25小学数学奥数基础教程六年级19.docx

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25小学数学奥数基础教程六年级19

小学数学奥数基础教程（六年级）

本教程共30讲

近似值与估算

　　在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。

但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。

例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。

又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。

　　用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。

要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：

（1）四舍五入法。

四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。

例如：

7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。

（2）去尾法。

把尾数全部舍去。

例如：

7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。

　　（3）收尾法（进一法）。

把尾数舍去后，在它的前一位加上1。

例如：

7.3964…，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。

表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。

　　在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。

一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。

　　例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。

那么，精确到小数点后两位数是多少？

分析与解：

13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。

由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。

　　26.85×13＝349.05，

　　26.95×13＝350.35。

　　因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。

　　350÷13＝26.923…

　　当精确到小数点后两位数时，是26.92。

　　例1中所用的方法可称为“放缩法”。

对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。

当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。

　　分析与解：

真正计算出这个算式，再取近似值，几乎是不可能的。

因为题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。

　　若分子缩小、分母扩大，则分数变小；若分子扩大、分母缩小，则分数变大。

利用这一点，使用放缩法就能估计算式的值的范围。

分子、分母各取两位小数，有

　　…由0.2037…＜原式＜0.2549…，无法确定原式小数点后三位的近似值。

缩放的范围太大，应使范围缩小些。

　　分子、分母各取三位小数，有

　　仍然无法确定，还应使范围缩小。

　　分子、分母各取四位小数，有

　　由0.2395…＜原式＜0.2398…知，原式小数点后三位肯定是“239”，第四位在5和8之间。

按四舍五入法则，精确到小数点后三位数的近似值是0.240。

　　由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。

取的位数少了，范围太大，无法确定；取的位数多了，例如取十位小数，计算量太大，繁琐且没有必要。

　　例3求下式的整数部分：

　　分析与解：

对分母使用放缩法，有

　　　　所以199.1＜原式＜200，原式整数部分是199。

　　例4求下式的整数部分：

　　　　1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。

　　分析与解：

在1.22×8.03，1.23×8.02与1.24×8.01中，各式的两个因数之和都相等。

当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到

　　1.22×8.03＜1.23×8.02＜1.24×8.01。

　　因为1.22×8.03＞1.22×8，所以

　　原式＞1.22×8×3=29.28；

　　因为1.24×8.01＜1.25×8，所以

　　原式＜1.25×8×3=30。

　　由29.28＜原式＜30知，原式的整数部分是29。

　　前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。

但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。

　　例5某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。

已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。

问：

导火线的长度至少多长才能确保安全？

（精确到0.1米）

　　解：

0.112×（70÷5）

　　＝0.112×10

　　＝1.12≈1.2（米）

　　答：

导火线至少长1.2米。

　　此题采用收尾法。

如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。

　　例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。

问：

该飞机最远飞出多少千米就应返回？

（精确到1千米）

　　解：

设该飞机最远能飞出x千米，依题意有

　　答：

飞机最远飞出1748千米就应返回。

　　此题采用去尾法。

如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

练习19

　　1.有17个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是21.3，那么精确到小数点后三位数是多少？

　　2.老师在黑板上写了14个自然数，让小明计算平均数（保留三位小数），小明计算出的答案是16.387。

老师说小数点后第二位错了，其它的数字都对。

正确答案应该是多少？

　　3.计算下式的精确到小数点后三位数的近似值：

　1357902468÷8642097531。

　　4.求下式的整数部分：

　　11×22＋12×33＋13×44＋…＋17×88。

　　5.求下式的整数部分：

　　2.45×4.05＋2.46×4.04＋2.47×4.03＋

　　2.48×4.02＋2.49×4.01。

　　6.为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料，以截断河流。

如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？

　　7.一条单线铁路全长240千米，每隔20千米有一个会车站（当两车相遇时，一车停在会车站内，另一车可通过）。

甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行75千米，乙车每小时行45千米。

为保证快车正点运行，慢车应给快车让路。

为使等候时间尽量短，乙车应在出发后的第几个会车站等候甲车通过？

答案与提示练习19

　　1.21.294。

　　提示：

21.25×17=361.25，21.35×17=362.95。

由361.25≤17个数之和＜362.95得到，17个数之和是362。

　　2.16.357。

　　提示：

16.3×14=228.2，16.4×14=229.6。

由228.2≤14个数之和＜229.6得到，14个数之和是229。

　　3.0.157。

　　4.1。

　　提示：

设原分式的分母为A。

A＝11×（11×2+12×3+13×4+…+17×8）。

因为A＞11×11×（2+3+4+…+8）=11×11×35，所以

　　因为A＜11×17×（2+3+4+…+8）=11×17×35，所以

　　由上可知，原式的整数部分是1。

　　5.49。

　　提示：

与例4类似。

因为5个乘积都小于2.5×4，都大于2.45×4，所以2.45×4×5=49＜原式＜2.5×4×5=50。

　　6.18台。

　　提示：

采用收尾法。

　　7.第4个。

　　提示：

如不等候，则两车相撞时乙车行了

　　用去尾法得到90÷20=4.5≈4。