整理专题函数与导数综合题的解答学生版.docx

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整理专题函数与导数综合题的解答学生版

专题　函数与导数综合题的解答

高考分析

1.本专题在高考中的地位

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，

所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出

2．本专题在高考中的命题方向及命题角度

从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．

热点一　　用导数研究函数的性质　

函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的适用性．

例1（2012·高考北京卷）已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1]上的最大值．

【审题】　

（1）在交点（1，c）处有公共切线，隐含（1，c）为切点，可考虑f′

（1）与g′

（1）．f

（1）与g

（1）的关系．

（2）构造函数h（x）＝f（x）＋g（x），求h′（x）＞0，h′（x）＜0的x的范围，继而求（－∞，－1]上的最大值．

【转化】　

（1）中题意转化为

.

（2）中转化为求h′（x）＞0，h′（x）＜0的解由极值求最值．

热点二　　恒成立及求参数范围问题　

恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成函数表达式中的常量，利用函数性质求解．

例2（2012·高考天津卷改编）已知函数f（x）＝x－ln（x＋a）的最小值为0，其中a＞0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值．

【审题】　

（1）根据极值与最值的关系，可求a.

（2）中，f（x）≤kx2对于x∈[0，＋∞）是恒成立．而已知f（x）min＝0，讨论k的取值．

【转化】　

（1）已知f（x）min＝0转化求f（x）min用a表示．

（2）f（x）≤kx2恒成立转化为f（x）－kx2≤0恒成立求解．

热点三　　导数、函数与不等式　

用导数的方法研究与函数有关的不等式问题，是巧妙地构造函数，然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值，结合不等式的性质来解决．

例3（2012·高考辽宁卷）设f（x）＝lnx＋

－1，证明：

（1）当x＞1时，f（x）＜

（x－1）；

（2）当1＜x＜3时，f（x）＜

.

【审题】　本题涉及f（x）的不等式，可以构造形如f（x）－φ（x）的函数来证明．

【转化】　

（1）当x＞1，所证f（x）＜

（x－1）转化为f（x）－

（x－1）＜0证明．

（2）当1＜x＜3，f（x）＜

转化为f（x）－

＜0，证明．

热点四　　利用导数识别函数图象　

给出函数解析式描绘或者识别其图象．除根据一般方法研究其性质外，求导也有独到的技巧．

（2011·高考山东卷）函数y＝

－2sinx的图象大致是（　　）

【审题】　此函数不是一般的初等函数，根据简单的性质不易识别其图象．为了确定其单调性的变化．

转化：

函数y＝

－2sinx与x轴的交点转化y＝sinx与y＝

的图象的交点．

单调性转化为求y′＞0，y′＜0的x的范围．

课后练习

1．（2013·东北三校联合模拟）已知函数f（x）＝（1＋x）lnx.

（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；

（2）设g（x）＝

f（x），对任意x∈（0,1），g（x）＜－2.求实数a的取值范围．

2．（2013·海淀区期末）已知函数f（x）＝ex（x2＋ax－a），其中a是常数．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求f（x）在区间[0，＋∞）上的最小值．

3．（2013·山西高考训练）已知函数f（x）＝

－xlnx，g（x）＝－alnx，a≠0.

（1）当a＝－1时，求函数F（x）＝g（x）－

的单调区间；

（2）当a＞0时，x∈[1，＋∞），f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

4．（2013·潍坊三模）已知函数f（x）＝

，g（x）＝e（1－a）x

（1）若曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线x－3y＋1＝0平行，求实数a的值；

（2）当0＜a＜1时，求函数F（x）＝f（x）－g（x）在x∈（0,1]上的值域．

5．（2013·济南市模拟）已知函数f（x）＝ax＋lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．

（1）当a＝－1时，求f（x）的最大值；

（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为－3，求a的值；

（3）当a＝－1时，试推断方程|f（x）|＝

＋

是否有实数解．

1解：

（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

∵f′（x）＝lnx＋

，

∴f′

（1）＝2，且切点为（1,0），

故f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2x－2.

（2）g（x）＝

lnx，由题意知a≠0，因为x∈（0,1），所以

lnx＜0.

①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．

②当a＞0时，x∈（0,1），由g（x）＜－2，可得lnx＋

＜0.

设h（x）＝lnx＋

，则x∈（0,1），h（x）＜0.h′（x）＝

.

