两角和与差的正余切.docx
《两角和与差的正余切.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《两角和与差的正余切.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
两角和与差的正余切
两角和与差的正余切
知识点归纳
1sin（α±β）=_______________________；cos（α±β）=__________________________；
tan（α±β）=_________________________2sin2α=_____________________；tan2α=____________________cos2α=_________________=__________________=__________________；
3sin
α=_____________；cosα=22
4tan
α
2
=
sinα=
1+cosα
x5sinx+cosx=_________________sin
cox=s________________
注意：
（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
（2）善于拆角、拼角，如（3）注意倍角的相对性；（4）要时时注意α=（α+β）-β，2α=（α+β）+（α-β），2α+β=（α+β）+α等；角的范围；（5）熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等题型讲解
例1已知sinα+sinβ=1（α+β）的值，cosα+cosβ=0，求cos
tanβ是方程x-5x+6=0的两个实根根，例2已知tanα，求2sin2（α+β）-3sin（α+β）cos（α+β）+cos2（α+β）的值
2
例3化简下列各式
⎛1111⎛3π⎫⎫
-+cos2αα∈，2π
（1），
（2）⎪⎪⎪2222⎝2⎭⎭⎝
cos2α-sin2α
⎛π⎫⎛π⎫2tan-α⎪cos2-α⎪
⎝4⎭⎝4⎭
7sin2x+2cos2x⎛π⎫317
的值。
例4若cos+x⎪=π
41-tanx⎝4⎭512
asin
例5已知正实数a,b满足
π
=tan8π，求b的值。
ππ15aacos-bsin
55
+bcos
π
例6试求cos2730+cos2470+cos730cos470的值
例7是否存在锐角α和β，使
（1）α+2β=α和β的值；若不存在，请说明理由。
2
（2）tanαtanβ=2-，同时成立？
若存在，求出π；32
11sinβ），b+c=（2cosβ，0），a⋅b=，a⋅c=，求证：
cosα），b=（cosβ，例8已知a=（sinα，
23
cos2（α+β）+
学生练习
tanαtanβ35，sinB=,则cosC的值是（）513
5656165616AB－－或－
6565656565
1
2函数y=的最大值是（）
2+sinx+cosx
1设∆ABC中，cosA=
A
2
-1B1+2
2C4D2
43
00
3求下列各式的值：
（1）tan340+tan260+tan34tan26，
（2）sin501+3tan100
（）
4cos（α+β）=，cos（α-β）=-，且π
454532π2
sin2x，cosθ，成差数列，sinθ，sinx，cosθ成等比数列，5sinθ，求cos2x的值
6f（θ）=sinθ+sin（θ+α）+sin（θ+β），其中α=
222
π2π
，求证：
f（θ）为与θ无关的定植。
，β=
33
知识点归纳
1
2函数y=Asin（ωx+ϕ）+B（其中A>0，ω>0）
最大值是___________，最小值是________，周期是_________，频率是__________，相位是______，初相是_______；其图象的对称轴是直线_______________
3y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋ϕ）的图象一般有两个途径。
途径一：
先平移变换再周期变换（伸缩变换）途径二：
先周期变换（伸缩变换）如：
由y＝sinx的图象变换出y＝sin（2x＋
4y=Asin（ωx+ϕ）的简图：
π
）的图像。
3
五点取法是设x=ωx+ϕ，由x取0、如：
五点法作y＝3sin（2x＋
题型讲解
π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图22
π
）的简图3
例1把函数y=cos（x+
4π
）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是3
1π
例2试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx
33
例3求函数y=sin4x+2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间
例4已知电流I与时间t的关系式为I=Asin（ωt+ϕ）．
（１）右图是I=Asin（ωt+ϕ）（ω＞0，|ϕ|
（２）如果t在任意一段
π
2
）在一个周期内的图象，
1
秒的时间内，电流I=Asin（ωt+ϕ）都能取得150
最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
例5
（1）y=cosx+cos（x+
ππ）的最大值是__；
（2）y=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是__34
例6求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值
例7求下列函数的单调区间：
（1）y=
1π2xπsin（－）；
（2）y=－｜sin（x+）｜2434
6cos4x-5cos2x+1
例8已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域cos2x
学生练习
1f（x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么
A=2，θ=
π2
B=1，θ=π=2，θ=π=1，θ=
π2
2函数y=sin（
π
－2x）+sin2x的最小正周期是（）A2π3
B
π
3y=2sin（
πππ7ππ5π5π－2x）（x∈［0,π］）为增函数的区间是A0,］B，］C，］D，π］
121263366
4f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，
π
］上的最小值为－4，那么a的值等于2
sin4x+cos4x+sin2xcos2x
5f（x）=的最小正周期、最大值和最小值
2-sin2x
3π3π9
6x∈［,］，函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为,试求其最小值
842
