完整版初高中数学衔接教材已整理.docx
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完整版初高中数学衔接教材已整理
第一章数与式
1.1数与式的运算
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
绝对值乘法公式二次根式分式
1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式
2.1一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2根与系数的关系
2.2二次函数
2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2二次函数的三种表达方式
2.2.3二次函数的应用
2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形
3.2.1三角形的五心
3.2.2解三角形：
钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：
圆幕定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程（选学）
1.1数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义：
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即
a,a0,
|a|0,a0,
a,a0.
绝对值的几何意义：
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：
|ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离.
例1解不等式：
|x1x3>4.
解法一：
由x10,得x1;由x30，得x3；
1若x1，不等式可变为（x1）（x3）4,
即2x4>4,解得XV0,
又xv1,
二xv0；
2若1x2，不等式可变为（x1）（x3）4,
即1>4,
二不存在满足条件的x;
3若x3，不等式可变为（x1）（x3）4,
即2x4>4,解得x>4.
又x>3
二x>4.
综上所述，原不等式的解为
xV0,或x>4.
解法二：
如图1.1-1,x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A
之间的距离|RA|,即|RA|=|x-1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的
P丄
C
L
A丄
B
L
D
L
x
0
1
3
4
x
V
|x-3|
|x-1|
图1.1-1
距离|PB|，即|PB|=|x-3|.
所以，不等式x1x3>4的几何意义即为
|RA|+|PB|>4.
由|AB|=2,可知
点P在点C（坐标为0）的左侧、或点P在点
D（坐标为4）的右侧.
xV0,或x>4.
练
1.
2.
3.
习
填空：
（1）若x
（2）如果|ab选择题：
下
）
（A）
（C）
化简：
5，贝yx=
5,且a
_若x
则b=
4，贝yx=
；若1c
2,则C=
若a若a
|x—5|—|2x—13|（x>5）.
1.1.2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式（ab）（ab）a2b2;
（2）完全平方公式（ab）2a22abb2.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
b,
b，则ab
（B）
（D）
若ab，贝Sa若ab，则a
解法
:
原式=（x21）（x21）2x2
=（x2
1）（x4
2x
1）
=
6x
1.
解法
*■.
原式=
（x
1）（x2
x
2
1）（x1）（xx1）
=
（x3
1）（x3
1）
=
6x
1.
例2
已知ab
c
4,
ab
bcac4，求a2b2c2的值
解：
2a
.22
bc
（ab
c）2
2（abbcac）8.
练
习
1.
填空：
（1）
12a
1.2
b（
4b
；a）
（
）；
9
4
2
3
（2）
（4m
）216m2
4m（）；
（3）
（a
2bc）2
a2
4b2
c2
（）.
1）.
选择题:
有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算：
（x1）（x1）（x2x1）（x2x
（1）
立方和公式
（a
b）（a2abb2）
3a
.3
b；
（2）
立方差公式
（a
b）（a2abb2）
3a
3
b;
（3）
三数和平方公式
（a
bc）2a2b2
2c
2（abbc
（4）
两数和立方公式
（a
b）3a33a2b
3ab2
b3；
（5）
两数差立方公式
（a
b）3a33a2b
3ab2
b3.
ac）；
对上面列出的五个公式,
（1）
x2
Imxk
平方式，
（A）m2
（B）-m2
（C）-m2（D）丄m2
4
316
（
（2）不论a,
b为何实
数，a2b22a4b8的值
（
（A）总是正数
（B）总是负数
（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是负
数
1.1.3.二次根式
一般地，形如,a（a0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?
—b2b,.a^b2等是无理式，而.2x2彳x1,x2、2xy,■■a2等是有理式.
1.分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与
.2,3'、a与，-.3.6与方.6,2-.33',2与2.33-2，等等.一般地，ax
与x,a、、xb.y与a、、xby,a、、xb与a、、xb互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式.ab（a0,b0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式-a2的意义
a,a0,a
a,a0.
例1
将下歹
J式子化为最简一次根式：
（1）
両;
（2）VOb（a
0）；
（3）J4x6y（x0）.
解：
（1）
^A2b
2顶；
（2）
Ja2b
a7baVb（a0）;
（3）
』4x6y
2x^/y2x3TT（x
0）.
例2
计算
:
暑
（373）.
解法-
.
73（3
3V3
解法二：
解:
=-3（3.3）
（3.3）（3、、3）
=3^33
93
=3（、、31）
6
=.31
2
.3（3、、3）=—
3V3
试比较下列各组数的大小：
（1）..12'.诃禾口、、仃110；
（1）VJ2.111211
1
111011-10
1
=丽
3^31）
_1==
.31（.31）C31）
J2）_6^_
、石）（.12；11）
和2.2—6.
.12,11
（、石*10）（、11”10）
、石；10
又..12、一115^,10,
•••.,12,11v.11.
（2）..2运—庇2屁苗212-46）（242+46）
又4>22,_
•°•号6+4>.6+2习2,
•一2v2、、2—•、6.
