初中几何辅助线大全最全版.docx
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初中几何辅助线大全最全版
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形:
例如：
如图7-1：
已知AC=BD,AD_LAC于A，BCLBD于B,求证:
AD=BC
分柝一欲诬"D=BC-l先浜分别含有-形全等厂有几■稗苏案-公M）C-与ABC%△A。
。
.与△BQG,cAABD.与△BAC,…但根据现有条侏…均无法证.一全.等…差.角;的.相等…因此或.设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：
分别延长DA,CB,它们的延长交于E点
VAD1ACBC1BD（已知）
AZCAE=ZDBE=90°（垂直的定义）
在4DBE与4CAE中
EE（公共角）
DBECAE（已证）
BDAC（已知）
・••丝DBEACAE（AAS）
・・.ed=ecEB=EA（全等三角形对应边相等）
AED-EA=EC-EB
即：
AD=BCo
（当一条件不足时一可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）…
二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：
如图9Te在RtAABC中，AB=AG,ZBAC=90°,Nl=N2,CE_LBD的延长于E。
求证：
BD=2CE殳机;…要证BD三.2CE,…想到要构造线段2CE一同吐CE与
4ABQ.的坐分线垂直,…热纵爰将其甦苣一
证明：
分别延长BA,CE交于点F。
VBE1CF（已知）
AZBEF=ZBEC=90°（垂直的定义）
在4BEF与aBEC中，
1犯知）
7BEBE（公共边）
BEFBEC（已证）
BEFABEC（ASA）.\CE=FE=-CF（全等三角形对应边相等）
2
VZBAC=90°BE±CF（已知）
.\ZBAC=ZCAF=90oZl+ZBDA=90°Zl+ZBFC=90°
AZBDA=ZBFC
在4ABD与AACF中
BACCAF（已证）
BDABFC（已证）
AB=AC（已知）
，丝ABDAACF（AAS），BD=CF（全等三角形对应边相等），BD=2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如：
如图11一1：
〜AB=DC,NA=ND求证:
〜NABC=NDCB«u
分柝2…由..AB=DC-,.…NA=NDl想到-如取-AD-的单点耳-…连接腿广照厂-再由SA3-公理和AABN^ADCN故BN=CN,ZABN=ZDCNo下面只需证NNBC=NNCB,再取BC的中点M,连接MN,…则或§SS公理有ANBM空△NCM…所弘NNBC=/NCB。
…问题得证。
在△XBM与ANCM中
NB=NC（已证）
7BM=CM（辅助线的作法）
NM=NM（公共边）
刈△NCM,（SSS）AZNBC=ZNCB（全等三角形对应角相等），/NBC+/ABN=ZNCB+ZDCN即NABC=NDCB。
巧求三角形中线段的比值
求AF：
FCo
例1.如图"在AABC中，BD：
DC=1：
3TAErED=2t3,解：
过点D作DG//AC,交BF于点G
所以DG：
FC=BD：
BC
因为BD：
DC=1：
3所以BD：
BC=1：
4
即DG：
FC=1：
4,FC=4DG
因为DG：
AF=DE：
AE又因为AE：
ED=2：
3
所以DG：
AF=3：
2
解：
过点C作CG〃DE交AB于点G,则有EF：
GC=AF：
AC
因为AF=FC所以AF：
AC=1：
2
即EF：
GC=1：
2,因为CG：
DE=BC：
BD又因为BC=CD
所以BC：
BD=1：
2CG：
DE=1：
2因为FD=ED—EF=
所以EF：
FD=
小结:
一以上两.例中，一辅助线都作在了…“已知”…条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。
请再看两例2让我们感受其中的更妙!
例3L如图3,BD7DC=1：
3,AE：
EB三2二3；求AF：
…FD:
解：
过点B作BG//AD,交CE延长线于点Go所以DF：
BG=CD：
CB
因为BD：
DC=1：
3所以CD：
CB=3：
4
又因为AE：
EB=2：
3
即DF：
BG=3：
4,因为AF：
BG=AE：
EB
所以AF：
BG=2：
3
所以AF：
DF=
例4.如图4,BD：
-DC=lf3,AF=FD,求EF：
FC。
解：
过点D作DG〃CE,交AB于点G所以EF：
DG=AF：
AD
因为AF=FD
所以AF：
AD=1：
2
所以BD：
BC=1：
4
即EF：
DG=1：
2
因为DG：
CE=BD：
BC,又因为BD：
CD=1：
3,即DG：
CE=1：
4,CE=4DG
因为FC=CE—EF=
=1：
7
所以EF：
FC=
练习：
1.如图5-BD=DC,AE：
ED=1：
5,求AF-FB。
—
以如图6,EC=5jU^求BF：
FC0
二由角平分线想到的辅助线
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
试试看。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合
角平分线具有两条性质：
a、对称性；b、角平分点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑
作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
例L如图1-2,AB//CD,BE平分NBCD,
CE平分NBCD,点E在AD上，求证：
BOAB+CD。
分析：
此题中就涉及到角平分线，可以利
用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题
中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
例2.已知：
如图1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB,求证DCLAC分析：
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段
相等。
其它问题自己证明。
例3.已知：
如图1-4,在AABC中,
平分NBAC,求证：
AB-AC=CD
分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的
线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的
延长来证明呢?
