43用一元一次方程解决问题同步练习含答案解析.docx
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43用一元一次方程解决问题同步练习含答案解析
4.3用一元一次方程解决问题
一．选择题
1．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
2．某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：
3，二楼售出与未售出的座位数比为3：
2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？
（ ）
A．2：
1B．7：
5C．17：
12D．24：
17
3．商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（ ）
A．160元B．180元C．200元D．220元
4．在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．69D．72
5．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板（ ）
A．赚了5元B．亏了25元C．赚了25元D．亏了5元
6．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）
A．7.5秒B．6秒C．5秒D．4秒
7．某商场将一件玩具按进价提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是（ ）
A．8折B．7.5折C．6折D．3.3折
8．如图，将一段标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠（绳子无弹性），使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为A、B、C三段，若这三段的长度由短到长的比为1：
2：
3，则折痕对应的刻度不可能是（ ）
A．20B．25C．30D．35
二．填空题
9．一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元．
10．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有 台．
11．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件 元．
12．书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元．
13．甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．
14．某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得﹣2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题．
15．明同学利用暑假外出旅游一周，已知这一周各天的日期之和是126，那么斌同学回家的日期是 号．
16．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：
2：
1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
三．解答题
17．在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
18．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
19．小妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．
20．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：
使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
21．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？
并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）
22．根据以下对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．
23．某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：
如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：
尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：
将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
24．某大型超市的采购人员先后购进两批晋祠大米，购进第一批大米共花费5400元，进货单价为m元/千克，该超市将其中3000千克优等品以进货单价的两倍对外出售，余下的二等品则以1.5元/千克的价格出售．当第一批大米全部售出后，花费5000元购进了第二批大米，这一次的进货单价比第一批少了0.2元．其中优等品占总重量的一半，超市以2元/千克的单价出售优等品，余下的二等品在这批进货单价的基础上每千克加价0.6元后全部卖完，若不计其他成本，则售完第二批大米获得的总利润是4000元（总售价﹣总进价=总利润）
（1）用含m的代数式表示第一批大米的总利润．
（2）求第一批大米中优等品的售价．
25．某超市为了回馈广大新老客户，元旦期间决定实行优惠活动．
优惠一：
非会员购物所有商品价格可获九折优惠；
优惠二：
交纳200元会费成为该超市的一员，所有商品价格可优惠八折优惠．
（1）若用x（元）表示商品价格，请你用含x的式子分别表示两种购物优惠后所花的钱数；
（2）当商品价格是多少元时，两种优惠后所花钱数相同；
（3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一台电脑，请分析选择那种优惠更省钱？
26．如图1，线段AB=60厘米．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿直线自B点向A点以6厘米/分的速度运动，几分钟后，P、Q两点相遇？
（2）几分钟后，P、Q两点相距20厘米？
（3）如图2，AO=PO=8厘米，∠POB=40°，现将点P绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA沿B点向A点运动，假若P、Q两点也能相遇，求点Q的速度．
27．【背景资料】一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保．经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元．雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工资，雇工每天工作8小时．
【问题解决】
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；
（3）在
（2）的前提下，种植棉花的专业户家和王家均雇人采摘棉花，王家雇用的人数是家的2倍．家雇人手工采摘，王家所雇的人中有的人自带采棉机采摘，的人手工采摘．两家采摘完毕，采摘的天数刚好都是8天，家付给雇工工钱总额为14400元．王家这次采摘棉花的总重量是多少？
参考答案与解析
一．选择题
1．（2016•荆州）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价=（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解】解：
设该商品的进价为x元/件，依题意得：
（x+20）÷=200，得：
x=80．故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）÷=200．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
2．（2016•）某场音乐会贩卖的座位分成一楼与二楼两个区域．若一楼售出与未售出的座位数比为4：
3，二楼售出与未售出的座位数比为3：
2，且此场音乐会一、二楼未售出的座位数相等，则此场音乐会售出与未售出的座位数比为何？
（ ）
A．2：
1B．7：
5C．17：
12D．24：
17
【分析】设一楼座位总数为7x，二楼座位总数为5y，分别表示出一、二楼售出、未售出的座位数，由一、二楼未售出的座位数相等得到y关于x的表达式，再列式表示此场音乐会售出与未售出的座位数比，将y代入化简即可得．
【解答】解：
设一楼座位总数为7x，则一楼售出座位4x个，未售出座位3x个，
二楼座位总数为5y，则二楼售出座位3y个，未售出座位2y个，
根据题意，知：
3x=2y，即y=x，则===，故选：
C．
【点评】本题主要考查方程思想及分式的运算，根据一、二楼未售出的座位数相等得到关于y关于x的表达式是解题的关键．
3．（2016•）商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（ ）
A．160元B．180元C．200元D．220元
【分析】利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可．
【解答】解：
设原价为x元，根据题意可得：
80%x=140+20，解得：
x=200．故选：
C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．
4．（2016•聊城）在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．69D．72
【分析】设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x，看是否存在．
【解答】解：
设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14
故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21
当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=27．
故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72．故选：
D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
