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【篇一：
同济第六版《高等数学》教案word版-第01章函数与极限】
第一章函数与极限
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限
之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限
的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、两个重要极限；
5、无穷小及无穷小的比较；
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质；
2、左极限与右极限概念及应用；
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
1.1映射与函数
一、集合
1.集合概念
集合（简称集）:
集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用a,b,c….等表示.元素:
组成集合的事物称为集合的元素.a是集合m的元素表示为am.
集合的表示:
列举法:
把集合的全体元素一一列举出来.
例如a={a,b,c,d,e,f,g}.
描述法:
若集合m是由元素具有某种性质p的元素x的全体所组成,则m可表示为a={a1,a2,?
?
?
an},
m={x|x具有性质p}.
例如m={（x,y）|x,y为实数,x2+y2=1}.
几个数集:
n表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.
n={0,1,2,?
?
?
n,?
?
?
}.n+={1,2,?
?
?
n,?
?
?
}.
r表示所有实数构成的集合,称为实数集.
z表示所有整数构成的集合,称为整数集.
z={?
?
?
-n,?
?
?
-2,-1,0,1,2,?
?
?
n,?
?
?
}.
q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.
pq={|p∈z,q∈n+且p与q互质}q
子集:
若x∈a,则必有x∈b,则称a是b的子集,记为a?
b（读作a包含于b）或b?
a.如果集合a与集合b互为子集,a?
b且b?
a,则称集合a与集合b相等,记作a=b.若a?
b且a≠b,则称a是b的真子集,记作a?
≠b.例如,n?
≠z?
≠q?
≠r.
不含任何元素的集合称为空集,记作?
.规定空集是任何集合的子集.
2.集合的运算
设a、b是两个集合,由所有属于a或者属于b的元素组成的集合称为a与b的并集（简称并）,记作a?
b,即
a?
b={x|x∈a或x∈b}.
设a、b是两个集合,由所有既属于a又属于b的元素组成的集合称为a与b的交集（简称交）,记作a?
b,即
a?
b={x|x∈a且x∈b}.
设a、b是两个集合,由所有属于a而不属于b的元素组成的集合称为a与b的差集（简称差）,记作a\b,即
a\b={x|x∈a且x?
b}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i中进行,所研究的其他集合a都是i的子集.此时,我们称集合i为全集或基本集.称i\a为a的余集或补集,记作ac.
集合运算的法则:
设a、b、c为任意三个集合,则
（1）交换律a?
b=b?
a,a?
b=b?
a;
（2）结合律（a?
b）?
c=a?
（b?
c）,（a?
b）?
c=a?
（b?
c）;
（3）分配律（a?
b）?
c=（a?
c）?
（b?
c）,（a?
b）?
c=（a?
c）?
（b?
c）;
（4）对偶律（a?
b）c=ac?
bc,（a?
b）c=ac?
bc.
（a?
b）c=ac?
bc的证明:
x∈（a?
b）c?
x?
a?
b?
x?
a且x?
b?
x∈ac且x∈bc?
x∈ac?
bc,所以（a?
b）c=ac?
bc.直积（笛卡儿乘积）:
设a、b是任意两个集合,在集合a中任意取一个元素x,在集合b中任意取一个元素y,组成一个有序对（x,y）,把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合a与集合b的直积,记为a?
b,即
a?
b={（x,y）|x∈a且y∈b}.
例如,r?
r={（x,y）|x∈r且y∈r}即为xoy面上全体点的集合,r?
r常记作r2.
3.区间和邻域
有限区间:
设ab,称数集{x|axb}为开区间,记为（a,b）,即
（a,b）={x|axb}.
类似地有
[a,b]={x|a≤x≤b}称为闭区间,
[a,b）={x|a≤xb}、（a,b]={x|ax≤b}称为半开区间.
其中a和b称为区间（a,b）、[a,b]、[a,b）、（a,b]的端点,b-a称为区间的长度.
无限区间:
[a,+∞）={x|a≤x},（-∞,b]={x|xb},（-∞,+∞）={x||x|+∞}.
区间在数轴上的表示:
邻域:
以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作u（a）.
