BMG=900.∴MD⊥MB；

（2）答成立。

证明：

如图2,作DF⊥EA于F；BG⊥AC于G；

连接FM，FD，GM，GB。

易证四边形AFMG

是平行四边形，△DFM≌△MGB。

进而可证MD与MB垂直且相等。

说明；一些以线段为边作等腰直角三角形问题也可

归结为做正方形问题，如本题可以分别B，D为正方形的中心

构造正方形，仿前面的习题也可以证明上述结论。

（从略）

8、如图，分别以△ABC的边AC和BC向外作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点，PQ⊥AB于Q，求证

证明：

PQ是梯形EMNF的中位线，

△AME≌△ACH,△BCH≌△BFN,EM=AH,FN=HB,∴

9、经典题：

如图1，已知点C是线段BD上一点，以BC、CD为一边向同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE,AC与BE交于P,AD与CE交于Q，BE与AD交于F.

（1）求证BE=AD;

（2）求证∠BFD=1200；

（3）判断△CPQ的形状，并证明你的结论；

（4）如图2，将△CED绕点C按顺时针旋转任意角度，其它条件不变，判断

（1）、

（2）中的结论是否成立？

为什么？

＊（5）（用相似三角形明证）如图1，求证

证明：

（1）AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE=1200，∴△ACD≌△BCE,∴BE=AD.

（2）∠CBE=∠CAD,∠CBE+∠ABE=600,∴∠ABE+∠CAD=600,∠BAC=600，

∴∠BFD=∠ABE+∠CAD+∠BAC=600+600=1200.

（3）AC=BC，∠BCP=∠ACQ=600，∠CBP=∠CAQ,∴△BCP≌△ACQ,∴CP=CQ.

∠PCQ=600，∴△CPQ是等边三角形。

（4）AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE,∴BE=AD.

∠CBE=∠CAD,∠CBE+∠ABE=600,∴∠ABE+∠CAD=600,∠BAC=600，

∴∠BFD=∠ABE+∠CAD+∠BAC=600+600=1200.∴

（1），

（2）结论成立。

＊（5）作PM∥AB交BC于M,BC=AB,CD=CE,PQ=PM,

说明：

本题的第（4）小题也可看成以△BCD边BC、CD向外作等边△ABC和等边△ADE。

可得以上结论。

10、已知：

E是线段AB上一点，以AE、EB为边作等边△AED和△EBC,P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、AD的中点。

试判断四边形PQMN的形状，并证明你的结论。

解：

连接AC,BD,由以上经典题得AC=BD，再利用三角形中位线定理可证明四边形OQMN是菱形

11、以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD和△ACE，M、G、H分别是BC、BD、CE的中点。

求证：

①MG=MH；②∠GMH=120°。

证明：

连接DC,BE,由以上经典题,得DC=BE，

再利用三角形中位线定理可证MG=MH；

∠GMH=120°

12、分别以△ABC的两边AB、AC向外作正△ABD和△ACE，BE与CD交于点O。

求证：

（1）BE=CD;并求出∠BOD的度数；

（2）OA平分∠DOE.

证明：

作AF⊥DC于F，AG⊥BC于G，AB=AD，AC=AE，∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE.AF=AG.∴AO平分∠DOE.

13、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB,EB=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于F.试探究DF与EF的大小关系。

解：

作DG⊥AB于G，连接GC、GE。

∵DA=DB,EB=EC,∴G是AC的中点，GB=GC,∴GE⊥BC.∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,∠1=∠2=∠3,∠4=∠BDG,∠BDG+∠2=900，∴∠2+∠4=900，∴DB⊥BC,∴DB‖GB.∠3+∠4=900，∴BE⊥AB,∴DG‖BE.

∴四边形DBEG是平行四边形，DF与BG互相

平分。

即DF=EF.

14、如图，已知AB=10，AC=BD=2，P是线段CD上的动点，△PAE和△PBF都是等边三角形，G为EF的中点。

当P从C运动到D时，求点G移动路径的长。

解：

如图，作出点P从C和D的两个特殊图形，四边形ADFDEC是平行四边形，四边形ACFCED是平行四边形，∴ECFD=AD=8。

EDFC=AC=2。

MGD是△EDECFD的中位线∴MGD=4。

MGC是△ECFCED的中位线，∴MGC=1。

∴点G移动路径的长GCGD=3。

15、经典题：

如图，BD、CE分别是△ABC的两条高，F是BC的中点，G是ED的中点。

求证FG⊥ED.

证明连接FE，FD,

G是ED的中点。

∴FG⊥ED.

16、如图，在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O,过点O作OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q。

D是BC的中点，求证DP=DQ.

证明作OB的中点M，OC的中点N、连接MQ，MD，DN，NP。

易证四边形MDNO是平行四边形。

∠QMO=2∠ABE,

∠ENO=2∠ACF，∠ABE=∠ACF，∠OMD=∠OND，∴∠QMD=∠DNP.

∴△DMQ≌△DNP,∴DP=DQ.

