《线段的垂直平分线》拔高练习.docx

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《线段的垂直平分线》拔高练习

线段的垂直平分线

一、选择题

1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）

A、6

B、4

C、6D、4

2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）

A、6B、5

C、4D、3

3.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°

C、60°D、50°

4.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A、AE=BEB、AC=BE

C、CE=DED、∠CAE=∠B

6.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点

C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点

7.如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分AB

C、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB

二、填空题

1.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　_________　．

2.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=　_________　度．

3.如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　_________　°．

4.如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　_________　．

5.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　_________　度．

6.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=　_________　度．

7.如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　_________　度．

8.已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　_________　．

9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号　_________　（把你认为正确结论的序号都填上）

10.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为　_________　cm．

11.在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是　_________　°．

三、解答题

1.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）尺规作图：

作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：

EF=2DE．

参考答案

一、选择题

1.C．2.B．3.C．

4.解：

甲错误，乙正确．

证明：

∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，

作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，

∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，

∴AD=DC=EB=CE．

故选D．

5.解：

A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；

B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；

C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．

则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；

D、根据C的证明过程．故该选项正确．

故选B．

6.解：

∵凉亭到草坪三条边的距离相等∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选C．

7.解：

∵AC=AD，BC=BD，

∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．

∴AB垂直平分CD．

故选A．

二、1.解：

∵ED垂直平分BC，

∴BE=CE，∠EDB=90°，

∵∠B=30°，ED=3，

∴BE=2DE=6，

∴CE=6．

故答案为：

6．

2.50°．

3.45．

4.6．

5.解：

连接AP.

∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，

∴∠ADB=∠CDB.

又∵∠ADC=72°，∴∠ADB=∠CDB=36°.

∵EF是AD的垂直平分线，

∴AP=DP,∴∠DAP=∠ADB=36°.

在△ADP和△CDP中，

AD=CD,∠ADB=∠CDB=36°,AP=CP,

∴△ADP≌△CDP.

∴∠DCP=∠DAP=36°,

∴∠DPC=180°﹣∠DCP－∠CDB=180°－2×36°=108°.

∴∠CPB=180°－∠DPC=72°.

6.∠ADC=60度．

7.∠AEC=115°．

8.8．

9.解：

∵AB=AC，AC=AD，

∴AB=AD

∵AC平分∠DAB

∴AC垂直平分BD，①正确；

∴DC=CB，

易知DC＞DE，

∴BC＞DE，②错；

D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，

根据圆周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正确；

当△ABC是正三角形时，∠CAB=60°

那么∠DAB=120°，

如图所示是不可能的，所以错误．

故①③对．

10.13．

11.15．

三、解答题

1.答：

若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．

2.

3.解：

（2）证明：

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°．

又∵l为线段AB的垂直平分线，

∴EA=EB，∠EBA=∠A=30°.∴∠AED=∠BED=60°.

∴∠EBC=∠EBA=30°，∠FEC=∠AED=60°．

又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC．

在Rt△ECF中，∠FEC=60°，

∴∠EFC=30°，

∴EF=2EC，

∴EF=2ED．