原题目来自课本习题改编.docx

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原题目来自课本习题改编

初三数学专题复习——几何开放题

原题目：

（来自课本习题改编）

已知：

如图（图见初中几何第三册第68页12题）

AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD垂足为E，BF⊥CD垂足为F，求证：

EC=DF

改编后的题：

题目1：

已知：

AB是⊙O的直径，CD是不过圆心的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，

（1）请你画出满足以上条件且位置关系不同的所有图形。

（2）在你所画的图形中，试判断各图的CE与DF的大小关系。

并选择你所画的某一种图形加以证明。

题目2:

如图：

AB是⊙O的直径，CD为弦，

AE⊥CD垂足为E，BF⊥CD垂足为F。

（1）求证：

EC=DF

（2）求证：

弦CD的弦心距等于点A、B到

直线CD距离和的一半

（3）三条线段AB、CD、AE+BF能否组成三角形？

若能，是怎样的三角形？

若不能，说明理由。

（4）当弦CD向上移动，使其与直径AB在相交于点P，其他条件不变，

（1）和

（2）中结论还成立吗？

请画出图形，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

来源于：

《几何》P68第12题

题目3:

已知：

AB是⊙O的直径，AP、AQ是⊙O的两条弦，如图（a），过点B作⊙O的切线l，分别交直线AP、AQ于点M、N，可以得出结论AP•AM=AQ•AN成立。

（1）若将直线l向上平行移动，使直线l与⊙O相交，如图（b）所示，其它条件不变，上述结论是否成立？

若成立，写出证明；若不成立，说明理由。

（a）（b）（c）

（2）若将直线l继续向上平行移动，使直线l与⊙O相离，其它条件不变，请在图（c）上画出符合条件的图形，上述结论成立吗？

若成立，写出证明；若不成立，说明理由。

选自于：

烟台市中考试题

题目4:

如图，以等腰⊿ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E.①求证：

DE是⊙O的切线.

②若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么结论

（1）是否还成立？

试说明理由.

③如果AB=AC=5，sinA=0.6,那么圆心O在AB的什么位置时,⊙O与AC相切？

来源：

根据课本第85页第11题和第100页第4题改编

题目5:

已知⊙O与⊙O外切于点A，两圆半径分别为R、r，由⊙O上任意一点P作⊙O的切线，切点为B.试求PA：

PB的值.

题目来源：

根据初三几何“圆”P129例4改编

题目6:

如图,圆⊙O与圆⊙O1外切于点T,PT为其内公切线,AB为其外公切线,且A.B为切点,AB与TP相交于点P.根据图中所给的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.

来源:

杭州市2001中考题

题目7:

如图,圆内接下来ΔABC中,D是BC边上的一点,E是直线AD和ΔABC外接圆的交点.

（1）AB,AC满足什么条件,AB2=AD•AE成立?

证明你的结论.

（2）在

（1）的条件下,当D为BC的延长线上一点时,第

（1）题的结论还成立吗?

如果成立,请证明;如果不成立,说明理由（在图中画出图形）

来源:

根据课本85页第12题改编.

题目8:

（1）操作并观察：

如图

（1）所示，两个半径为r的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P。

将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切）。

在转动过程中，线段AB的长与半径r之间有什么关系？

请回答并证明你得到的结论；

（2）如图

（2）所示，设⊙O1与⊙O2外切于点P，半径分别为r1、r2（r1>r2），重复

（1）中的操作过程，观察线段AB的长度与r1、r2之间有怎样的关系，并说明理由。

来源：

《2002年山西省太原市中等学校招生统一考试试题》

题目9:

已知：

AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C；连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D.猜想：

∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置变化而变化？

请对你的猜想加以证明。

来源：

2003年《数理天地》（初中版）2003年第2期

题目10:

⑴已知：

AE为△ABC的外接圆的直径。

试问能否在BC上找到点D，使得AB·AC=AD·AE？

请说明理由。

⑵已知：

AE为△ABC的外接圆的弦，且点E和点A在弦BC的两侧。

试问能否在BC上找到点F，使AB·AC=AE·AF？

请说明理由。

来源：

根据课本第79页例2自编。

题目11:

《几何》7.20圆周长、弧长的引入或练习都可以。

假如用一根足够长的钢缆沿地球的赤道紧密地框一圈后，把钢缆放长10米，再用这条钢缆均匀的圈在地球的赤道周围。

请问：

这时钢缆与地球之间的缝隙可以通过一头大黄牛？

还是一只小黄狗？

亦或是可以通过一只小老鼠？

来源：

根据九年义务教育教材（人教版）教案系列丛书《几何第三册·教案》改编。

题目12:

AB切⊙于点A，OB交⊙O于点C，AD是

OAB的高，BO交⊙O于E，连结EA。

不添加任何点和线，

找出图中量（如线段、三角形等）之间所存在的各种关系（如相等、相似等）。

（根据几何课本第三册第92页第2题改编而成的）

题目13:

