最新人教版七年级数学下册知识点全面精华详细.docx
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最新人教版七年级数学下册知识点全面精华详细
七年级数学下册知识点归纳
第五章相交线与平行线
5.1相交线
一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
①邻补角：
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
如：
∠1、∠2。
②对顶角：
两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如：
∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线
1．垂直：
如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2．垂线：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3．垂足：
两条垂线的交点叫垂足。
4．垂线特点：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
6、垂直的表示方法：
垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD。
7、垂线的性质：
性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质3：
如图2所示，当a⊥b时，====90°。
反之，。
。
。
。
。
三、同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成8个角。
（3线8角）
1．同位角：
（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如：
∠1和∠5。
2．内错角：
（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如：
∠3和∠5。
3．同旁内角：
（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如：
∠3和∠6。
5.2平行线及其判定
（一）平行线
1.平行：
两条直线不相交。
互相平行的两条直线，互为平行线。
a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）
2．平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论：
平行于同一直线的两条直线互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c
（二）平行线的判定：
1.两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，两直线平行）
2.两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行）
3.两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行）
4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b，a∥c，则 b ∥ c 。
推论：
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
5.3平行线的性质
（一）平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等）
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等）
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角相等）
（二）命题、定理、证明
1．命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
2.命题的组成：
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果„„，那么„„”的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
3．真命题：
正确的命题，题设成立，结论一定成立。
4．假命题：
错误的命题，题设成立，不能保证结论一定成立。
5.定理：
经过推理证实得到的真命题。
（定理可以做为继续推理的依据）
6．证明：
推理的过程叫做证明。
5.4平移
1．平移:
平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换（简称平移），平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行且相等。
①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相等。
第六章实数
6.1平方根
1、平方根
（1）平方根的定义：
如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：
如果
，那么x叫做a的平方根．
（2）开平方的定义：
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：
3的平方等于9，9的平方根是
3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；
0的平方根是0.
（5）符号：
正数a的正的平方根可用
表示，
也是a的算术平方根；
正数a的负的平方根可用-
表示．
（6）
<—>
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为
，读作“根号a”，a叫做被开方数．
规定：
0的算术平方根是0.
也就是，在等式
（x≥0）中，规定
。
（2）
的结果有两种情况：
当a是完全平方数时，
是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，
是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
（5）
（x≥0）<—>
a是x的平方x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（
0）
；注意
的双重非负性：
-
（
<0）
0
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
6.2立方根
（1）立方根的定义：
如果一个数x的立方等于
，这个数叫做
的立方根（也叫做三次方根），即如果
，那么
叫做
的立方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
（2）一个数
的立方根，记作
，读作：
“三次根号
”，
其中
叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3）一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根，是它本身；
一个负数有一个负的立方根；
任何数都有唯一的立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
。
（5）
<—>
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
（6）
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
6.3实数
一、实数的概念及分类
无理数：
像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数。
实数：
有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
正实数
实数0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
数a的相反数是—a，这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做
的形式，其中
，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数，
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则
。
（5）平方法：
设a、b是两负实数，则
。
五、实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。
同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则是什么？
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：
第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？
幂？
底数？
指数？
相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。
记作:
an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
第七章平面直角坐标系
7.1平面直角坐标系
（一）有序数对
1．有序数对：
用两个数来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）
2.坐标：
数轴（或平面）上的点可以用一个数（或数对）来表示，这个数（或数对）叫做这个点的坐标。
（二）平面直角坐标系
1．平面直角坐标系：
在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。
这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。
2．X轴：
水平的数轴叫X轴或横轴。
向右方向为正方向。
3．Y轴：
竖直的数轴叫Y轴或纵轴。
向上方向为正方向。
4．原点：
两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
对应关系：
平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
坐标：
对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
（三）象限
1．象限：
X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分，也叫四个象限。
右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。
一般，在x轴和y轴取相同的单位长度。
2．象限的特点：
1、特殊位置的点的坐标的特点：
（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。
（2）第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
（3）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；
如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。
2、点到轴及原点的距离：
点到x轴的距离为|y|；
点到y轴的距离为|x|；
点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号；
3、三大规律
（1）平移规律：
点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加；
上下平移→横坐标不变，纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点
（2）对称规律
关于x轴对称→横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称→横坐标互为相反数，纵坐标不变；
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
（3）位置规律
各象限点的坐标符号：
（注意：
坐标轴上的点不属于任何一个象限）
第二象限第一象限
（—，+）（+，+）
第三象限第四象限
（—，—）（+，—）
7.2坐标方法的简单应用
（一）用坐标表示地理位置的过程：
1．建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定X轴和Y轴的正方向。
2．根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度。
3．在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
（二）用坐标表示平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就把原图形向右（左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就把原图形向上（下）平移a个单位长度。
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
1.二元一次方程：
含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。
2．方程组：
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解：
一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
8.2消元——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法：
一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1．代入消元法：
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。
2．加减消元法：
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
3、三元一次方程组的解法
三元一次方程组：
方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程组，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的一般步骤：
①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。
8.3实际问题与二元一次方程组
实际应用：
审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键：
找等量关系
常见的类型有：
分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式：
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
一、不等式及其解集
1．不等式：
用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：
＞、＜、≥、≤、≠。
2．不等式的解：
使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3．不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
二、不等式的性质:
性质1:
如果a>b,b>c,那么a>c（不等式的传递性）.
