数学归纳法教学反思.docx

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数学归纳法教学反思

数学归纳法教学反思

当我上过数学归纳法这节课之后，深有体会，就本节课的这个课题目而言，它有两个意思，一个是归纳法，另一个是数学归纳法。

归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，是现实生活中人们自觉或不自觉普遍运用的方法，特别是不完全归纳法所得到的命题虽然不一定成立因而并不能作为一种论证方法，同时也应该看到不完全归纳法是数学中普遍存在的一种方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，具有很好的创造性。

在科学发现中也是如此。

一、数学归纳法呢？

它是证明与正整数n（n取无限个值）有关命题的重要工具，是一种重要的数学思想方法．其理论依据是归纳公理（即设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：

①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合）和最小数原理（即自然数集的任何非空子集必有一个最小数），其实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程 （）真?

 （ +1）真?

 （ +2）真?

…用具有高度代表性、概括性的 （）真?

 （+1）真来代替，而核心与关键是如何利用归纳假设和递推关系．数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.

数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”。

二、学生的认知基础分析

1．学生已有的经验和基础．

①学生对正整数的特点有感性认识；

②对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；

③初步了解归纳、演绎等推理方法以及分析法、综合法等证明方法，具有了一定的逻辑知识的基础。

④虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律，高中一年级已知数列的前几

项归纳推理该数列的一般项，等差数列和等比数列通项公式的推导过程，在数列的学习中对递推思想有一定的体会；在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实，等等，都蕴含着归纳法与数学归纳法的萌芽和基础．

⑤学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在讨论函数时，用“定义域内任意数”来代表“定义域内的所有数”；在线面垂直的定义和证明中，用“平面内任意一条直线”来代表“平面内所有直线”等。

⑥学生大都具有在生活中自觉不自觉运用归纳法推理的朴素思想，如果设置恰时恰点的“情境”就会诱发学生由特殊事例得出一般结论并希望证明所得结论的心理需求，即学生学生希望证明通过归纳推理得到的与正整数有关的命题的心理需求．

2．学生可能遇到的问题与困难．

①数学归纳法所要解决的是无穷多个命题p

（1）,P

（2）,P（3）,…,P（n）,…恒为真的问题，由此造学生在理解上对于“无穷”的认知的神秘感，对于一个关于正整数n的命题P（n），会难以将其看作是一个随自变量n变化的“命题值函数”.

②为什么要引进数学归纳法？

验证为何不可行？

③对数学归纳法产生源头及其所要证明的问题的特征理解不到位。

④形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的不断重复的递推过程用有限的、一般性的步骤来代替学生会有困难。

⑤对数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生往往难以理解，将解决由P（k）到P（k+1）的传递性问题，误解为证明P（k+1）的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解。

⑥学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而对第一步归纳奠基重视不够，因而在运用中对数学归纳法第一个步骤的作用会感到可有可无。

⑦由于数学思想的形成需要经历感知、萌芽、发展、形成、深化期等几个思维阶段，因此学生难以在一节课内比较深刻地理解数学归纳法的精神实质。

三、教学任务及教学任务解析

1、教学任务

①结合生活实例、数学实例，让学生认识归纳法是一种普遍运用并具有创造性的推理方法。

②让学生了解归纳法的分类，能区分完全归纳法和不完全归纳法。

③从学生生活中所熟悉的小游戏，分析引出数学归纳法，使学生能自己叙述出什么是数学归纳法，能用数学归纳法会证明关于自然数的一些比较简单的恒等式，并能严格按照数学归纳法证明命题的格式书写。

④了解、体会通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路。

⑤用生活实例及费尔马问题的历史名题的呈现，开阔学生视野，拓宽学生思维。

⑥造成对学生由感性认识逐渐上升到理性认识----辩证唯物主义观点的熏陶氛围。

2、教学任务解析

①高中数学教学大纲指出：

数学归纳法是高中数学课本选修Ⅱ第二章极限第一单元内容，教学参考书列有数学归纳法和数学归纳法应用举例两个知识点；教学目标是理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；教学参考书建议用3个课时教学。

本节课是其中的第一课时教学。

②根据高中数学教学大纲所确定的目的、教材呈现的知识内容、以及学生的认知基础，我希望通过本节课的学习，学生能经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法．因为用有限的、一般性的步骤来代替无限的逐个检验是思维方法上的创新与突破，因此数学归纳法的发现和完善是发展学生思维的极好材料．又因为数学思想方法难以通过传授和灌输来掌握，因此教学时应重在让学生在具体的情境中，亲身感悟、慢慢感悟、深刻感悟。

其次是理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的地位和作用；能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。

第三，能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与自然数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用。

为完成确定的教学任务，教学设计要基于学生已有的认知经验，充分考虑学生可能会遇到的困难，通过在教师的指导下让学生自己发现、归纳出数学归纳法，并不断完善和深化，形成知识、能力、思维、情感教学相互渗透、相互促进，强化数学归纳法思想的形成过程。