如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点D,DE⊥AC于E,由这些条件，

你能推出哪些正确结论？

（要求：

不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，并证明其中一个结论）（根据课本第100页第4　题改编而成的）

题目14:

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，

AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。

试半判断四边形AOCD的形状，且说明之。

来源：

《几何》第三册（课本第93页）

题目15:

如图，⊙O的一两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，

（1）写出两对相等的角；（对顶角、公共角除外）

（2）

写出两个与线段有关的正确结论，并选其中一个加以证明。

要求：

写结论时，不能标注其它字母，所连的辅助线不能出现在结论中。

来源：

人教版《几何》第三册第114页练习1改编。

题目16:

如图☉A，☉B的半径分别是4cm和2cm，AB=8cm，现☉B从右向左以2cm/s的速度移动，试问何时两圆相外切（内切、相交、外离）

来源：

自编

题目17:

如图，P是☉O外一点，PA、PB分别和☉O切于A、B，PA=PB=4，∠APB=40度，C是弧AB上一动点，过点C作☉O的切线分别交PA，PB于D、E，试问△PDE的周长是否保持不变？

如果不变，试求出它的值。

来源：

P118、B组、2

题目18:

原题：

用同一张矩形纸片围成圆柱的侧面，能得到不同的圆柱吗？

变题：

用同一张矩形纸片围成圆柱的侧面，

1、能得到侧面积不同的圆柱体的侧面积。

2、能得到表面积（含两底）不同的圆柱吗？

为什么？

请举例说明。

来源：

自编

题目19:

原题目：

如图：

⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是

⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点。

求证：

AB⊥AC

来源：

根据课本第129页例4改编。

改编题1当⊙O1向左运动，如右图所示，其它条

件不变，直线BP与CQ还垂直吗？

证明你的结论。

改编题2：

当⊙O1向右运动，如右图所示，其它条件不

变，猜想∠BAC+∠BDC等于多少度？

并

加以证明。

改编题3：

两圆的外公切线BC变为⊙O1的切

线、⊙O2的割线，猜想∠BAC+∠BAD等

于多少度？

并加以证明。

题目20:

如图，C是以AB为直径的半圆上的一点（C不A,B与重合）O是圆心，AB=2R,直线DE切半圆于C，

于D，

于E，当点C运动时。

（1）点C到

的两边距离是否相等？

并证明你的结论成立。

（2）AD+DE的长度是否发生变化？

并证明你的结论成立。

来源：

根据初三几何课本

例2,

8改编

题目21:

如图，⊙O1,⊙O2外切于点T，直线AB、CD经过点T，交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D，

（1）试判断线段AC和BD的关系；

（3）当两圆相向运动到内切时，

（1）中的结论是否继续成立？

请说明理由。

来源:

几何课本130页练习第2题

题目22:

在一服装厂里有大量开头为等腰直角三角形的边角布料，现找出其中一种，测得C=90，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同开头的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ΔABC的边上，且扇形的弧与ΔABC的其它边相切，请设计出所在可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求出图形，并直接写出扇形半径）。

题目23:

以知正三角形的边长a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积？

疑问1：

将上题中的正三角形改为其他的正多边形（如正四，五，六…等），

其他条件不变，则圆环面积又是多少？

来源：

P171例1P178想一想

疑问2：

从上面的结论能否解决下面的问题：

一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，用刻度尺，只测量圆管横断面的哪一条弦的大小，就可以算出截面的面积？

疑问3：

小圆的切线所在的弦长。

题目24:

已知：

菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明．）

注：

两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．

分法一：

　　　　　　　　　　　分法二：

分法三：

来源：

2002年温州数学中考试题

题目25:

小明用如图年示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是（　　）

来源：

镇江市2002年初中毕业升学考试数学试卷

题目26:

以给定的图形“○○、□□、”（两个圆、两个三角形、两条平行线段）为构件，构思独特且有意义的图形。

举例：

如图，左框中是符合要求的一个图形。

你还能构思出其它的图形吗？

请在右框中画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词。

解说词：

两盏电灯解说词＿＿＿＿＿

来源：

泰州市2002年初中毕业，升学统一考试数学试题

题目27:

已知：

如图⊙O1、⊙O2相切于点T，直线AB，CD经过点T，交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D，连AC、BD，试写出一个符合条件的正确结论：

。

（出自几何第三P130第2题）

题目28:

过⊙O外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，分别交⊙O于点A、B；C、D则由切割线定理有PA·PB=PC·PD。

若连AC，BD，则又有结论成立。

（只写一个符合条件的结论即可）

题目29:

如图，B是AC上一点，分别以AB、BC、AC为半径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D。

（1）若B在AC中点，则图中阴影部分面积与以BD为直径的圆的面积存在怎样关系？

为什么？

（2）当B在AC上运动（A、C除外），上述关系是否仍成立？

为什么？

来源：

初三几何课本第201第22题

题目30:

已知AB是⊙O的直径，点P（A、B除外）在⊙Ο上运动，分别以AP、BP为直径的作圆⊙O1、⊙O2。

求证：

S⊙O和S⊙O1+S⊙O2的比为定值。

来源：

（根据课本第180页第8题改编）

题目31:

已知圆O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过P点有圆O的两条切线PA,PB分别切圆O于A,B两点，C为弧AB上任一点，求PC的取值范围？

（改自初三几何P105练习题1）

题目32:

经过圆O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C，求证

（1）∠ATC=∠TBC

（2）你还能得到结论吗?

