高考数学逆袭专题二数列.docx
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高考数学逆袭专题二数列
专题二 数 列
第1讲 等差数列、等比数列
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
等差数列的基本运算·T9
等差（比）数列的证明及通项公式的求法·T19
等比数列的基本运算·T5
等比数列的证明·T21
（2）①
等差数列的基本运算·T14
2018
等差数列基本量的计算·T4
等差数列基本量的计算、和的最值问题·T17
等比数列基本量的计算·T17
2017
等差数列的通项公式、前n项和公式·T4
等比数列的概念、前n项和公式、数学文化·T3
等差数列的前n项和公式、通项公式·T9
等比数列的通项公式·T14
等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本概念、基本运算的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，属中低档题．
[例1]
（1）（2019·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝
n2－2n
（2）（2019·全国卷Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝
，则S4＝________.
（3）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
①若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
②若T3＝13，求Sn.
1．（2019·全国卷Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝（ ）
A．16 B．8
C．4D．2
2．（2019·沈阳市质量监测
（一））已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝（ ）
A．2B．
C．3D．4
3．（2019·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
[例2]
（1）（2019·贵阳模拟）等差数列{an}中，a2与a4是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（ ）
A．6B．8
C．10D．12
（2）在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则
的值为（ ）
A．－
B．－
C.
D．－
或
（3）在等差数列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．
1．（2019·蓉城名校第一次联考）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝20，a4＝6，则a2的值为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
2．（2019·江西八所重点中学联考）已知数列{an}是等比数列，若ma6·a7＝a
－2a4·a9，且公比q∈（
，2），则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，6）B．（2，5）
C．（3，6）D．（3，5）
3．已知函数f（x）是R上的单调递增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f（a1）＋f（a3）＋f（a5）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可以为正数也可以为负数
4．已知数列{an}满足an＝
若对于任意的n∈N*都有an>an＋1，则实数λ的取值范围是________．
等差（比）数列的判断与证明
[例3] （2019·全国卷Ⅱ）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
（1）证明：
{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
1．（2019·广州市调研测试）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2（n≥2）．
（1）证明：
数列{an＋1}为等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？
2．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝
（n≥2，n∈N*）．
（1）求证：
数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）判断数列
是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
【课后通关练习】
A组
一、选择题
1．（2019·成都高三摸底考试）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝
，S10＝15，则a7＝（ ）
A.
B．1
C.
D．2
2．（2019·福州市质量检测）已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列
为等差数列，则a9＝（ ）
A.
B．
C.
D．－
3．等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝（ ）
A．32B．31
C．64D．63
4．若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为（ ）
A．10B．11
C．12D．13
5．（2019·江西临川期末）已知正项等比数列{an}满足a5·a6·a7＝1，且f（x）＝
若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a10）＝a1，则a1的值为（ ）
A.
B．e
C．2eD．1＋e
6．（2019·石家庄市模拟
（一））已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＋Sn＝
（n∈N*），若a10A．9B．10
C．11D．12
二、填空题
7．（2019·长春市质量监测
（二））等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为________．
8．设公比为q（q>0）的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝________．
9．（2019·山西太原期中改编）已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则a29＝________，使得Sn<1000成立的n的最大值为________．
三、解答题
10．（2019·北京高考）设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）设bn＝an＋3，证明：
数列{bn}为等比数列，并求通项公式an.
12．（2019·武汉调研）已知等差数列{an}前三项的和为－9，前三项的积为－15.
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.
B组
1．（2019·湖南省湘东六校联考）已知数列{an}满足an＋1－3an＝3n（n∈N*）且a1＝1.
（1）设bn＝
，证明：
数列{bn}为等差数列；
（2）设cn＝
，求数列{cn}的前n项和Sn.
2．（2019·昆明检测）已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设m∈Z，若Sn
3．（2019·广州市综合检测
（一））已知{an}是等差数列，且lga1＝0，lga4＝1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．
4．已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝3.