.64
化简：
C.3,2）2004（-..3.2）2005
解：
（、、3,2）2004（.3、、2严
=，2）2004（-.3，2）2004（-.3=C3、、2C3
=12004（4
2、2+6
31
1
.1211'
1
11'一10'
2,2+「6’
.2）2004（「3.2）
5化简:
2）=.3、、2.
（1）.94*5；
（2）
x2
解:
（1）原式
（2）原式={（x*）
.（5）222-522
1
x
•••0
6已知x
x1,-
丄32
、32
y
1
22（0x1）.
x
7（2V5）227
1x，所以，原式=-
x
密茫，求3x25xy3y2的值.
、3<2
解：
「Xy：
3：
；〕2（―2）2do，
3232
Xy.3,2,3.21，
2222
…3x5xy3y3（xy）11xy31011289.
1.
填空：
1
（1）
（2）
（3）
（4）
13
若.、（5x）（x3）2（x3）、、亍，则x的取值范围是4.246,543.962.150
若x巨，则、厂''厂
2
2.
选择题:
.立
3.
4.
（B）
1U，求aa1
比较大小：
2—3；5—4（填
b的值.
（C）
N”.
（D）
0x2
练习
1.1.4.分式
1.分式的意义
形如A的式子，若
B中含有字母，且B0，则称A为分式.当MHO时，分
B
B
式A具有下列性质：
B
AAM
AAM
BBM'
BBM*
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式
a
像_^,mnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd_2m_
nP
例1若空匕A—，求常数A,B的值.
x（x2）xx2
解:
~AB
•_
xx2
.AB5,
2A4,
（1）试证：
A（x2）Bx（AB）x2A5x4
x（x2）
解得
x（x
2）x（x2）
2,B
1.
2.
3.
4.
（1）
（2）
（2）
（3）
证明:
1
n
1
23
证明：
对任意大于
计算:
1
n（n1）
1
12
（其中n是正整数）;
1
910'
的正整数n,有二—
2334
1
n（n1）
解：
由
12
（3）证明:
..11
•
nn1
.1
n（n1）
（1）可知
丄L
23
11
2334
1
n（n1）,
（其中n是正整数）成立.
n
n（n1）
1
n1
（n1）
1
910
111
-）（）1223
1111
—_（―一）（—n（n1）233
1
又n》2且n是正整数，二
.11,11
••LV
2334n（n1）2
且e>1,2c2—5ac+2a2_0,
解：
在2c2—5ac+2a2_0两边同除以a2，得
2呂—5e+2_0,
•（2e—1）（e—2）_0,
1
•e_2v1,舍去；
•-e_2.
或e=2.
一定为正数,
求e的值.
丄
10
9
10
_丄
_2
习
填空题:
选择题:
若
）
（A）
对任意的正整数
2xy
x
正数x,y满足
x2
n,
1
n（n
2）
（丄
n
（B）
2xy，求
5
4
xy
x
的值.
y
（C）4
（D）
计算丄-
99100
习题1.1
A组
1.解不等式：
（1）
（3）
2.已知xy1,
x13；
（2）
x3
x2
7；
x1
x1
6.
3xy的值.
求x3y3
3.
填空：
（1）
（2）
（3）
（2.3）18（2
若,（T
1
.2
a）2
1
（1a）22,
1
?
则a的取值范围是
1
4「5
1.
填空:
（1）a
2.
1.
（2）若
x2
xy
2y2
已知：
x
1
2，y
3a2
2
3a5ab2b
2小
0，则—xyy
x
y_
x.y
ab
2
2
2___
y
」y_的值.
xy
C组
选择题:
（
（A）ab
（B）ab
（C）a
b0
（D）b
a0
（2
）
计
算
a:
等
于
（）
（A）<~
（b）■-a
（C）
-
（D）
、、a
2.解方程2（x2丄）
1
3（x-
）10.
x
x
3.计算：
-——-
1
L1.
1324
35
911
4.试证：
对任意的正整数
n,有
1L-
1
1
—<-.
b2一ab、、ba
若
则
）
a
（
）
n（n1）（n2）
234
123
1.2因式分解
因式分解的主要方法有：
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式：
（1）x2-3x+2;
（2）x2+4x—12;
（3）x2（ab）xyaby2；（4）xy1xy.
解：
（1）如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x2-3x+2中的一次项，所以，有
x2-3x+2=（x-1）（x-2）.
图1.1—3
—ay
—by
说明：
今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1-1中
的两个x用1来表示（如图1.1-2所示）.
（2）
由图1.1-3,得
x2+4x-12=（x-2）（x+6）.
（3）
由图1.1-4,得
22
x（ab）xyaby=（xay）（xby）
x―1
（4）
xy1xy=xy+（x-y）—1
y”1
=（x-1）（y+1）（如图1.1-5所示）.