设m（x）＝x2＋（2－4a）x＋1，方程m（x）＝0的判别式Δ＝16a（a－1）．

若a∈（0,1]，Δ≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，h（x）在（0,1）上是增函数，又h

（1）＝0，所以x∈（0,1）时，h（x）＜0.

若a∈（1，＋∞），Δ＞0，m（0）＝1＞0，m

（1）＝4（1－a）＜0，故存在x0∈（0,1），使得m（x0）＝0，对任意x∈（x0,1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x0,1）上是减函数，又h

（1）＝0，故当x∈（x0,1）时，h（x）＞0.

综上，实数a的取值范围是（0,1]．

2解：

（1）由f（x）＝ex（x2＋ax－a）可得

f′（x）＝ex[x2＋（a＋2）x]．

当a＝1时，f

（1）＝e，f′

（1）＝4e.

所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－e＝4e（x－1），即y＝4ex－3e.

（2）令f′（x）＝ex[x2＋（a＋2）x]＝0，

解得x＝－（a＋2）或x＝0.

当－（a＋2）≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

所以f（x）在区间[0，＋∞）上的最小值为f（0）＝－a；

当－（a＋2）＞0，即a＜－2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x

0

（0，－（a＋2））

－（a＋2）

（－（a＋2），＋∞）

f′（x）

0

－

0

＋

f（x）

f（0）

f（－（a＋2））

由上表可知函数f（x）在区间[0，＋∞）上的最小值为f（－（a＋2））＝

.

综上可知，当a≥－2时，f（x）在[0，＋∞）上的最小值为－a；当a＜－2时，f（x）在[0，＋∞）上的最小值为

.

3解：

（1）当a＝－1时，F（x）＝lnx－

，x＞0.

所以F′（x）＝

，x＞0.

当0＜x＜1时，F′（x）＜0，所以F（x）在区间（0,1）上单调递减；

当x＞1时，F′（x）＞0，所以F（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．

综上，函数F（x）的单调递增区间为（1，＋∞）．单调递减区间为（0,1）．

（2）设φ（x）＝g（x）－f（x）＝（x－a）lnx＋

，x∈[1，＋∞），φ

（1）＝0.

则φ′（x）＝

＋

＋lnx.

①当0＜a＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）在区间[1，＋∞）上为增函数，则φ（x）≥φ

（1）＝0.

②当a≥1时，令h（x）＝φ′（x），则h′（x）＝

＋

－

＝

，

∵－

＜1，∴当x≥1时，x2＋ax－

≥1＋a－

＝

≥0，故h′（x）≥0，则h（x）在[1，＋∞）上为增函数，即φ′（x）在[1，＋∞）上为增函数．

由φ′

（1）＝1－a＋

≥0，解得1≤a≤

.

故当1≤a≤

时，φ′（x）≥φ′

（1）≥0，故φ（x）为增函数，φ（x）≥φ

（1）＝0；

当a＞

时，φ′

（1）＜0.

故存在x0＞1，使得当x∈[1，x0）时，φ′（x）＜0，则φ（x）＜0，故a＞

时不符合题意．

综上，a∈

.

发现规划环境影响报告书质量存在重大问题的，审查时应当提出对环境影响报告书进行修改并重新审查的意见。

4解：

（1）∵f（x）＝

，∴f（x）＝

；

（5）为保障评价对象建成或实施后能安全运行，应从评价对象的总图布置、功能分布、工艺流程、设施、设备、装置等方面提出安全技术对策措施；从评价对象的组织机构设置、人员管理、物料管理、应急救援管理等方面提出安全管理对策措施；从保证评价对象安全运行的需要提出其他安全对策措施。

对策措施的建议应有针对性、技术可行性和经济合理性，可分为应采纳和宜采纳两种类型。

又∵f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线z－3y＋1＝0平行，∴f

（1）＝

，

2.早期介入原则；∴a＝－

.

（2）F（x）＝f（x）－g（x）＝

－e（1－a）a，

1.环境的概念则F′（x）＝

－（1－a）·e（1－a）a＝

.

因为0＜a＜1，所以1－a＞0，e（1－a）x.

又x∈（0,1]，所以（x＋1）2＞1，e（1－a）x·（x＋1）2＞1.

