初中几何辅助线四边形辅助线大全.docx
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初中几何辅助线四边形辅助线大全
初中几何辅助线——四边形辅助线大全
题型1.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.
例1已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长.
解：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD，AD=CB，AO=CO
∵AB＋CD＋DA＋CB=60
AO＋AB＋OB－（OB＋BC＋OC）=8
∴AB＋BC=30，AB－BC=8
∴AB=CD=19，BC=AD=11
答：
这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.
题型2.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.
（例题如上）
题型3.有平行线时常作平行线构造平行四边形.
例2已知，如图，Rt△ABC，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H
求证：
CE=BH
证明：
过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为平行四边形
∴∠B=∠FPA，BH=FP
∵∠ACB=90o，CD⊥AB
∴∠5＋∠CAB=45o，∠B＋∠CAB=90o
∴∠5=∠B
∴∠5=∠FPA
又∵∠1=∠2，AF=AF
∴△CAF≌△PAF
∴CF=FP
∵∠4=∠1＋∠5，∠3=∠2＋∠B
∴∠3=∠4
∴CF=CE
∴CE=BH
练习：
已知，如图，AB∥EF∥GH，BE=GC
求证：
AB=EF＋GH
题型4.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.
例3已知，如图，在□ABCD中，AB=2BC，M为AB中点
求证：
CM⊥DM
证明：
延长DM、CB交于N
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠A=∠NBA
∠ADN=∠N
又∵AM=BM
∴△AMD≌△BMN
∴AD=BN
∴BN=BC
∵AB=2BC，AM=BM
∴BM=BC=BN
∴∠1=∠2，∠3=∠N
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N=180o，
∴∠1＋∠3=90o
∴CM⊥DM
题型5.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.
例4如图：
OE=OF
题型6.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.
例5如图：
S△BEC=
S□ABCD
题型7.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.
例6如图：
S△AOB＋S△DOC=S△BOC＋S△AOD=
S□ABCD
题型8.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.
例7如图：
AO2＋OC2=BO2＋DO2
题型9.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.
例8如图：
四边形GHMN是矩形
（题型5～题型9请自己证明）
题型10.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.
例9已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G
求证：
PF＋PG=AB
证明：
证法一：
过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形
∴AH=GPPH∥AD
∴∠ADB=∠HPB
∵BE=DE
∴∠EBD=∠ADB
∴∠HPB=∠EBD
又∵∠PFB=∠BHP=90o
∴△PFB≌△BHP
∴HB=FP
∴AH＋HB=PG＋PF
即AB=PG＋PF
证法二：
延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形，（证明略）
题型11.直角三角形常用辅助线方法
⑴作斜边上的高
例10已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E
求证：
AC=CE
证明：
过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG
∴∠FAE=∠AEG
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAD=90oOA=OD
∴∠BDA=∠CAD
∵AF⊥BD
∴∠ABD＋∠ADB=∠ABD＋∠BAF=90o
∴∠BAF=∠ADB=∠CAD
∵AE为∠BAD的平分线
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE－∠BAF=∠DAE－∠DAC
即∠FAE=∠CAE
∴∠CAE=∠AEG
∴AC=EC
⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线
①有斜边中点时
例11已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点
求证：
GF⊥DE
证明：
连结GE、GD
∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点
∴GE=
AB，GD=
AB
∴GE=GD
∵F是DE的中点
∴GF⊥DE
②有和斜边倍分关系的线段时
例12已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC=
BD
求证：
∠ACB=2∠B
证明：
取BD中点E，连结AE，则AE=BE=
BD
∴∠1=∠B
∵AC=
BD
∴AC=AE
∴∠ACB=∠2
∵∠2=∠1＋∠B
∴∠2=2∠B
∴∠ACB=2∠B
题型12.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.
例13已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F
求证：
AP=EF
证明:
连结AC、PC
∵四边形ABCD为正方形
∴BD垂直平分AC，∠BCD=90o
∴AP=CP
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90o
∴四边形PECF为矩形
∴PC=EF
∴AP=EF
题型13.有正方形一边中点时常取另一边中点.