图1.1-5
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式:
（1）
2x
5x6
。
（2）
2x
5x
6
。
（3）
2x
5x
6
。
（4）
2x
5x
6
。
（5）
x2
a
1xa
。
（6）
2x
11x
18
。
（7）
6x2
7x
2
。
（8）
4m2
12m9
。
（9）
57x6x2
。
（10）12x
2xy6y2
。
2、x24xx3x
3、若x2ax
bx
2x4则a,b
。
二、选择题：
（每小
、题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式
（1）
x27x6
（2）x24x3（3）x26x
8
⑷
2x
7x10
（5）
x215x44中，有相冋因式的是（
）
A、只有
（1）
（2）
B、只有（3）（4）
C、只有（3）
（5）
D、
（1）和
（2）;（3）和（
4）；
（3）
和
（5）
2、分解因式
a28a
ib33b2得（）
A、a11a
3
B、a11ba3bC、a11ba
3b
D、
a11ba3b
2
3、ab8
ab
20分解因式得（）
A、ab10
ab
2
B、a
b
5ab
4
C、ab2
ab
10
D、a
b
4ab
5
4、若多项式
x23xa可分解为x5
x
b，则
a、
b的值是
（）
A、a10,b
2
B、a
10,b2
C、a
10,b2
D、a10,b2
5、若x2mx
10
xax
b其中a、
b为整数,
则
m的值为
（）
A、3或9
B、
3
C、9
D
、3或
9
三、把下列各式分解因式
1、62pq2
11q
2p3
2、a3
5a2b6ab2
42
4、b2b8
3、2寸4y6
2.提取公因式法
例2
分解因式：
（1）a2b5a5b
（2）x393x23x
解：
（1）.a2b5a5b=a（b5）（a1）
（2）
32322
x93x3x=（x3x）（3x9）=x（x3）3（x3）
=（x3）（x23）.
或
x393x2
3x=（x33x23x1）8=（x1）38=（x1）323
222
=[（x1）2][（x1）（x1）22]=（x3）（x3）
课堂练习:
一、填空题：
1、多项式6x2y
2
2xy
4xyz中各项的公因式是
2、mxyny
xx
y?
o
3、mxyny
2x
xy2?
c
）
4、mxyzn
yz
xxyz?
o
5、mxyzx
yz
xyz?
o
（
）
3、
3x3
22
6x15x3xx2x5
（
）
4、
nn
xx
1n1,
xx1
（
）
3:
公式法
例3分解因式：
（1）a416
（2）3x2y2xy2
解：
（1）a416=42（a2）2（4a2）（4a2）（4a2）（2a）（2a）
22
（2）3x2yxy=（3x2yxy）（3x2yxy）（4xy）（2x3y）
课堂练习~、a22ab
b2，
a2
b2，
a3
b3的公因式是
1、
、判断题：
42
x
9
9a2
（
25a2
（
2
x
（
a2
（
0.01
8b2
）
16b
）
2
y
）
bc
）
（正确的打上
2
2
x
3
2
3a
0.1
2
4b
2
x
3
3a4b3a
，错误的打上“X”）
-x0.1
3
4b
0.1
5a
4b
5a
4b
五、
1、
把下列各式分解
2n
2、
3x2
3、
4x24x
4、
2x21
4.分组分解法
例4
（1）x2
xy
3y3x
（2）
2x2
2
xyy
4x
5y6.
（2）
2x2
2
xyy
2
4x5y6=2x
（y
4）xy2
5y
6
2
=2x（y4）x（y2）（y
3）=（2xy
2）（x
y
3）.
或
2xxyy24x5y6
2
=（2xxy
y2）
（4x
5y）6
=（2xy）（xy）（4x5y）
6
=（2xy2）（xy3）.
课堂练习：
用分组分解法分解多项式
（1）x2y2a2
（2）a24ab4b26a12b9
b22ax2by
5.关于x的二次三项式ax2+bx+c（az0的因式分解.若关于x的方程ax2bxc0（a0）的两个实数根是捲、
X2，则二次三项式
ax2bxc（a0）就可分解为a（xxj（xx?
）.
例5把下列关于x的二次多项式分解因式:
（1）
x2
2x
1；
（2）
x24xy4y2.
解：
（1）
令
2x
2x
1=0,则解得为
1/2,X21
迈,
・・
2x
2x
1=x（1x
（1^2）
=（x12）（x
1.2）.
（2）
令
2x
4xy
4y2=0,则解得x
（22）y,
人（2^2）y,
・・
2x
4xy
4y
2=[x2（1,2）y][x
2（1-.2）y].
练习
1.选择题:
多项式2x2xy
15y的一个因式为
（
（A）2x5y
（B）x3y
（C）x3y
（D）x5y
2.分解因式：
（1）x2+6x+8;
（2）8a3—b3;
（3）x2—2x—1;
（4）4（xy1）y（y2x）.
习题1.2
1.分解因式：
（1）a31；
（2）4x413x29；
（3）b2c22ab2ac2bc；
22
（4）3x5xy2yx9y
（2）x22、2x3；
（4）（x22x）27（x22x）12.
abbcca，试判定ABC的形状.
5.
（尝试题）已知abc=1
升级会员 