（1）求数列{an}及数列{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an·bn，求数列{cn}中的最大项．
第2讲 数列通项与求和
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2019
等比数列的求和·T14
递推公式的应用·T19
等差数列的前n项和·T14
2018
an与Sn关系的应用·T14
等差数列前n项和的最值问题·T17
2017
等差数列的基本运算、数列求和·T17
等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17
等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点．若以解答题的形式考查，常与解三角形问题交替考查且多出现在第17（或18）题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．
考点一an与Sn关系的应用
[例1]
（1）（2019·成都第一次诊断性检测）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________．
（2）（2019·武汉市调研测试）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3（n≥2），a1＝－1，则a4＝________．
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝________．
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1（n≥2，n∈N*）．设bn＝an＋1－an.
（1）证明：
数列{bn}是等比数列；
（2）设cn＝
，求数列{cn}的前n项和Sn.
考点二数列求和
题型一 裂项相消求和
[例2] （2019·安徽五校联盟第二次质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝
，求数列{bn}的前n项和Tn.
题型二 错位相减求和
[例3] （2019·福建五校第二次联考）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn＝
，求数列{cn}的前n项和Tn.
题型三 分组转化求和
[例4] 已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，n∈N*，且不等式ax2－3x＋2<0的解集为（1，d）．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若bn＝3
＋an－1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.
1．（2019·福建五校第二次联考）在数列{an}中，a1＝
，
＝
，n∈N*，且bn＝
.记Pn＝b1×b2×…×bn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，则3n＋1Pn＋Sn＝________．
2．已知数列{an}满足：
a1＝1，an＋1＝
an＋
.
（1）设bn＝
，求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
3. 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，已知S3＝7，a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝an＋lnan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【课后专项练习】
A组
一、选择题
1．已知数列{an}满足
＝
，且a2＝2，则a4等于（ ）
A．－
B．23
C．12D．11
2．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1（n≥2，n∈N*），那么a2019＝（ ）
A．1B．－2
C．3D．－3
3．（2019·广东省六校第一次联考）数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，bn＝（－1）nan（n∈N*），则数列{bn}的前50项和为（ ）
A．49B．50
C．99D．100
4．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和是Sn，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，且a4＋a5＝－20，则
的最大值为（ ）
A.
B．1
C.
D．2
5．若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则
＋
＋…＋
＋
＝（ ）
A.
B．
C.
D．
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
（n∈N*），若bn＋1＝（n－λ）
（n∈N*），b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，2）
C．（3，＋∞）D．（－∞，3）
二、填空题
7．（2019·安徽合肥一模改编）设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则an＝________，数列
的前n项和为________．
8．设数列{an}满足a1＝5，且对任意正整数n，总有（an＋1＋3）（an＋3）＝4an＋4成立，则数列{an}的前2020项的和为________．
9．（2019·蓉城名校第一次联考）已知Sn是数列{an}的前n项和，若an＋
Sn＝2，则a12＝________．
三、解答题
10．（2019·江西七校第一次联考）数列{an}满足a1＝1，
＝an＋1（n∈N*）．
（1）求证：
数列{a
}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
（2）若bn＝
，求数列{bn}的前n项和．
11．（2019·唐山模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝
.
（1）求an；
（2）若bn＝（n－1）an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
12．（2019·河北省九校第二次联考）已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝
＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.
B组
1．（2019·江西八所重点中学联考）设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
（n∈N*）．
（1）求证：
数列
是等差数列；
（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n项和Tn.
2．（2019·福建省质量检查）数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.
（1）求证：
数列{an＋1}是等比数列，并求an；
（2）若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．
3．（2019·郑州市第二次质量预测）数列{an}满足：
＋
＋…＋
＝n2＋n，n∈N*.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝
，数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn>
的最小正整数n.
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝16.数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且{bn－an}是等差数列．
（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；
（2）记数列
的前n项和为Sn，求证：
Sn<
.
5.（2018·全国卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝
.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
（2019·郑州市第二次质量预测）已知数列{an}中，a1＝1，an>0，前n项和为Sn，若an＝
＋
（n∈N*，且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记cn＝an·2
，求数列{cn}的前n项和Tn.
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