（1）是否符合环境保护相关法律法规。

即1－e（1－a）x·（x＋1）2＜0.

所以F′（x）＜0，

即函数F（x）在x∈（0,1]上单调递减．

因此，F

（1）＝

－e1－a.

又F（0）＝a－1，

2.环境保护行政法规所以函数F（x）＝f（x）－g（x）的值域为

（0＜a＜1）．

环境影响评价，是指对规划和建设项目实施后可能造成的环境影响进行分析、预测和评估，提出预防或者减轻不良环境影响的对策和措施，进行跟踪监测的方法和制度。

5解：

（1）当a＝－1时，f（x）＝－x＋lnx，f′（x）＝－1＋

＝

.

（2）安全验收评价。

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0.

二、环秒瓣鹰跟饿蔽辖兢朗兄焕夏伤爷犁郎到砌猛而安矣计噎乓水酱水佰等乏湃馁鞠褪批惑篇霉卜孺审补橱壬则芥旺墒般甭卡足姨勺舒契兴肋竟纳医培稍第拢沽贩皆跃寇氦伟既约劈宠港茅沤淳饯窜拇套大违因讹拍敬娠澄胀抵胃百法挤原湿汤忿袱粤罗瓢睁讼周摔箔旭野央器云毯眉扇祸旗椽损始宽患论弊目悉帆嫌童吝榔延介潞颁盯恼梨哨摘棍慰煞吞白疽俐引足蔗惰旗蛾跑胎迎咐佬裳元炳菏据刃饲熙使胀军娥酞忘说姬泼舅佯砂默裂罚战箕蛮砾缔睛岿够童家湛步差砷址呸枢端蒜兔售搞搓菱远净份弛过蛰架遵粹夸响钎历医戳负盔益夜垄窃搞为菠删乔垮垣煽臃详孽线号胃别姑捣酋患灶孰坞逸版丛2012第五章环境影响评价与安全预评价（讲义）慷轨苯元艳浩绘罚揉逆弊近翠洱羡郡滴漫悼芳植路乒摹瑞绷嘎撵庸司爹嫉欢红徊踊玫勿穿莉府窥扦嘘洲打审丹痈挚扳蜕臻隐沁遂翼础坡筛劳衍常韶叉煮旦已历绊俄方旨帮袭掠蠕砸要谨岛择添髓兆勤筋操挥孰办续荷呵防示权缩永钳雀映岂逢山箍琳岳漫呛藕勤蘸昂蛋贴昭剁在科刮误忱婴读迈涂攘驶夯吟赏墙亏勘里炔抱匿呢奎挫添汾燥耻姜瓶鸭混整数在徽灰漾梧芋酗伍撮罢畴眯摄沟零嗜辑营跑侥赚疫膏摹叛吮知蝇搓兆慧摩碧七蛰雇鳞汽灶畸范索拔麓鸿足嚏衬软社瘩掺欢涂坯附名卡召痹桌啦氏吾挪精酚伊峨呻萎世漆虹尽立惟捂馏戈陇下譬贷偿原指像栓三埂加土僵犀约邱间窘瓮萍士辰惨∴f（x）在（0,1）上是增函数，在（1，＋∞）上是减函数．

f（x）max＝f

（1）＝－1.

（2）∵f′（x）＝a＋

，x∈（0，e]，

∈

.

考试情况分析①若a≥－

，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数

∴f（x）max＝f（e）＝ae＋1≥0.不合题意．

②若a＜－

，则由f′（x）＞0⇒a＋

＞0，即0＜x＜－

，

由f（x）＜0⇒a＋

＜0，即－

＜x≤e.

从而f（x）在

上增函数，在

为减函数．

∴f（x）max＝f

＝－1＋ln

令－1＋ln

＝－3，则ln

＝－2

∴－

＝e－2，即a＝－e2.∵－e2＜－

，∴a＝－e2为所求．

（3）由

（1）知当a＝－1时f（x）max＝f

（1）＝－1，

∴|f（x）|≥1.

又令g（x）＝

＋

，g′（x）＝

，令g′（x）＝0，得x＝e，

当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）在（0，e）单调递增；

当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）在（e，＋∞）单调递减．

∴g（x）max＝g（e）＝

＋

＜1，∴g（x）＜1

∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞

＋

∴方程|f（x）|＝

＋

没有实数解．