四、教学重点及突出重点的策略

1、教学重点：

归纳法和数学归纳法

2、突出重点的策略：

通过情景1、情景2、情景3的引入，激趣、质疑、分析、思考，以及情景5、情景6对数学思维的深化来突出第一个重点归纳法；通过对情景3中的数学猜想是关于正整数的命题的逐个验证让学生产生不可能“一直验证下去”的想法，从而寻求一般证明方法------来认识学习数学归纳法的必要性；通过情景4的引入，激趣、质疑、分析、师生对游戏现象的数学抽象而获得数学归纳法；通过例1（情景3中数学猜想证明）、例2、例3的解决--------来突出第二个重点数学归纳法

1．学习数学归纳法的必要性在哪里？

学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助学生研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向。

但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。

．所以有必要学习数学归纳法。

数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法，能促进学生从有限思维发展到无限思维。

如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？

所谓“不愤不启，不悱不发”，学生如果没有经历“愤悱”的痛苦，教师的“启发”就显得单薄无力。

所以关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。

有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办法，来克服不完全归纳的局限呢?

至此引出即将讲述的科学方法—数学归纳法。

它是用有限的步骤，证明命题对无限的自然数都成立的方法，体现了有限与无限的对立统一。

2、数学归纳法的教学重心是什么？

数学归纳法是数学中的“大法”。

由于数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性、其本身的思维方式之别致、概念之难、形式变之多端、应用之广、题目型态之多样，使得很多同学只能达到“依样画葫芦”式的工具性理解，而达不到对该方法的“关系性理解”。

数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程式。

人类文明花了两千年才认识到“从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一步骤的重要性，在教学中企图一步到位地实现所谓“透彻地理解”是不现实的。

苏步青先生指出中学数学教学有时要“混而不错”。

“不错”是大前提，关注的是大方向、本质。

“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。

因此，用“多米诺骨牌效应”写意式地诠释数学归纳法是很合适的。

第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性、重要性。

每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都会正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理重要性，也使学生在直观上对其基础有个感性认识。

历史上的归纳公理正是吸收了数学归纳法思想的精髓后才形成的。

这样一种处理方式是一种“混而不错”的处理法。

“大胆推测，小心求证”，“淡化形式，注重实质”，本质上都是在关注思想的发生、发展。

数学归纳法的教学过程中“理解”和“练习”不应该是对立的双方，而应该是两者的统一，或者说两者的整合，而且两者对于学生“原理的理解”和“运用的促进”是一个循环上升的过程，即原理的深入理解促进运用，进一步运用后的反思，特别是障碍克服后的反思，又促进对原理的理解。

3、基于数学归纳法的源头与本质，基于学生的原有认知基础，有效地突破难点．

任何思想方法都有产生的源头，都要经过萌芽期和明朗期．生物“重演律”告诉我们，生物的个体发育是其系统发育的简单而迅速的重演．人的思维发展、数学概念与思想也是如此．数学教学不应超越萌芽期，直接进入明朗期．否则，学生很难形成有血有肉、牢固深刻的数学思想．数学归纳法的源头在于如何证明由猜想得到的、具有内在规律性和递推关系的与正整数有关的命题，如何把等差数列通项公式等结论的推导严谨化，如何把模糊的、经验型的证明方法上升到理性的、普遍适用的数学方法。

而数学归纳法的实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程“ （）真?

 （+1）真?

 （+2）真?

…”用具有高度代表性、概括性的“ （）真?

 （+1）真”来代替．我们紧紧抓住这一实质，就会有效地突破学生理解数学归纳法本质的难点．

 学生头脑中的数学归纳法的“生长点”和“固着点”在于数自然数，找一列数的规律，以及在归纳、分析、推理的基础上得到与正整数有关的结论。

教学时注意挖掘学生头脑中相关的、原始的、朴素的、有用的东西，并使之明朗化、清晰化．为了帮助学生突破用有限来代替无限这一思维难点，教学设计时一方面让学生认识到所要解决问题的特征，另一方面从学生已有的认知经验中寻找启发．

4．强化数学归纳法思想的形成过程，使其既有灵魂又有血肉．

用典型例子来支撑抽象的原理。

为此，教师根据自己知识和学生接受的情况还可有举出几个实例来，但要注意：

一是突出这些例子的共同特征 （）真?

 （+1）真?

 （+2）真?

…；二是突出其抽象化、一般化、简单化的过程，即如何用 （）真?

 （+1）真（≥,）来代替无限的递推过程．增强学习的探究性。

除重视数学归纳法原理的提练过程外，还把数学归纳法证明两个步骤缺一不可作为数学归纳法探究过程的一部分来处理，而不是作为原理应用注意事项的一部分．突破学生对归纳假设理解上的难点．阐明为什么是“假设”以及如何利用归纳假设，避免学生机械、盲目地套用数学归纳法．视学生接受情况，是否强化运用数学归纳法必须同时具备两个条件：

一是与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题；二是研究的问题中存在可利用的递推关系，特别是第二条．

5．注意把握教师引导与学生自主探究的“度”．

一方面，教师注意创设富有数学本质的情境、提出问题、提供学生探究的“脚手架”；另一方面，教师放手让学生通过探究、讨论，自主建构知识，如前三个情境中推理的共同特征的概括、情境4的分析与数学抽象中用一般化的递推来代替无穷的递推、完整数学归纳法原理的形成都可以使学生自己在教师的启发下完成。

整个教学做到“接受中有发现，发现中有接受”，力求做到课堂教学既“优质”又“高效”。