17、如图，已知四边形ABCD中，∠AOD=∠BOC，∠DAO=∠CBO=900，AE=BE，DF=CF,。

求证：

EF⊥AB。

证明：

分别作OD、OC的中点M、N，连接AM，MF，FN，BN，FA，FB。

则MF，NF是△DOC的中位线，易证四边形MFNO是平行四边形。

再由∠DAO=∠CBO=900，则AM=MO=FN，MF=ON=BN，由∠AOD=∠BOC，得∠AMO=∠BNO,因∠OMF=∠ONF,∴∠AMF=∠BNF,∴△AMF≌△BNF,∴FA=FB,因AE=EB,∴FA⊥AB.

18、经典题：

如图，分别以△ABC的AB和AC为边在△ABC外侧作正方形ABEF和正方形ACGH.

（1）如图1，若M是FH的中点，延长MA交BC于D,求证AD⊥BC,且

（2）如图2，若AD⊥BC,延长DA交FH于M。

求证M是FH的中点。

（3）求证

证明

（1）如下图1，延长AM到N使MN=AM,FM=MH,

∠FMN=∠HMA,∴△FMN≌△HMA.∴∠N=∠NAH,FN=AH.

∴FN∥AH.FN=AC,AF=AB,∠NFA=1800-∠FAH=∠BAC,

∴△FAN≌△ABC,AN=BC.∴∠ABC=∠FAN.

∵∠FAN+∠BAD=900,∴∠ABC+∠BAD=900.

∴AD⊥BC.∴

（2）如下图2,分别过F、H作直线MD的垂线，垂足为P，Q。

∠ABD+∠BAD=900,∠FAP+∠BAD=900,∴∠ABD=∠FAP,

AB=AF,∴Rt△ABC≌Rt△FAP,AD=FP.

同理：

Rt△ACD≌Rt△AHQ,AD=QH.∴FP=QH.

易证Rt△FMP≌Rt△HMQ.∴FM=MH.

（3）如下图2,由

（1）和

（2）知，直线AD⊥BC时，

M是FH的中点，FP=AD,且

19、以梯形ABCD的两腰为直角边向外作等腰Rt△ADE、等腰Rt△BCF，G为EF的中点，连结GC、GD.

求证：

GC=GD.

方法1：

【二倍法】【平行线等角转换】【周角法】【Rt△斜边中线=斜边一半】

四边形ABFE，α+β+γ+δ=360°-∠DAE-∠AED-∠CBF-∠CFB=180°

∠MDC=360°-（α+β+γ+δ）-∠ADE=90°，

方法2（平移法）证明：

如图，将等腰Rt△ADE和等腰Rt△BCF沿DC分别向右、向左平移到DC的中点O。

连接PS交EF于点G′。

易证△EG′P≌△FG′S，∴EG′=G′F,PG′=G′S，∴G′是EF的中点，∵G为EF的中点,∴点G′与点G重合。

这就得到一道传统的经典题,即：

以△MON的两边OM、ON为边向形外作等腰Rt△MOP和等腰Rt△NOS,G为PS的中点。

求证：

GO⊥MN。

（证明从略）

∵DC‖AB，∴GO⊥DC，OD=OC,∴OG垂直平分DC，∴GD=GC。

20、以梯形LMNK的两腰为直角边向外作等腰Rt△LMM′、等腰Rt△KNN′，OP垂直平分LK交M′N′于点P.

求证：

PM′=PN′.（2004全国初中数学联赛题变型）

方法1：

△OSW≌△UOR，UR=OW，△OYW≌△VOQ，QV=OW，故UR=QV，又UM′=OL=OK=VN′

∴RM′=QN′，易得PM′=PN′。

方法2（平移法）证明：

如图，将等腰Rt△MLM′和等腰Rt△NKN′沿LK分别向右、向左平移到LK的中点O。

连接HS交M′N′于点P′。

易证△M′HP′≌△N′SP′，∴M′P′=N′P′,HP′=SP′,∴P′是M′N′的中点，P′是HS的中点。

延长P′O交MN于H，

这又得到一道传统的经典题,即：

以△AOB的两边OA、OB为边向形外作等腰Rt△AOH和等腰Rt△BOS，P′是HS的中点。

求证：

P′H⊥AB。

（证明从略）

∵LK‖MN，∴OP⊥LK，∴OP⊥AB。

∵P′OH⊥AB,∴直线PO与直线P′OH重合，∵两条直线相交只有一个交点，∴点P与点P′重合。

∴M′P=PN′即P为M′N′的中点。

21、P为正方形ABCD一点，PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形ABCD的边长。

解：

将△APB绕点B顺时针旋转900，得到△BQC,连接PQ,

∴△PQC是直角三角形，∴∠PQC=900，

∠BPQ=∠PQB=450，∠BQC=∠APB=1350，∠APQ=1800，∴A、P、Q三点共线。

22、如图，已知线段AB=CD=EF=2，∠DOB=∠FOC=600，，AB、CD、EF交于点O。

解：

将△AOE沿AB平移至△BNG处，再将△COF沿CD平移至△BMG处，M、G、N三点共线。

△OMN是等边三角形,且边长为2，

23、如图，已知四边形ABCD中AC、BD交于O，∠DOC=600，,AC=BD。

求AB+CD与AC的大小。

解：

分别取AB、BD、BC、DC的中点E、F、G、M、连接EF、FG、EG、ME、MG。

∴EG≥EF+FG，

∴△MEG是等边三角形，∴EG=ME,∴AB+CD≥AC。

当AB∥DC时，等号成立。

24、如图，已知,六边形四边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，BC∥EF。

且CD-AF=AB-ED=EF-BC>0.求证:

∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F.