性质2:
不等式的两边同加（减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a>b,那么a+c>b+c（不等式的可加性）.
性质3:
不等式的两边同乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边同乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac性质4:
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. （不等式的加法法则）
性质5:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. （可乘性）
性质6:
如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当09.2一元一次不等式
1.一元一次不等式：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2． 不等式的解法：
步骤：
：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。
注意：
去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
9.3一元一次不等式组
1．一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2．不等式组的解：
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。
解不等式组就是求它的解集。
3．解不等式组：
先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
解一元一次不等式组的一般步骤：
①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。
如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等式组的解集为空集）。
求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：
大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
以两条不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。
若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。
此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。
此乃“向背取空”
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
不等式组
在数轴上表示的解集
解集
口诀
x＞a
x＞b
x＞a
同大取大；
x＜b
x＜a
a
b
x＜b
同小取小；
x＞b
x＜a
b＜x＜a
相交取中；
x＞a
x＜b
空集
向背取空。
第十章数据的收集、整理与描述
全面调查：
考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查：
调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体：
要考察的全体对象称为总体。
（3）优惠多个体：
组成总体的每一个考察对象称为个体。
服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□样本：
被抽取的所有个体组成一个样本。
§8-2购物环境与消费行为2004年3月20日样本容量：
样本中个体的数目称为样本容量。
据调查统计，有近94%的人喜欢亲戚朋友送给自己一件手工艺品。
无论是送人，个人兴趣，装饰还是想学手艺，DIY手工制作都能满足你的需求。
下表反映了同学们购买手工艺制品的目的。
如图（1-4）频数：
一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
（3）年龄优势频率：
频数与数据总数的比为频率。
“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等，都是平日里不常见的。
据店长梁小姐介绍，店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥地利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等，五彩缤纷，流光异彩。
按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类，其造型更是千姿百态：
珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等，美不胜收。
全部都是进口的，从几毛钱一个到几十元一个的珠子，做一个成品饰物大约需要几十元，当然，还要决定于你的心意尽管售价不菲，却仍没挡住喜欢它的人。
组数和组距：
在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
价格便宜些□服务热情周到□店面装饰有个性□商品新颖多样□
1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。
根据调查资料分析：
大学生的消费购买能力还是有限的，为此DIY手工艺品的消费不能高，这才有广阔的市场。
（1）通过调查收集数据的一般步骤：
1、作者：
蒋志华《市场调查与预测》，中国统计出版社2002年8月§11-2市场调查分析书面报告①明确调查问题 ②确定调查对象 ③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论
（2）收集数据常用的方法：
①民意调查：
如投票选举②实地调查：
如现场进行观察、收集、统计数据③媒体调查：
报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。
（4）创新能力薄弱2、数据的表示方法：
（1）统计表：
直观地反映数据的分布规律
（2）折线图：
反映数据的变化趋势
（3）条形图：
反映每个项目的具体数据（4）扇形图：
反映各部分在总体中所占的百分比
（5）频数分布直方图：
直观形象地反映频数分布情况6）频数分布折线图：
在频数分布直方图的基础上，取每一个长方形上边的中点，和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点
3、调查方式：
（1）全
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