二、映射
1.映射的概念
定义设x、y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对x中每个元素x,按法则f,在y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从x到y的映射,记作
f:
x→y,
其中y称为元素x（在映射f下）的像,并记作f（x）,即
y=f（x）,
而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像;集合x称为映射f的定义域,记作df,即
df=x;
x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为rf,或f（x）,即
rf=f（x）={f（x）|x∈x}.
需要注意的问题:
（1）构成一个映射必须具备以下三个要素:
集合x,即定义域df=x;集合y,即值域的范围:
rf?
y;对应法则f,使对每个x∈x,有唯一确定的y=f（x）与之对应.
（2）对每个x∈x,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈rf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域rf是y的一个子集,即rf?
y,不一定rf=y.
例1设f:
r→r,对每个x∈r,f（x）=x2.
显然,f是一个映射,f的定义域df=r,值域rf={y|y≥0},它是r的一个真子集.对于rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.
例2设x={（x,y）|x2+y2=1},y={（x,0）||x|≤1},f:
x→y,对每个（x,y）∈x,有唯一确定的（x,0）∈y与之对应.
显然f是一个映射,f的定义域df=x,值域rf=y.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上.
（3）f:
[-,]→[-1,1],对每个x∈[-,],f（x）=sinx.2222
f是一个映射,定义域df=[-,],值域rf=[-1,1].22
满射、单射和双射:
设f是从集合x到集合y的映射,若rf=y,即y中任一元素y都是x中某元素的像,则称f为x到y上的映射或满射;若对x中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f（x1）≠f（x2）,则称f为x到y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射（或双射）.上述三例各是什么映射？
2.逆映射与复合映射
设f是x到y的单射,则由定义,对每个y∈rf,有唯一的x∈x,适合f（x）=y,于是,我们可定义一个从rf到x的新映射g,即
g:
rf→x,
对每个y∈rf,规定g（y）=x,这x满足f（x）=y.这个映射g称为f的逆映射,记作f-1,其定义域df-1=rf,值域rf-1=x.
按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？
设有两个映射
g:
x→y1,f:
y2→z,
其中y1?
y2.则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则,它将每个x∈x映射成f[g（x）]∈z.显然,这个对应法则确定了一个从x到z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即
fog:
x→z,
（fog）（x）=f[g（x）],x∈x.
应注意的问题:
映射g和f构成复合映射的条件是:
g的值域rg必须包含在f的定义域内,rg?
df.否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fog有意义并不表示gof也有意义.即使fog与gof都有意义,复映射fog与gof也未必相同.
例4设有映射g:
r→[-1,1],对每个x∈r,g（x）=sinx,
映射f:
[-1,1]→[0,1],对每个u∈[-1,1],f（u）=-u2.
则映射g和f构成复映射fog:
r→[0,1],对每个x∈r,有
（fg）（x）=f[g（x）]=f（sinx）=-sin2x=|cosx|.
三、函数
1.函数概念
定义设数集d?
r,则称映射f:
d→r为定义在d上的函数,通常简记为
y=f（x）,x∈d,
其中x称为自变量,y称为因变量,d称为定义域,记作df,即df=d.
应注意的问题:
记号f和f（x）的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f（x）,x∈d”或“y=f（x）,x∈d”来表示定义在d上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.
函数符号:
函数y=f（x）中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“f”,“?
”等.此时函数就记作y=?
（x）,y=f（x）.
函数的两要素:
函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在r内,因此构成函数的要素是定义域df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.
函数的定义域:
函数的定义域通常按以下两种情形来确定:
一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.
求定义域举例:
1求函数y=-x2-4的定义域.x
要使函数有意义,必须x≠0,且x2-4≥0.
解不等式得|x|≥2.
所以函数的定义域为d={x||x|≥2},或d=（-∞,2]?
[2,+∞]）.
单值函数与多值函数:
【篇二：
同济第六版《高等数学》教案word版-第02章导数与微分】
第二章导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
2.1导数概念
一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数:
s=f（t）,
求动点在时刻t0的速度.
考虑比值
s-sf（t）-f（t）,=t-t0t-t0
这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度.如果时间间隔选较短,这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,更确地应当这样:
令t-t0→0,取
比值f（t）-f（t0）的极限,如果这个极限存在,设为v,即t-t0
t→t0v=limf（t）-f（t）,t-t0
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.