请写出三个以上的结论，并证明其中一个结论。

（改自初三几何P1482）

题目33:

已知图中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm，且知道圆的半径为16cm，求另一条弦长。

（改自初三几何P111例1）

题目34:

已知在⊿ABC中，D为BC中点且BC=10cm，∠BAC为钝角，求AD的长并用圆的相关理论证明你的结论。

（改自初三几何P79推论2）

题目35:

如图：

⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，P为O1O2中点

（1）若动直线L与⊙O1，⊙O2相切于M,N两点，且有PC⊥MN于C点，试猜想CM,CN有何关系，简要说明理由。

（2）若动直线L向两圆中心平移，保持L⊥PA，且L过A点交⊙O1于M,交⊙O2于N,那AM,AN有何关系，请证明你的结论。

（改自初三几何P124例3）

题目36:

如图：

点O是∠EPF的平分线上的一点，PE，PF交⊙O于点A，B和C，D.根据已知请找出三组相等的线段，并给出其中一组的证明过程。

（改自初三几何P72例1）

题目37:

OE,OF分别为⊙O的弦AE,CD的弦心距，如果OE=OF,那么

（只需写出一个正确的结论）

题目38:

⊙O的弦AB,CD的延长线相交于E，请你根据上述条件，写出一个正确的结论（所写出的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母），并给出证明。

（证明时允许自行添加辅助线）

题目39:

⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A且和BC切于D和AB,AC分别交于E,F，请你根据上述条件，写出一个正确的结论，所写出结论不能自行再添加新的线段及其他字母，并给出证明。

（证明时允许自行添加辅助线）

题目40:

（1）已知，⊙

、⊙

相交于点M、N，过点M直线交⊙

于点A、交⊙

于点B，过点N的直线交⊙

于点C、交⊙

于点D。

试判断AC与BD的位置关系，并说明理由。

（2）在上题中，当两圆只有一个公共点时，以上结论还成立吗？

并说明理由。

来源：

（根据课本第130页第2题改编。

）

来源：

（根据课本P124练习改编）

题目41:

半径分别是10cm和17cm的两个圆相交，公共弦长为16cm，求圆心距。

几何第三册P144例4：

题目42:

如图⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，

求证：

AB⊥AC

引伸、如图⊙O1和⊙O2相交于M、N，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，则

（1）∠BMC和∠BNC分别是什么角？

请证明你的结论。

（2）若MN交BC于O，求证BO＝OC

（3）能否在MN上找一点A，使∠BAC＝90°，若能，请证明结论。

题目43:

如图，1、两圆内切与点P，过P任作一条直线交两圆于A、B，过A、B分别作它们所在圆的切线CD和EF。

（1）

试问CD和EF有怎样的位置关系？

（2）当两圆的位置关系是外切时，上述

的结论是否仍然成立？

2、如图，⊙O1与⊙O2相切于点T，直线AB、CD经过点T，交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D，试问由这些条件，你能得出什么正确的结论？

若将⊙O1与⊙O2相切变为⊙O1与⊙O2相交，其他条件不变，结论是否仍然成立，并说明理由。

题目44:

如图,⊙O的半径是5cm,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=450,求BC的长.

来源：

初三几何P1938

题目45:

AB为⊙0的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，OG⊥CD于G。

讨论：

OG与AE，BF的关系。

题目46:

等边△ABC内接于⊙O，P是弧BC上的一个动点,CP延长线交AB延长线于D，若等边△ABC的边长为a.

（1）点P运动到在弧BC上什么位置时，当△ADC是直角三角形？

（2）CP·CD的值是否因点P的位置而变化？

如果变化，说明理由；如果不变化，求出CP·CD的值.

题目47：

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB＝DC=2，若P为线段AD上的一动点，满足∠P=∠A。

在P点运动过程中，∠P的一边交BC于E点，交线段CD或其延长线于点Q。

问题一：

△ABP与△DPQ是否一定相似，为什么？

问题二：

当点Q与点C重合时，AP的长是多少？

问题三：

当点Q在线段CD上时，AP长取值范围是什么？

问题四：

当点Q在线段CD的延长线上时，AP长的取值范围是什么？

问题五：

当CE=1时，CE的长是多少？