中考数学深度复习讲义.docx

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中考数学深度复习讲义

2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）梯形

◆考点聚焦

1．了解梯形、直角梯形、等腰梯形的概念．

2．掌握等腰梯形的性质和判定，并能进行计算和证明．

3．通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题．

4．掌握三角形中位线定理和梯形面积公式，了解梯形中位线定理．

◆备考兵法

1．本节内容在考试中主要涉及梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、性质和判定，三角形与梯形中位线定理．考查的形式有填空题、选择题、解答题，有时也会出现开放题和探索题．主要以计算和证明为主，图形的变换和运动、面积类问题也容易和梯形挂上钩．

2．解答时需要添加一些较明显的辅助线，将梯形问题转化为三角形、矩形或平行四边形来解决，体会转化的思想．

◆识记巩固

1．梯形：

一组对边______，另一组对边_______的四边形叫梯形．

等腰梯形：

两腰_______的梯形叫等腰梯形．

直角梯形：

有一个角_________的梯形叫直角梯形．

2．等腰梯形的特征：

（1）等腰梯形同一底上的两个角_______．

（2）等腰梯形的对角线_______．

（3）等腰梯形是_______对称图形，其对称轴是_________．

3．等腰梯形的判定：

（1）_____________的梯形是等腰梯形．（定义）

（2）_________________的梯形是等腰梯形．

（3）_______________的梯形是等腰梯形．

4．三角形和梯形的中位线定理：

（1）三角形的中位线________于第三边且等于第三边的_______．

（2）梯形的中位线_______于两底且等于两底和的_______．

5．梯形的面积：

如图所示，S梯形ABCD=（AB+CD）•DE=________（用L表示中位线，h表示高）．

在该梯形中，面积相等的三角形有：

_____________；_____________；_____________．

识记巩固参考答案:

1．平行不平行相等直角2．

（1）相等

（2）相等（3）轴过两底中点的直线3．

（1）两腰相等

（2）同一底上的两角相等（3）对角线相等4．

（1）平行一半

（2）平行一半5．ch

（1）S=S

（2）S=S（3）S=S

◆典例解析

例1（2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC,BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：

为等边三角形. 

【答案】

证明:

因为DC‖AB，，所以.

又因为平分，所以………………2分

因为DC‖AB，所以，所以所以4分

因为，所以F为BD中点，又因为，所以……6分

由，得，所以为等边三角形.………………8分

例2（2011山东泰安，27，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC.

（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：

△AOE∽△COF

（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：

四边形EFDG是菱形。

【答案】证明：

∵点E是BC的中点，BC=2AD

∴EC=BE=12BC=AD

又∵AD∥EC

∴四边形AECD为平行四边形

∴AE∥DC

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO

∴△AOE∽△COF

（2）证明：

连接DE

∵AD∥BE，AD=BE

∴四边形ABED是平行四边形

又∠ABE=900

∴□ABED是矩形

∴GE=GA=GB=GD=12BD=12AE

∵E、F分别是BC、CD的中点

∴EF、GE是△CBD的两条中位线

∴EF=12BD=GD，GE=12CD=DF

又GE=GD∴EF=GD=GE=DF

则四边形EFDG是菱形

例3（2008，四川广安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：

CF=AD；

（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？

为什么？

解析

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠F=∠DAE．

又∵∠FEC=∠AED，CE=DE，

∴△FEC≌△AED，

CF=AD．

（2）当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上．

∵BC=6，AD=2，AB=8，

∴AB=BC+AD．

又∵CF=AD，BC+CF=BF，

∴AB=BF．

∴点B在AF的垂直平分线上．

点评在

（2）中要证点B在线段AF的垂直平分线上，其实是依据到AF的两端点A，F距离相等的点在AF的垂直平分线上来证的，即只需从证明AB=BF出发倒推即可．

拓展变式1在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=CD，E是AB的中点，则∠CED=_____度．

答案90

拓展变式2如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积等于_______．

答案:

ab

2011年中考真题

一、选择题

1.（2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。

其中假命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

2.（2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:

①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

3.（2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

4.（2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，对角线BD、AC相交于点O。

下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（）

A.∠1=∠4B.∠1=∠3C.∠2=∠3D.OB2+OC2=BC2

【答案】B

5.（2011台湾台北，15）图（五）为梯形纸片ABCD，E点在上，且，＝3，＝9，＝8。

若以为折线，将C折至上，使得与交于F点，则长度为何？

A．4.5B。

5C。

5.5D．6

【答案】B

6.（2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°,BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是（）

A.CP平分∠BCD

B.四边形ABED为平行四边形

C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分

D.△ABF为等腰三角形

【答案】C

7.（2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

8.（2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC,AB=8cm,则△COD的面积为

A.B. 