2．切线问题
设有曲线c及c上的一点m,在点m外另取c上一点n,作割线mn.当点n沿曲线c趋于点m时,如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置mt,直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.
设曲线c就是函数y=f（x）的图形.现在要确定曲线在点m（x0,y0）（y0=f（x0））处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点m外另取c上一点n（x,y）,于是割线mn的斜率为tan?
=y-yf（x）-f（x）,=x-x0x-x0
其中?
为割线mn的倾角.当点n沿曲线c趋于点m时,x→x0.如果当x→0时,上式的极限存在,设为k,即
k=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0
二、导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
f（x）-f（x0）lim.x→x0x-x0
令?
x=x-x0,则?
y=f（x0+?
x）-f（x0）=f（x）-f（x0）,x→x0相当于?
x→0,于是limx→x0f（x）-f（x0）x-x0
成为
limf（x+?
x）-f（x）?
y或lim.?
x→0?
x?
x→0?
x
定义设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量?
x（点x0+?
x仍在该邻域内）时,相应地函数y取得增量?
y=f（x0+?
x）-f（x0）;如果?
y与?
x之比当?
x→0时的极限存在,则称函数y=f（x）在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数,记为y|x=x0,即
f（x0）=limf（x0+?
x）-f（x0）?
y,=lim?
x→0?
x?
x→0?
x
也可记为y|x=x0,dydf（x）或.dxx=x0dxx=x0
函数f（x）在点x0处可导有时也说成f（x）在点x0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式,常见的有
f（x0）=limh→0f（x0+h）-f（x0）,h
f（x0）=limx→x0f（x）-f（x）.x-x0
在实际中,需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.
如果极限lim?
x→0f（x0+?
x）-f（x0）不存在,就说函数y=f（x）在点x0处不可导.?
x
?
x→0如果不可导的原因是由于limf（x0+?
x）-f（x0）=∞,?
x
也往往说函数y=f（x）在点x0处的导数为无穷大.
如果函数y=f（x）在开区间i内的每点处都可导,就称函数f（x）在开区间i内可导,这时,对于任一x∈i,都对应着f（x）的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做
dydf（x）原来函数y=f（x）的导函数,记作y,f（x）,,或.dxdx
导函数的定义式:
y=lim?
x→0f（x+?
x）-f（x）f（x+h）-f（x）=lim.h→0?
xh
f（x0）与f（x）之间的关系:
函数f（x）在点x0处的导数f（x）就是导函数f（x）在点x=x0处的函数值,即
f（x0）=f（x）x=x0.
导函数f（x）简称导数,而f（x0）是f（x）在x0处的导数或导数f（x）在x0处的值.
左右导数:
所列极限存在,则定义
（x0）=limf（x）在x0的左导数:
f-h→0-f（x+h）-f（x）;h
f（x+h）-f（x）.h（x0）=limf（x）在x0的右导数:
f+
如果极限lim
如果极限limh→0+h→-0f（x+h）-f（x）存在,则称此极限值为函数在x0的左导数.hf（x0+h）-f（x0）存在,则称此极限值为函数在x0的右导数.hh→+0
导数与左右导数的关系
2．求导数举例
例1．求函数f（x）=c（c为常数）的导数.
解:
f（x）=limh→0f（x+h）-f（x）=c-c=0.h→0hh
即（c）=0.
例2.求f（x）=1的导数.x
1-1f（x+h）-f（x）解:
f（x）=lim.=lim=lim-h=-lim1=-1
h→0h→0hhx2h→0h（x+h）xh→0（x+h）x
例3.求f（x）=的导数.
f（x+h）-f（x）解:
f（x）=li=li-h→0h→0hh
=limh1=lim=1.h→0h（+）h→0+nnf（x）-f（a）=limx-a=lim（xn-1+axn-2+?
?
?
+an-1）=nan-1.x→ax-ax-ax→a例2．求函数f（x）=xn（n为
正整数）在x=a处的导数.解:
f（a）=limx→a
把以上结果中的a换成x得f（x）=nxn-1,即（xn）=nxn-1.
