高三数学导数的概念与运算教案17.docx

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高三数学导数的概念与运算教案17

高三数学导数的概念与运算教案17

11.3导数概念与运算

一、明确复习目标

1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；

2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;

3.熟记基本导数公式；

4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;

5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.

二．建构知识网络

1．导数的概念：

设函数y=f（x）在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f（x）在Δx→0处的导数，记作

；

2．导数的几何意义：

函数y=f（x）在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f′（x0）.

过点P的切线方程为：

y-y0=f′（x0）（x-x0）.

3.导函数、可导：

如果函数y=f（x）在开区间（a,b）内的每点处都有导数，即对于每一个x∈（a,b），都对应着一个确定的导数f′（x0），从而构成了一个新的函数f′（x0）,称这个函数f′（x0）为函数y=f（x）在开区间内的导函数，简称导数。

此时称函数y=f（x）在开区间（a,b）内可导.

4．可导与连续的关系：

如果函数y=f（x）在点x0处可导函数y=f（x）在点x0处连续.

5.依定义求导数的方法：

（1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限，得导数＝

6．几种常见函数的导数：

（C为常数）；（）；；；；；；。

7．导数的四则运算法则：

；；

；

8．复合函数的导数：

设函数u=（x）在点x处有导数u′x=′（x），函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数y′u=f′（u），则复合函数y=f（（x））在点x处也有导数，且或=f′（u）′（x）.

9.求导数的方法:

（1）求导公式;

（2）导数的四则运算法则;

（3）复合函数的求导公式;（4）导数定义.

三、双基题目练练手

1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（）

A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－

2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于（）

A.B.C.D.

3．（2005湖南）设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2005（x）＝（）

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx

4.（2006湖南）设函数,集合,若,则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

5.（2006全国Ⅰ）设函数若是奇函数，则__________

6．设函数若该函数在实数集R上可导，则该函数的最小值是____．

7.（2005北京）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.

8．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是

简答:

1－4.CDCC；5.π6；

6.答案:

－14.依题意

作图易得函数的最小值是f（12）＝－14

7.（1，e）e；8.2n+1-2.

四、经典例题做一做

【例1】求下列函数的导数：

（1）y=

（2）y=ln（x＋）;

（３）y=;

解:

（1）y′=

=

=

（2）y′=•（x＋）′

=（1＋）=

（３）y′==

◆提炼方法：

题

（1）是导数的四则运算法则；題

（2）（3）是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.

【例2】

（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；

（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度

分析：

根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f（x）在处的导数就是曲线y=f（x）在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S（t）对时间的导数

解：

（1），

，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0

因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1

（2）

解题点评:

切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.

【例3】若f（x）在R上可导，

（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；

（2）证明：

若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数.

分析:

（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；

（2）求f′（x），然后判断其奇偶性.

（1）解:

设f（－x）=g（x）,则

g′（a）=

=

=－=－f′（－a）

∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.

（2）证明:

f′（－x）=

=

=－=－f′（x）

∴f′（x）为奇函数.

解题点注:

用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.

【例4】（2006浙江）已知函数＝x3+x2，数列{xn}（xn>0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：

曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。

求证：

当n时：

（I）；（II）

证明：

（I）∵

∴曲线在处的切线斜率

∵过和两点的直线斜率是

∴.

（II）∵函数当时单调递增，

而

，

∴，即

因此

又∵

令则

∵∴

因此故

考查知识：

函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

五．提炼总结以为师

1．了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；

2．会用定义式求导数；

3．了解导数的几何意义；会求切线方程；

4．掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；

5．掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。

同步练习11.3导数概念与运算

【选择题】

1.设函数f（x）在x=x0处可导,则（）

A与x0,h都有关B仅与x0有关而与h无关

C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关

2.已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为（）

Af（x）=（x－1）2+3（x－1）Bf（x）=2（x－1）

Cf（x）=2（x－1）2Df（x）=x－1

3．（2005湖北）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）

A．3B．2C．1D．0

4.（2006安徽）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A．B．C．D．

【填空题】

5.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是________

6．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是．

7.设f（x）在x=1处连续，且f

（1）=0,=2,则f′

（1）=_______

8.曲线y=2－x2与y=x3－2在交点处的切线夹角是__________（以弧度数作答）

简答.提示：

1－4.BADA；5.1，2，4秒末；

6．y＝4x－4；7.∵f

（1）=0,=2,

∴f′

（1）====2

8.由消y得：

（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2

∵y′=（2－x2）′=－x,∴y′|x=2=－2

又y′=（－2）′=x2,∴当x=2时,y′=3

∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3,

||=1∴夹角为

【解答题】

9．下列函数的导数

①

②

③f（x）=e－x（cosx+sinx）

分析：

利用导数的四则运算求导数

①法一：

∴

法二：

=+

②

∴

③f/（x）=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）

=－2e－xsinx,

10．如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．

解：

切线与直线平行，斜率为4

又切线在点的斜率为

∵∴

或

∴切点为（1，-8）或（-1，-12）

切线方程为或

即或

11．（2005福建）已知函数

的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．

（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

解：

（Ⅰ）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，

所以

由在M（-1,f（-1））处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得

当

当

故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．

考查知识：

函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

12.证明：

过抛物线y=a（x－x1）•（x－x2）（a≠0，x1解：

y′=2ax－a（x1+x2），

y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.

设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则tan=|kA|=|a（x1－x2）|，

tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.

又、β是锐角，则=β.