C.D. 

【答案】A

9.（2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是

A．40°．　　B．45°．C．50°．　　　D．60°．

【答案】C

10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（）.

A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEF

C.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF

（第12题图）

【答案】D

11.

12.

二、填空题

1.（2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形中,∥,,则度.

【答案】 

2.（2011浙江湖州，14，4）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：

9，若AD=1，则BC的长是．

【答案】3

3.（2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm。

【答案】2.提示：

∠CAB=90°-60°=30°，

又∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=∠B=60°，

∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。

又∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC。

∴CD=AD=BC=2cm。

4.（2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.

【答案】 

5.（2011江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是▲cm．

【答案】15

6.（2011重庆江津，13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________.

【答案】30•

7.．（2011江苏南京，10，2分）等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．

【答案】6

8.（2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．

⑴⑵⑶

【答案】100

9.（2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.

【答案】2或 

10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是▲．

【答案】等腰梯形

11.

12.

三、解答题

1.（2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC,BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：

为等边三角形. 

【答案】

证明:

因为DC‖AB，，所以.

又因为平分，所以………………2分

因为DC‖AB，所以，所以所以4分

因为，所以F为BD中点，又因为，所以……6分

由，得，所以为等边三角形.………………8分

2.（2011山东菏泽，17

（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．

 【答案】解：

过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，

∴四边形AGCD是平行四边形，

∴GC=AD，

∴BG=BC－AD=4－1=3，

在Rt△ABG中，

AG= ，

∵EF∥DC∥AG，

∴，

∴EF= ．

3.（2011山东泰安，27，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC.

（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：

△AOE∽△COF

（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：

四边形EFDG是菱形。

【答案】证明：

∵点E是BC的中点，BC=2AD

∴EC=BE=12BC=AD

又∵AD∥EC

∴四边形AECD为平行四边形

∴AE∥DC

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO

∴△AOE∽△COF

（2）证明：

连接DE

∵AD∥BE，AD=BE

∴四边形ABED是平行四边形

又∠ABE=900

∴□ABED是矩形

∴GE=GA=GB=GD=12BD=12AE

∵E、F分别是BC、CD的中点

∴EF、GE是△CBD的两条中位线

∴EF=12BD=GD，GE=12CD=DF

又GE=GD∴EF=GD=GE=DF

则四边形EFDG是菱形

4.（2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.

求证：

DE=AF.

【答案】证明：

∵BE=FC

∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴AB=DC∠B=∠C

在⊿DCE和⊿ABF中，

DC=AB

∠B=∠C

CE=BF

∴⊿DCE≌⊿ABF（SAS）

∴DE=AF

5.（2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。

（1）求证：

⊿MDC是等边三角形；

（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E,MC即MC′）同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。

如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.

【答案】

（1）证明：

过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,

∵∠C=∠B=600

∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB

又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,

由已知，点M是BC的中点，

BM=CM=AD=AB=CD,

即⊿MDC中，CM=CD,∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.

（2）解：

⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：

连接AM,由

（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB,⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，

∠BMA=∠BME+∠AME=600,∠EMF=∠AMF+∠AME=600

∴∠BME=∠AMF）

在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM,∠EBM=∠FAM=600

∴⊿BME≌⊿AMF（ASA）

∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB

∵∠EMF=∠DMC=600,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF.

∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是.

⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,

⊿AEF的周长的最小值为2+.

6.（2011浙江杭州，22，10）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．

（1）求证：

△FOE≌△DOC；

（2）求sin∠OEF的值；

（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．

【答案】

（1）证明：

∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌△DOC；，

（2）在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴，．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴ 

（3）∵△FOE≌△DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴．∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴，∴，∵EF＝CD，∴ 

 ，同理，∴，∴ 

7.（2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．

求证：

△ADM≌△BCM.