（c）=0,（1=-1
例3．求函数f（x）=sinx的导数.
解:
f（x）=limh→0sin（x+h）-sinxf（x+h）-f（x）=h→0hh
1hh=lim?
2cos（x+）sinh→0h22
sinhh=limcos（x+）?
=cosx.h→02
2
即（sinx）=cosx.
用类似的方法,可求得（cosx）=-sinx.
例4．求函数f（x）=ax（a0,a≠1）的导数.
解:
f（x）=limh→0x+hxf（x+h）-f（x）=lima-ah→0hh
hht=axlima-1令a-1=taxlimh→0ht→0loga（1+t）
=ax1=axlna.logae
特别地有（ex）=ex.
例5．求函数f（x）=logax（a0,a≠1）的导数.
解:
f（x）=limh→0log（x+h）-logxf（x+h）-f（x）=limh→0hh
x=1loga（x+h=1xloga（1+h=1limloga（1+h）hh→0hxxh→0hxxh→0x
=1logae=1.xxlna
解:
f（x）=limloga（x+h）-logax=lim1loga（1+hh→0hh→0xh
x=1limloga（1+hh=1logae=1.xxlnaxh→0x
即（logax）=1.:
xlna
x）=1.特殊地（lnx
（logax）=1,（lnx）=1.xlnax
3．单侧导数:
极限limh→0f（x+h）-f（x）存在的充分必要条件是h
limh→0-f（x+h）-f（x）f（x+h）-f（x）及limh→0+hh
f（x+h）-f（x）,h
f（x+h）-f（x）.
h都存在且相等.（x0）=limf（x）在x0处的左导数:
f-h→0-（x0）=limf（x）在x0处的右导数:
f+h→0+
如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导,且右导数f+（a）和左导数f-（b）都存在,就说f（x）有闭区间[a,b]上可导.
【篇三：
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案】
第9次课2学时
第二章导数与微分
导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
2、1导数的概念
一、引例
1、切线问题：
切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点p的切线是割线pq当q沿该曲线无限地接近于p点的极限位置。
设曲线方程为y=f（x），设p点的坐标为p（x0,y0），动点q的坐标为q（x,y），要求出曲线在p点的切线，只须求出p点切线的斜率k。
由上知，k恰好为割线pq的斜率的极限。
我们不难求得pq的斜率为：
f（x）-f（x0）；因此，当p→q时，其极限存在的话，其值就是k，即x-x0
k=limx→x0f（x）-f（x0）。
x-x0
2、速度问题：
设在直线上运动的一质点的位置方程为s=s（t）（t表示时刻），又设当t为t0时刻时，位置在s=s（t0）处，问：
质点在t=t0时刻的瞬时速度是多少？
为此，可取t0近邻的时刻t，tt0，也可取tt0，在由t0到t这一段时间内，质点的平均速度为s（t）-s（t0）s（t）-s（t0）,显然当t与t0越近，用代替t0的瞬时速度的效果越佳，特别地，当t-t0t-t0
t→t0时，s（t）-s（t0）→某常值v0，那么v0必为t0点的瞬时速度，此时，t-t0
s（t）-s（t0）t-t0v0=limt→t0
二、导数的定义
综合上两个问题，它们均归纳为这一极限limx→x0f（x）-f（x0）x-x0为自变量x在x0的x-x0
f（x）-f（x0）为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
定义：
设函数y=f（x）在x0点的某邻域内有定义，且当自变量在x0点有一增量?
x（x0+?
x仍在该邻域中）时，函数相应地有增量?
y，若增量比极限：
limf（x）-f（x0）?
y即lim存在，x→x0?
x→0?
xx-x0就称函数y=（在x0处可导，并称这个极限值为y=f（x）在x=x0点的导数，记为f（x0），fx）
yx=x0，dydxx=x0或dfdxx=x0。
即f（x0）=lim
x→x0f（x）-f（x0）等等，这时，也称y=f（x）在x=x0点可导或有导数，导数存在。
x-x0
注1：
导数的常见形式还有：
f（x0）=lim?
x→0f（x0+?
x）-f（x0）；?
x
f（x0+h）-f
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