证法一：

作平行四边形AFEG，过点G作GN∥AB交

BC的延长线于N，交CD于M.则四边形ABNG和

四边形GMDE均为平行四边形。

AB=GN,AF=EG=DM,

ED=GM.EF=AG=BN,∴CD-AF=CD-DM=CM.，

AB-ED=GN-GM=MN，EF-BC=BN-BC=CN.

∵CD-AF=AB-ED=EF-BC.∴CM=MN=CN.

∴△CMN是等边三角形，

∴∠CMN=∠MCN=∠N=600,.

易求出∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=1200.

证法二：

分别作平行四边形ABCR、AFEP、EDCQ。

AF=EP，CD=EQ，CD-AF=EQ-EP=PQ；AB=CR，

ED=CQ，AB-ED=CR-CQ=RQ；EF=AP，BC=AR

EF-BC=AP-AR=PR。

∵CD-AF=AB-ED=EF-BC，

∴PQ=RQ=PR.。

∴△PQR是等边三角形。

易求出∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=1200.

25、P是边长为1的正方形ABCD内一点，求PA+PB+PC的最小值。

解：

将△BPC绕点B顺时针旋转600，得到△BEF，连接PE、

AF,过点F作FG⊥AB交AB的延长线于G.

∴△BPE是等边三角形，PB=PE.

∵PC=EF,∴PA+PB+PC的最小值为AF.∠ABF=1500，

∠GBF=300，AB=BF=1，

26、已知△ABC中∠ABC=∠ACB=800，D、E分别为AB、AC上的点，∠DCA=300，∠EBA=2,00。

求∠BED得度数。

解：

作FE∥BC交AB于F连接FC交BE于O，连接DO，∴△AFC≌△AEB，∠ABE=∠ACF=200，△BOC和△FOE均为等边三角形，∠EFO=∠BOC=∠OCB=600，∠DCF=100，∠BCD=∠BDC=500，∴BD=BC=BO,∠BOD=800，∠DFO=∠DOF=400，∴DF=DO,DE=DE,FE=OE,∴△DFE≌△DOE，∠BED=300.

27、已知平行四边形ABCD中，AE=CF。

求证：

∠DPA=∠DPC.

解：

连接DF，DE，作DM⊥FC于M,DN⊥AE于N，

，

∵AE=CF，∴DM=DN.∴∠DPA=∠DPC.

28、如图，把△EFC放在面积为40的平行四边形ABCD中，其中∠FEC=900，AE=AF,AE:

DE=3:

5。

求S1+S2的值。

解：

连接FD，∠2=900-∠1，∠A=1800-2∠1=∠BCD，∠3=∠BCD-∠BCE=∠A-∠2=1800-2∠1-∠2=1800-2∠1-（900-∠1）=900-∠1，∴∠2=∠3.∴DE=DC.设AE=3k,ED=5k,DC=5k,AF=3k,

AB=5k,FB=2k.

29、如图，P是正方形ABCD内一点，且∠PBC=∠PCB=150。

求证△APD是等边三角形。

证明作等边△BMC，连接MP。

PB=PC,MB=MC,MP=MP.△BMP≌△CMP,

∴∠BMP=∠CMP=300,∠MBP=∠ABP=750,AB=MB,BP=BP,∴△ABP≌△MBP,

∴∠BAP=∠BMP=300,∴∠PAD=600,同理：

△CDP≌△CMP,可得

∠PDA=600.∴△APD是等边三角形。

30、

△ABC中，AC=BC,BD∥AC,以线段CD为底边作等腰△CED使点E在AB上。

求证∠1=∠2.

证明：

延长DB到F使BF=AC。

BD∥AC,AC=BC,得四边形BCAF是菱形。

∴∠CBE=∠FBE,BC=BF,BE=BE.∴△BCE≌△BFE.∴∠2=∠3，EC=EF.由EC=ED,∴ED=EF,∠1=∠3.∴∠1=∠2.

＊31、已知，如图P为平行四边形ABCD内一点，∠1=∠2.。

求证∠3=∠4。

证明：

过点P作PE∥BC，且使PE=BC，连接EB、EA。

则四边形AEPD和EBCP均为平行四边形。

∴∠2=∠AEP,∠4=∠BEP,∵∠1=∠2.,∴∠1=∠AEP.∴A、E、B、P四点共圆。

∴∠3=∠BEP，∴∠3=∠4.

＊32、Rt△ABC中∠B=900，BD平分∠ABC,且∠ACD=450，求证AD⊥DC.

证明：

∠ABD=∠ACD=450，A、B、C、D四点共圆，AB为直径，

∠ADC=900.