图1—4
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.如图2—1,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BCo求证：
ZADC+ZB=180
分析：
可由C向/BAD的两边作垂线。
近而证/ADC
与NB之和为平角。
例2.如图2-2,在AABC中，ZA=90，AB=AC,ZABD=ZCBDo
求证：
BC=AB+AD
分析：
过D作DELBC于E,则AD=DE=CE,则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题,从中利用了相当于截取的方法。
例3.已知如图2-3,AABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：
ZBAC
的平分线也经过点P。
分析：
连接AP,证AP平分/BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，
垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1.已知：
如图3—1,ZBAD=ZDAC,AB>AC,CD±ADD,H是BC中点。
求证：
DH=L（AB-AC）
2
分析：
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例2,已知：
如图3-2,AB=AC,ZBAC=90,AD为NABC的平分线，CELBE.求证：
BD=2CEo
分析：
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3.已知：
如图3-3在AABC中，AD、AE分别/BAC的内、外角平分线,
AD=AB,CM±AD交AD
过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。
求证：
AM=MEo
分析：
由AD、AE是NBAC内外角平分线，可得EA±AF,从而有BF〃AE,所以想到利用比例线段证相等。
例4.已知：
如图3-4,在4ABC中，AD平分NBAC,
延长线于M。
求证：
AM二L（AB+AC）
2
分析：
题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作如
D关于AD的对称AAED,然后只需证DM=1EC,另外
由求证的结果AM=-（AB+AC）,即2AM=AB+AC,也可2
尝试作4ACM关于CM的对称△FCM,然后只需证DF=C
F即可。
三由线段和差想到的辅助线
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等
于另一条;
2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
注意：
利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
例1.如图，AC平分/BAD,CE±AB,且NB+ND=180°，求证：
AE=AD+BE。
例3已知：
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,求证：
BOAB+DC。
例4如图，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AD是NCAB的平分线，DM±AB
工
于M,且AM=MB。
求证：
CD=2DB。
1.如图，AB〃CD,AE、DE分别平分NBAD各NADE,求证：
AD=AB+CD。
2.如图，4ABC中，NBAC=90。
AB=AC,AE是过A的一条直线，且B,C
在AE的异侧，
BDLAE于D,CELAE于E。
求证：
BD=DE+CE
四由中点想到的辅助线
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
（一）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、Ho求证：
ZBGE=ZCHEo
证明：
连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,
••.ME是△BCD的中位线,
，ME
CD,AZMEF=ZCHE,
•「MF是△ABD的中位线,
AB,AZMFE=ZBGE,
AB=CD,AME=MF,AZMEF=ZMFE,从而NBGE=NCHE。
（二）、由中线应想到延长中线
例3.图4,已知AABC中，AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
解：
延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=2X2=4。
在AACD和AEBD中，
TAD=ED,NADC=NEDB,CD=BD,
AAACD^AEBD,，AC=BE,
从而BE=AC=3。
在AABE中，因2+BE2=4z+32=25=AB?
故NE=90°,
AE
（三）、直角三角形斜边中线的性质
例5.如图6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC1BC,AD1BD,求证:
AC=BD。
证明：
取AB的中点E,连结DE、CE,则DE、CE分别为RtAABD,Rt△ABC
斜边AB上的中线，故DE=CE二
AB,因此/CDE二
ZDCEo
VAB//DC,
AZCDE=Z1,ZDCE=Z2,
AZ1=Z2,
在AADE和△BCE中,
VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,
JAADE^△BCE,AAD=BC,从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AOBD。
（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6.如图7,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分/ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。
求证：
BD=2CEo
证明：
延长BA,CE交于点F,在ABEF和ABEC中,VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,
AABEF^ABEC,AEF=EC,从而CF=2CE。
又Nl+NF=N3+NF=90。
，故N1=N3。
在AABD和△ACF中，VZ1=Z3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°，
AABD^AACF,BD=CF,Z.BD=2CE。
注：
此例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线。
（五）中线延长
口诀：
三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
1如图，AB=CD,E为BC的中点，ZBAC=ZBCA,求证：
AD=2AEo
如图,AB=AC,AD=AE,M为BE中点,
E
五全等三角形辅助线
（一）、倍长中线（线段）造全等
1：
（“希望杯”试题）已知，如图AABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是
BDC
2：
如图，AABC中，E、F分别在AB、AC上，DE±DF,D是中点，试比较B
E+CF与EF的大小.