例14已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N
求证：
MD=MN
证明：
取AD的中点P，连结PM，则DP=PA=
AD
∵四边形ABCD为正方形
∴AD=AB,∠A=∠ABC=90o
∴∠1＋∠AMD=90o，又DM⊥MN
∴∠
2＋∠AMD=90o
∴∠1=∠2
∵M为AB中点
∴AM=MB=
AB
∴DP=MBAP=AM
∴∠APM=∠AMP=45o
∴∠DPM=135o
∵BN平分∠CBE
∴∠CBN=45o
∴∠MBN=∠MBC＋∠CBN=90o＋45o=135o
即∠DPM=∠MBN
∴△DPM≌△MBN
∴DM=MN
注意：
把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
练习：
已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且AP=PC＋BC
求证：
∠BAP=2∠QAD
题型14.利用正方形进行旋转变换
旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.
旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.
例15已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，D为BC边上任一点
求证：
2AD2=BD2＋CD2
证明：
把△ABD绕点A逆时针旋转90o得△ACE
∴BD=CE∠B=∠ACE
∵∠
BAC=90o
∴∠DAE=90o
∴DE2=AD2＋AE2=2AD2
∵∠B＋∠ACB=90o
∴∠DCE=90o
∴CD2＋CE2=DE2
∴2AD2=BD2＋CD2
注意：
把△ADC绕点A顺时针旋转90o也可，方法同上。
练习：
已知，如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F
求证：
BE=CF＋AE
题型15.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.
例16如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点
求证：
AP=AB
证明：
延长CF交BA的延长线于K
∵四边形ABCD为正方形
∴BC=AB=CD=DA∠BCD=∠D=∠BAD=90o
∵E、F分别是CD、DA的中点
∴CE=
CDDF=AF=
AD
∴CE=DF
∴△BCE≌△CDF
∴∠CBE=∠DCF
∵∠BCF＋∠DCF=90o
∴∠BCF＋∠CBE=90o
∴BE⊥CF
又∵∠D=∠DAK=90oDF=AF∠1=∠2
∴△CDF≌△KAF
∴CD=KA
∴BA=KA
又∵BE⊥CF
∴AP=AB
练习：
如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD＋CP
求证：
AQ平分∠DAP
题型16.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.
例17已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7
求∠B的度数
解：
过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形
∴AD=EC，CD=AE
∵AB=CD=4,
AD=3,BC=7
∴BE=AE=AB=4
∴△ABE为等边三角形
∴∠B=60o
题型17.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.
例18已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90o，BD=BC，BD交AC于O
求证：
CO=CD
证明：
过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形
∴AE=DF
∵AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90o，
∴AE=BE=CE=
BC，∠ACB=45o
∵BC=BD
∴AE=DF=
BD
又∵DF⊥BC
∴∠DBC=30o
∵BD=BC
∴∠BDC=∠BCD
=
（180o－∠DBC）
=75o
∵∠DOC=∠DBC＋∠ACB=30o＋45o=75o
∴∠BDC=∠DOC
∴CO=CD
题型18.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形.
例19已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC=10，DE⊥BC于E
求DE的长.
解：
过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形
∴AC=DF，AD=CF
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AC=DB
∴BD=FD
∵DE⊥BC
∴BE=EF=
BF
=
（BC＋CF）=
（BC＋AD）
=
×10=5
∵AC∥DF，BD⊥AC
∴BD⊥DF
∵BE=FE
∴DE=BE=EF=
BF=5
答：
DE的长为5.
题型19.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.
例20已知，如图，在四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，AD＜BC
求证：
四边形ABCD等腰梯形
证明：
延长BA、CD，它们交于点E
∵∠B=∠C
∴EB=EC
又∵AB=DC
∴AE=DE
∴∠EAD=∠EDA
∵∠E＋∠EAD＋∠EDA=180o
∠B＋∠C＋∠E=180o
∴∠EAD=∠B
∴AD∥BC
∵AD≠BC，∠B=∠C
∴四边形ABCD等腰梯形
（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D作BC的垂线）
题型20.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形.
例21已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F
求证：
S梯形ABCD=EF·AB
证明：
过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB
∴S□ABNM=AB·EF
∵AD∥BC
∴∠M=∠MNC
又∵DE=CE∠1=∠2
∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN=S△DEM
∴S梯形ABCD=S五边形ABNED＋S△CEN=S五边形ABNED＋S△DEM
=S梯形ABCD=EF·AB
题型21.有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形.
