线段的垂直平分线经典习题和答.docx

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线段的垂直平分线经典习题和答

线段的垂直平分线

一、选择题（共8小题）

2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）

A、6

错误！

未找到引用源。

B、4

错误！

未找到引用源。

C、6D、4

3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）

A、6B、5

C、4D、3

4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°

C、60°D、50°

5、（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

6、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A、AE=BEB、AC=BE

C、CE=DED、∠CAE=∠B

7、（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点

C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点

8、（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分AB

C、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB

二、填空题（共12小题）

9、（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　_________　．

10、（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=　_________　度．

11、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　_________　°．

12、（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　_________　．

13、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　_________　度．

14、（孝感）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=　_________　度．

15、（2007•陕西）如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　_________　度．

16、（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有　_________　个不同的四边形．

17、（2004•湖州）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　_________　．

18、（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=

错误！

未找到引用源。

∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号　_________　（把你认为正确结论的序号都填上）

19、（2002•广西）如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为　_________　cm．

20、（2002•安徽）在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是　_________　°．

三、解答题（共6小题）

21、（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

22、（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

2、（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）

A、6

错误！

未找到引用源。

B、4

错误！

未找到引用源。

C、6D、4

考点：

线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。

专题：

计算题。

分析：

由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．

解答：

解：

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABE，

∵ED垂直平分AB于D，

∴EA=EB，

∴∠A=∠ABE，

∴∠CBE=30°，

∴BE=2EC，即AE=2EC，

而AE+EC=AC=9，

∴AE=6．

故选C．

点评：

本题考查了线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

3、（2010•义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）

A、6B、5

C、4D、3

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

计算题。

分析：

由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度．

解答：

解：

∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，

∴PB=PA，

而已知线段PA=5，

∴PB=5．

故选B．

点评：

本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论．

4、（2010•烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°

C、60°D、50°

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

专题：

计算题。

分析：

先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．

解答：

解：

∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=

错误！

未找到引用源。

=80°，

∵DE是线段AB垂直平分线的交点，

∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，

∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．

故选C．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

5、（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出△ABC是等腰三角形，即AC=BC，再根据线段垂直平分线的性质作出AD=DC=CE=EB．

解答：

解：

甲错误，乙正确．

证明：

∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，

作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，

∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，

∴AD=DC=EB=CE．

故选D．

点评：

本题主要考查线段垂直平分线的性质，还涉及等腰三角形的知识点，不是很难．

6、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A、AE=BEB、AC=BE

C、CE=DED、∠CAE=∠B

考点：

线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。

分析：

根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE；根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°，则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．

解答：

解：

A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；

B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；

C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．

则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；

D、根据C的证明过程．故该选项正确．

故选B．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质、等角对等边的性质、角平分线的性质．由已知条件结合各知识点得到结论对选项逐一验证时解答本题的关键．

7、（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点

C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

应用题。

分析：

由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

解答：

解：

∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选C．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

8、（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分AB

C、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．

解答：

解：

∵AC=AD，BC=BD，

∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．

∴AB垂直平分CD．

故选A．

点评：

本题考查的知识点为：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．

二、填空题（共12小题）

9、（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　6　．

考点：

线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。

分析：

由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．

解答：

解：

∵ED垂直平分BC，

∴BE=CE，∠EDB=90°，

∵∠B=30°，ED=3，

∴BE=2DE=6，

∴CE=6．

故答案为：

6．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．

10、（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=　50　度．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

应用题。

分析：

根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=80°即可解答．

解答：

解：

∵DE垂直平分AC，∠A=30°，

∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，

∵∠ACB=80°，

∴∠BCE=80°﹣30°=50°．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．

①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；

②得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．

11、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　45　°．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

分析：

根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．

解答：

解：

∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵AB的垂直平分线交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=30°，

∴∠BDC=60°，

∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．

故填45．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．

12、（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　6　．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