3：
如图，AABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：
AD平分NBAE.
中考应用
例题：
以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,
BADCAE90连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：
AM与DE的位
J
置关系及数量关系.
（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，
线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（0＜〈90）后,如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由.
（二）、截长补短
L如图，ABC中，AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证：
CD±AC
2：
如图，AC〃BD,EA,EB分另1J平分NCAB,/DBA,CD过点E,求证;AB=AC+
BD
3：
如图，已知在VABC内，BAC60°,C400,P,Q分别在BC,CA
上，并且AP,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
4：
如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分ABC,求证:
AC1800
如图，在四边形AirCD中//BC,点E拈八〃上一个动点.若公…二心口:
60，判断4DME与BC的关系并证明你的结论.
解:
（三）、借助角平分线造全等
1：
如图，已知在AABC中，ZB=60°,ZiABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：
0E=0D
2：
（06郑州市中考题）如图，AABC中，A
的长.
D平分NBAC,DGLBC且平分BC,DELAB于E,的理由；
（2）如果AB=a,AC=b,求AE、BE
3.如图①，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为
（1）
对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:
如图②，在AABC中，/ACB是直角，ZB=60°，AD、CE分别是NBAC、
NBCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在AABC中，如果/ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变,
（四）、旋转
2：
D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM_LDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
BDC1200,以D为顶点做一个6。
°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AMN的周长为
Iv!
4.
ZMBN
已知四边形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,ZABC120%
60。
，/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.
当NMBN绕B点旋转到AECF时（如图1）,易证AECFEF.
当NMBN绕B点旋转到AECF时丁在图2和图3这两种情况下，上述结
数量关系？
请写出你的猜想，不需证明.
5.已知:
PA=石，PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB
的两侧.
⑴如图，当NAPB=45°时，求AB及PD的长;
⑵当NAPB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应NAPB的大小.
6.在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC外
一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC
上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
图1图2图3
（I）如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数
量关系是;此时9；
L
（H）如图2,点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（II）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
梯形中的辅助线
即CD=8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围。
2、平移两腰:
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点，连接EF,求EF的长。
解：
过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H,可得ZEGH+ZEHG=ZB+ZC=90°
则AEGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以EF|gH；（BCBGCH）
11
"（BCAEDE）-[BC（AEDE）]
!
（BCAD）1（31）1
3、平移对角线：
例4、已知：
梯形ABCD中，AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积.
解：
如图，作DE〃AC,交BC的延长线于E点.
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,BD=52,求证：
AC±BDo
解：
过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC,CE=BD=5”2,所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=
所以在AACE中，AC2CE2（5v2）2（572/100AE2,
从而ACLCE,于是ACLBD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求梯形ABCD的面积。
解：
过点D作DE〃AC,交BC的延长线于点E,
则四边形ACED是平行四边形，
pnSSS
叩ABDACDDCE°
所以S梯形abcdSdbE
由勾股定理得ehJDE2—DH2Jac2―dhT
12^9（cm）
BH\lBD2DH2<20212216（cm）
c11
S-BEDH-（916）12150（cm2）,」
所以dbe22\即梯形ABCD的面积是
150cm2o
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,ZC=80°,AD=2,BC=5,求CD的长。
解：
延长BA、CD交于点E。
在
△BCE中，ZB=50°,ZC=80°。
所以NE=50°,从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC-ED=5—2=3
AC=BD,AD=BC.判断
例&如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC,四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：
四边形ABCD是等腰梯形.
证明：
延长AD、BC相交于点E,如图所示.
•・・AC=BD,AD=BC,AB=BA,
AADAB^ACBA.
・・・NDAB=NCBA.
，EA=EB.
又AD=BC,ADE=CE,ZEDC=ZECD.
而ZE+ZEAB+NEBA=ZE+ZEDC+NECD=180°,・・・NEDC=NEAB,ADC/7AB.
又AD不平行于BC,
・•・四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
BC二CD,BEJ_CD于点E,
解：
连结BD,
例9如图6,在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±AD,求证：
AD=DEo
由AD//BC,得NADB=NDBE；由BC=CD,得NDBONBDC。
所以NADB=/BDE。
又NBAD=NDEB=90°,BD=BD,
所以Rt^BADgRtZXBED,
得AD=DEo
（四）、作梯形的高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC,对角线AC±BD,垂足为F,过点F作EF〃AB,交AD于点E,求证：
四边形ABFE是等腰梯形。
证：
过点D作DG_LAB于点G,则易知四边形DGBC是矩形，所以DOBG。
因为AB=2DC,所以AG=GB。
从而DA=DB,于是NDAB=NDBA。
又EF〃AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,ZABC=60°,AD=3cm,BC=5c
m，
求：
⑴腰AB的长；
（2）梯形ABCD的面积.解
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