例22已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE=EC=BC
求证：
∠AEC=3∠DAE
证明：
连结BE并延长交AD的延长线于N
∵AD∥BC
∴∠3=∠N
又∵∠1=∠2ED=EC
∴△DEN≌△CEB
∴BE=ENDN=BC
∵AB⊥AD
∴AE=EN=BE
∴∠N=∠DAE
∴∠AEB=∠N＋∠DAE=2∠DAE
∵DE=BCBC=DN
∴DE=DN
∴∠N=∠1
∵∠1=∠2∠N=∠DAE
∴∠2=∠DAE
∴∠AEB＋∠2=2∠DAE＋∠DAE
即∠AEC=3∠DAE
题型22.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.
例23已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC
求证：
∠B=∠C
证明：
过E作EM∥AB,EN∥CD,交BC于M、N，则得□ABME，□NCDE
∴AE=BM，AB∥=EM，DE=CN，CD=NE
∵AE=DE
∴BM=CN
又∵BF=CF
∴FM=FN
又∵EF⊥BC
∴EM=EN
∴∠1=∠2
∵AB∥EM，CD∥EN
∴∠1=∠B∠2=∠C
∴∠B=∠C
题型23.任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半.
例24已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC=4，BD=3.4,求梯形ABCD的面积.
解：
∵AC⊥BD
∴S△ABD=
AO·BD
S△BCD=
CO·BD
∴S梯形ABCD=S△ABD＋S△BCD
=
AO·BD＋
CO·BD
=
（AO＋CO）·BD
即S梯形ABCD=
AC·BD=
×4×3.4
=6.8
答：
梯形ABCD面积为6.8.
题型24.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题.
例25已知：
△ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点F
求证：
F为CD的中点
证明：
过D作DN∥AE交BC于N
∵D为AB中点
∴BN=EN
又∵E为BC的三等分点
∴BN=EN=CE
∵DN∥AE
∴F为CD的中点
题型25.有下列情况时常作三角形中位线.
⑴有一边中点；
⑵有线段倍分关系；
⑶有两边（或两边以上）中点.
例26如图，AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O
求证：
OF=
CE
证明：
取AE的中点N，连结ON,则ON为△ACE的中位线
∴ON∥CE，ON=
CE
∴∠6=∠ONE
∵四边形ABCD为正方形
∴∠3=∠4=45o
∴∠5=∠3＋∠1,∠6=∠4＋∠2
∵∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵∠6=∠ONE
∴∠ONE=∠5
∴ON=OF
∴OF=
CE
题型26.有下列情况时常构造梯形中位线
⑴有一腰中点
⑵有两腰中点
⑶涉及梯形上、下底和
例27已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90o,E为CD的中点，连结AE、BE
求证：
AE=BE
证明：
取AB的中点F，连结EF，则
EF∥AD
∴∠DAB=∠EFB=90o
∴EF⊥AB
∴EF为AB的中垂线
∴AE=BE
例28从□ABCD的顶点ABCD向形外的任意直线MN引垂线AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分别为A’、B’、C’、D’
求证：
AA’＋CC’=BB’＋DD’
证明：
连结AC、BD，它们交于点O，过O作OE⊥MN于E，则AA’∥OE∥CC’
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AO=CO
∴A’E=C’E
∴AA’＋CC’=2OE
同理可证：
BB’＋DD’=2OE
∴AA’＋CC’=BB’＋DD’
题型27.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形.
题型28.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形.
题型29.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形.
题型30.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形.
题型31.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形.
题型32.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）.
以上各题型请自己证明.（利用中位线证明）
题型33.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.
例29已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，对角线AC、BD相交于O，∠AOB=60o，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点
求证：
△MEF是等边三角形
证明：
连结BF、CE
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AD=BC，AC=BD
又∵AB为公共边
∴△ABD≌△BAC
∴∠CAB=∠DBA
∴OA=OB
∵∠AOB=60o
∴△ABO为等边三角形
又∵F为AO中点
∴BF⊥AC
∵M为BC中点
∴MF=
BC
同理可证：
ME=
BC
∵E、F分别为OD、OA中点
∴EF=
AD
∵AD=CB
∴ME=MF=EF
∴△MEF为等边三角形
题型34.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半.
例30已知，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120O.
求证：
AB=
BD
题型35.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积.
例31已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F
求证：
S梯形ABCD=EF·AB
证明：
过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB
∴S□ABNM=AB·EF
∵AD∥BC
∴∠M=∠MNC
又∵DE=CE∠1=∠2
∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN=S△DEM
∴S梯形ABCD=S五边形ABNED＋S△CEN=S五边形ABNED＋S△DEM
题型36.若菱形有一内角为120o，则菱形的周长是较短对角线长的4倍.
例32已知，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120O.
求证:
AB=BD
（证明略）
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