计算题。

分析：

运用线段垂直平分线定理进行线段转换，根据题意列关系式后求解．

解答：

解：

∵DE是BC边上的垂直平分线，

∴BE=CE．

∵△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，

∴ED+DC+EC=24，①

BE+BD﹣DE=12．②

①﹣②得，DE=6．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

13、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　72　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；菱形的性质。

专题：

计算题。

分析：

欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．

解答：

解：

先连接AP，

由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，

可得∠BAD=180°﹣72°=108°，

根据菱形对角线的对称性可得∠ADB=

错误！

未找到引用源。

∠ADC=

错误！

未找到引用源。

×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．

EF是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，

∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．

在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．

由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．

点评：

本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．

14、（2008•孝感）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=　60　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质。

专题：

计算题。

分析：

由三角形的外角性质知∠ADC=∠BAD+∠B，又已知∠BAC=120°，根据三角形内角和定理易得∠B，而AB的垂直平分线交BC于点D，根据垂直平分线的性质知∠BAD=∠B，从而得解．

解答：

解：

由AB=AC，∠BAC=120°，

可得∠B=30°，

因为点D是AB的垂直平分线上的点，

所以AD=BD，

因而∠BAD=∠B=30°，

从而∠ADC=60度．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

15、（2007•陕西）如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　115　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质。

专题：

计算题。

分析：

先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE=EC，由题意可得∠C=∠EBC=

错误！

未找到引用源。

×50°=25度，所以∠AEC=90°+25°=115°．易求解．

解答：

解：

∵AD垂直且平分BC于点，

∴BE=EC，

∴∠DBE=∠DCE，

又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线，

∴∠EBC=∠C=

错误！

未找到引用源。

，

∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°，

∴∠AEC=115°．

点评：

此题考查角的平分线、线段的垂直平分线及外角的相关知识，难度不大，

16、（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有　4（因还有一个凹四边形，所以填5也对）　个不同的四边形．

考点：

线段垂直平分线的性质；剪纸问题。

专题：

开放型。

分析：

可动手操作拼图后解答．

解答：

解：

让三条相等的边互相重合各得到一个平行四边形；让斜边重合还可以得到一个一般的平行四边形．那么能拼出的四边形的个数是4个．

点评：

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

17、（2004•湖州）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　8　．

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可求出．

解答：

解：

∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，

∴AD=BD，AE=CE

∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．

△ADE的周长等于8．

故填8．

点评：

此题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

18、（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=

错误！

未找到引用源。

∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号　①③　（把你认为正确结论的序号都填上）

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质。

分析：

由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．

解答：

解：

∵AB=AC，AC=AD，

∴AB=AD

∵AC平分∠DAB

∴AC垂直平分BD，①正确；

∴DC=CB，

易知DC＞DE，

∴BC＞DE，②错；

D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，

根据圆周角定理，得∠DBC=

错误！

未找到引用源。

∠DAC，③正确；

当△ABC是正三角形时，∠CAB=60°

那么∠DAB=120°，

如图所示是不可能的，所以错误．

故①③对．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化．

19、（2002•广西）如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为　13　cm．

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

根据垂直平分线的性质计算．

△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC

解答：

解：

∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足

∴AD=DC，AC=2AE=6cm，

∵△ABC的周长为19cm，

∴AB+BC=13cm

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm．

故填13．

点评：

本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．

20、（2002•安徽）在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是　15　°．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理。

分析：

由已知条件，求出底角的度数，根据垂直平分线的性质计算可得答案．

解答：

解：

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=∠C=（180°﹣50°）÷2=65°

∵DE为AB的中垂线

∴AD=BD

∴∠ABD=∠A=50°

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=15°．

故填15．

点评：

本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理．解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等进而得到角相等．

三、解答题（共6小题）

21、（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

专题：

计算题；几何图形问题。

分析：

（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；

（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；

解答：

解：

（1）∵DE垂直平分AC，

∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，

∴∠BEC=∠B，

∴BC=EC=5．

答：

（1）∠ECD的度数是36°；

（2）BC长是5．

点评：

本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：

线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

22、（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

考点：

线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．

解答：

解：

∵DE垂直平分AB，

∴∠DAE=∠B