【答案】证明：

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，

∴AD＝BC，∠A＝∠B，

∵点M是AB的中点，

∴MA＝MB，

∴△ADM≌△BCM

8.（2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．

（1）求EG的长；

（2）求证：

CF＝AB＋AF．

【答案】

（1）解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴CD＝DB＝2，∴CB＝DB2+CD2＝22，

∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG＝12CB＝2．

（2）证明：

证法一：

延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，

∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，

∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH（ASA），

DF＝DH，CF＝BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，

∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，

∴△ADF≌△ADH（SAS），∴AF＝AH，

又CF＝BH＝BA＋AH，∴CF＝AB＋AF．

证法二：

在线段DH上截取CH=CA，连结DH．

∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．

又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．

∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．

又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．

∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．

∴∠ADB＝∠HDB．

又AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．

∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．

9.（2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。

（写出你所添加的条件，不要求证明）

 【答案】解：

（1）四边形EFGH是平行四边形。

证明如下：

连结AC，BD，由E，F，G，H分别是所在边的中点，

知EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=AC，

∴GH∥EF，且GH=EF，四边形EFGH是平行四边形。

 10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，

求证：

AC是∠DAB的平分线．

【答案】解：

∵，∴.

∵，∴.

∴，即是的角平分线.

11.（2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．

（1）证明：

△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；

（4）求线段BD的长．

【答案】⑴证明：

，

   ，．　

 ，

 ，

 ，．　　

在  ．　

⑵答案不唯一．如．

证明：

，，

 ．

　其相似比为：

．

⑶由

（2）得，．　

同理.

 ．

⑷作，

 ，．

 ，，，

 ．　

 ，，  

 ．

12.（2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.

（1）求证：

△ABD≌△ECB；

（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数.

【答案】证明：

（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC.

又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB.

在△ABD和△ECB中，

 ∴△ABD≌△ECB.

（2）解法一：

∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°.

又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°.

∴∠DCE=90°-∠EDC=25°.

解法二：

∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°.

又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°.

∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°.

13.（2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE，DE，求证：

AE＝DE

【答案】证明：

∵梯形ABCD是等腰梯形

∴∠B＝∠C

∵E是BC的中点

∴BE＝EC

在△ABE的△DCE中

AB＝DC

∠B＝∠C

BE＝EC

∴△ABE≌△DCE

∴AE＝DE

14.（2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．

（1）求证：

OD＝OE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3分）

（2）求证：

四边形ABＥD是等腰梯形；　　　　　　　　　　　　　　　　（3分）

（3）若AB＝3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积．　　　　　　（2分）

【答案】

（1）证明：

如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE，

又∵AB＝BA、∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE（ASA），

∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB，

∴BD－OB＝AE－OA，即：

OD＝OE．•

（2）证明：

由

（1）知：

OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，

∴∠OED＝－∠DOE），

同理：

∠1＝－∠AOB），

又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB，

∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，

∴四边形ABED是梯形，　又由

（1）知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE

∴梯形ABED是等腰梯形．

（3）解：

由

（2）可知：

DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，

∴，即：

，

∴△ACB的面积＝18，

∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16．

15.（2011山东东营，19，8分）（本题满分8分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C。

（1）求证:

四边形ABDE是平行四边形；

（2）若DC=12，求AD的长。

【答案】

（1）证明：

∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°

∴AB∥DC。

即AB∥ED。

又∵∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°

∴∠E=∠BDC=30°∴AE∥BD所以四边形ABDE是平行四边形

（2）解：

由第

（1）问，AB∥DC。

∴四边形ABCD是梯形。

∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°∴∠ADC=∠BCD=60°

∴四边形ABCD是等腰梯形∴BC=AD

∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°∴∠DBC=90°。

又已知DC=12

∴AD=BC=DC=6

16.（2011重庆市潼南,24,10分）如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

⑴求证：

AD=AE；

⑵若AD=8，DC=4，求AB的长.

【答案】解：

（1）连接AC-------------------------------1分

∵AB∥CD

∴∠ACD=∠BAC

∵AB=BC

∴∠ACB=∠BAC

∴∠ACD=∠ACB------------------------