5．文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了20%，另一个亏了20%，则该老板（ ）
A．赚了5元B．亏了25元C．赚了25元D．亏了5元
【分析】可分别设两种计算器的进价，根据赔赚可列出方程求得，再比较两计算器的进价和与售价和之间的差，即可得老板的赔赚情况．
【解答】解：
设赚了20%的进价为x元，亏了20%的一个进价为y元，根据题意可得：
x（1+20%）=60，
y（1﹣20%）=60，解得：
x=50（元），y=75（元）．
则两个计算器的进价和=50+75=125元，两个计算器的售价和=60+60=120元，
即老板在这次交易中亏了5元．故选D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
6．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）
A．7.5秒B．6秒C．5秒D．4秒
【分析】应先算出甲乙两列车的速度之和，乘以高速列车驶过窗口的时间即为高速列车的车长，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：
设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，
则100÷5×x=80，解得x=4．故选D．
【点评】考查了一元一次方程在行程问题中的应用；注意两车相向而行，速度为两车的速度之和，路程为静止的人看到的车长．
7．某商场将一件玩具按进价提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是（ ）
A．8折B．7.5折C．6折D．3.3折
【分析】设这件衣服的进价为a元，标价为a（1+60%）元，再设打了x折，再由打折销售仍获利20%，可得出方程，解出即可．
【解答】解：
设这件衣服的进价为a元，打了x折，依题意有a（1+60%）﹣a=20%a，
解得：
x=7.5．答：
这件玩具销售时打的折扣是7.5折．故选：
B．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
8．如图，将一段标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠（绳子无弹性），使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为A、B、C三段，若这三段的长度由短到长的比为1：
2：
3，则折痕对应的刻度不可能是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【分析】可设折痕对应的刻度为xcm，根据折叠的性质和三段长度由短到长的比为1：
2：
3，长为60cm的卷尺，列出方程求解即可．
【解答】解：
设折痕对应的刻度为xcm，依题意有绳子被剪为10cm，20cm，30cm的三段，
①x==20，②x==25③x==35，④x==25⑤x==35⑥x==40
综上所述，折痕对应的刻度可能为20、25、35，40；故选：
C．
【点评】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
二．填空题（共8小题）
9．一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 180 元．
【分析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设该件服装的成本价是x元，依题意得：
300×﹣x=60，解得：
x=180．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程300×﹣x=60．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
10．（2016•）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有 16 台．
【分析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为（100﹣x）台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为（100﹣x）台，
依题意得：
x=（100﹣x）﹣5，即20﹣x=0，解得：
x=16．∴购置的笔记本电脑有16
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程x=（100﹣x）﹣5．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
11．（2016•）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件 150 元．
【分析】设该商品的标价为每件为x元，根据八折出售可获利20元，
可得出方程：
80%x﹣100=20，再解答即可．
【解答】解：
设该商品的标价为每件x元，由题意得：
80%x﹣100=20，解得：
x=150．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．
12．（2016•）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 248或296 元．
【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：
①当0＜x≤时，x+3x=229.4，解得：
x=57.35（舍去）；
②当＜x≤时，x+×3x=229.4，解得：
x=62，
此时两次购书原价总和为：
4x=4×62=248；
③当＜x≤100时，x+×3x=229.4，解得：
x=74，
此时两次购书原价总和为：
4x=4×74=296．
综上可知：
小丽这两次购书原价的总和是248或296元．故答案为：
248或296．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分段考虑，结合熟练关系找出每段x区间的关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
13．（2016•）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．
【分析】直接利用时针和分针第一次相遇，则时针比分针少转了一周，再利用分针转动一周60分钟，时针转动一周720分钟，进而得出等式求出答案．
【解答】解：
设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，
根据题意可得：
60x=720（x﹣1），解得：
x=．故答案为：
．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合时针与分针转动的时间得出等式是解题关键．
14．某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得﹣2分．若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 17 题．
【分析】由于题目是求小丽最多答对的题数，此时小丽得分最高．因为0乘以任何数是0，根据小丽这次成绩是质数可知，她答对的题为奇数，因为5乘以任何数奇数才是奇数，2乘以任何数是偶数，所以她最多答对19，17，15，然后根据测验规则，逐一检验即可．
【解答】解：
最多答对17道．原因如下：
如果答对19道，若另一道不答，是95分，不符合题意；
若另一道答错，得93分，也不符合题意．
如果答对17道，若另三道不答，是85分，不符合题意；若另两道不答，一道答错，得83分，符合题意．故答案为：
17．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于根据得分是质数判断做对题的个数．
15．明同学利用暑假外出旅游一周，已知这一周各天的日期之和是126，那么斌同学回家的日期是 21 号．
【分析】日历中横行相邻两天相差为1，利用这个关系可把外出的一周都用一个未知数表示出来，用日期之和为，126作为相等关系列方程，求解．
【解答】解：
设斌同学回家的日期是x号，由题意得：
（x﹣6）+（x﹣5）+（x﹣4）+（x﹣3）+（x﹣2）+（x﹣1）+x=126，解得x=21．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题利用的日历上横行中的数据关系要知道．
16．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：
2：
1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 ，， 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：
2：
1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．
【解答】解：
∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：
2：
1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，∴注水1分钟，丙的水位上升cm，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，
甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：
①当乙的水位低于甲的水位时，有1﹣t=0.5，解得：
t=分钟；
②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，∵t﹣1=0.5，解得：
t=，
∵×=6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分钟，=，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴，解得：
t=；
③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，解得：
t=，
综上所述开始注入，，分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
三．解答题
17．（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
【分析】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收到的征文篇数是八年级收
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