九年级数学中考专题全等三角形 等腰三角形 精炼卷含答案.docx

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九年级数学中考专题全等三角形等腰三角形精炼卷含答案

九年级数学中考专题--全等三角形等腰三角形精炼卷

1.在△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=

（3）思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由．

2.在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：

已知：

C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：

．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？

若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．

（3）如图3，在

（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：

PB+PC+PA=BE．

3.如图，△ACB和△ADE均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接BD，试猜想线段CE、BD之间的数量关系，并说明理由.

4.如图,已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：

①AC=AD；②CF=DF.

5.如图,已知在四边形ABCD中,E是AC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证：

∠5=∠6．

6.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.

（1）求证：

△ABC是等腰三角形；

（2）若AE=8cm，AB=10cm，GC=2BGcm，求△ABC的周长．

7.如图所示，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

8.如图，点F、C在BE上，BF=CE，∠A=∠D，∠B=∠E.求证：

AB=DE.

9.如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：

△ABE≌DCE；

（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？

10.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：

AB=DE．

11.如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：

BF=

FC．

12.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F．

（1）如图

（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：

①△ABE≌△CAF；②EF=BE+CF

（2）如图

（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF的长．

13.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1．

（1）求证：

AD=BE；

（2）求AD的长．

14.

（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.

①求证：

OE=BE；

②若△ABC的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长；

（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式.

参考答案

1.解：

（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=0.5∠BAD）

（4）仍成立，理由如下

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C

又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．

故分别填15°，20°，∠EDC=0.5∠BAD

2.解：

（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，

∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD与△ECB中，

，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，

故答案为AD=BE．

（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．

证明：

∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；

在△ECB和△ACD中，

∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB=∠CAD；

设BE与AC交于Q，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°

∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

（3）由

（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，

则△PCH为等边三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°；

又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE；

在△CPA和△CHE中，

，∴△CPA≌△CHE（AAS），

∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．

3.解：

CE=BD，

理由：

∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB=∠EAC.

在△ADB和△AEC中，

，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE=BD.

4.证明：

①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD，

②∵AF⊥CD，AC=AD，∴CF=FD（三线合一性质）.

5.证明：

∵

，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．

又∵

，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．

6.

（1）证明略；

（2）32cm；

7.解：

在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，在三角形ABD中，

∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×

=77°，

又∵AD=DC，在三角形ADC中，∴∠C=

=77°×

=38.5°．

8.证明：

∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE.

9.

（1）证明：

∵在△ABE和△DCE中

∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）解：

∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．

10.证明：

∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．

在△ABC与△DEF中，

，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．

11.证明：

连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF，

∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=120°﹣30°=90°，

∵∠C=30°，∴AF=

CF，∵BF=AF，∴BF=

FC．

12.

（1）证明：

①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠FAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB与△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

②∵△ABE≌△CAF，∴EA=FC，EB=FA，∴EF=AF+AE=BE+CF；

（2）解：

∵BE⊥AF，CF⊥AF∴∠AEB=∠CFA=90°∴∠EAB+∠EBA=90°

∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠FAC=90°∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB与△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴EA=FC，EB=FA，∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7．

13.1）证明：

∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；

在△ABE和△CAD中，

，∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴AD=BE；

（2）解：

∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD=∠ABE，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；

∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，∴∠PBQ=90°﹣60°=30°，

∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，

又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．

14.

（1）∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE

（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16

（3）延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上（11分），从而得到2∠PAC+∠BAC=180°