7y=xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数Aπ3π3π5π，）Bπ，2π）C，）2π，3π）2222
8y=sin4x+cos2x的最小正周期为
π
9P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈［－
ππ
，］1）求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数44
f（x）；
（2）求cosθ
三角函数的最值及综合应用
知识点归纳
1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：
常转化为y
=
sin（x+ϕ）
2y=asin2x+bsinx+c型常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：
3=
asinx+b
型
（1）常数分离
（2）反解法
csinx+d
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：
同一问题中出现sinx±cosx,sinx∙cosx，求它们的范围，一般是令
t2-1t2-1
或sinx∙cosx=-，转化为关于tsinx±cosx=t⇒sinx∙cosx=22
5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：
已知tanx=2，求sin2x+2sinx⋅cosx+cos2x+4
的
6三角函数的图象的掌握体现：
把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．7
①函数y=sin（x＋φ）是奇函数⇔ϕ=__________（k∈Z）．
②函数y=sin（x＋φ）是偶函数⇔ϕ=__________③函数y=cos（x＋φ）是奇函数⇔ϕ=_________④函数y=cos（x＋φ）是偶函数⇔ϕ=________题型讲解
（k∈Z）．（k∈Z）．（k∈Z）．
例1函数y=acosx+b（a、b为常数）
+1≤y
，求bsinx+acosx的最大值
例2、已知函数f（x）=2asinxcosx+2bcos2x,且f（0）=8,f（）=12
π6
（１）求实数a,b的值；（２）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值
例3已知函数f的值．
例4设f（x）=asinωx+bcosωx（ω>0）的周期T=π，最大值f（
（x）=-acos2x-2
⎡π⎤
3asinxcosx+2a+b的定义域为⎢0⎥，值域为[－5，1]，求常数a,b
2⎣⎦
π
12
）=4，
（1）求ω、a、b的值；
（2）若α,β是方程f（x）=0的两根，α,β的终边不共线，求tan（α+β）的值
例5已知函数y=
13cos2x+sinxcosx+1（x∈R）
（1）求函数y的最大值，并求此时x的值22
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
例6已知：
定义在（-∞,4]上的减函数f（x），使得f（m-sinx
）≤f求实数m
学生练习
7
+cos2x）对一切实数x均成立，4
1若0＜α＜β＜
Aa＜b＜1
π
，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则4
＞b＞1＜1＞1
2y=tan（2x+ϕ）的图象过点（
π
，0），则ϕ可以是12
ππ1263f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是Axxx
Ax
4函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－ππ
，］上的最小值是
44
1+2C1
2π
5y=x－sinx在［，π］上的最大值是
2
－12
2
ππ
，］时的值域为64
A1，0］B1，0］0，1）0，1］70，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是8ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，则a与b的大小关系为6y=log2（1+sinx）+log2（1－sinx），当x∈［－
π
个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原3
来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象
9y=sinx的图象向左平移
y=
3sinx-1
的最大值是_______，最小值是_______
sinx+2
11a=（cosθ，sinθ），向量b=（，－1），则|2a－b|的最大值是_____
y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域
x，恒有y≥sin2x+4sin2xcos2x，求y的最小值
14．已知3sin2α+2sin2β=2sinα,求cos2α+cos2β的最大值和最小值
解三角形及应用举例
知识点归纳1
2余弦定理：
3
4
5ABC中sin（A+B）=_____
cos（A+B）=____tCan=
tan（A+B）=____
sin
A+BA+B
_tanA+taBn+=_____co=_____
22
_______
题型讲解
例1在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．
例2△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：
A=2B
例3已知锐角△ABC中，sin（A+B）=
31
，sin（A－B）=1）求证：
tanA=2tanB；
（2）设AB=3，求AB边上55
的高
例4在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求
∠A的大小及
bsinB
c
例5在∆ABC中，sinA+cosA=
，AC=2，AB=3，求tanA的值和∆ABC的面积．2
π
例6设函数f（x）=a⋅b，
其中向量a=（2cosx,1）,b=（cosx2x）x∈R若f（x）=1－3且x∈[－，
3
ππ
]，求x；（２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=（m,n）（|m|
n的值
例7如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
（１）用a，θ表示S1和S2；（２）当a固定，θ变化时，求
S1
取最小值时的角θ．S2
学生练习
1在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是
AB直角三角形CD2ABC是锐角三角形的是
AA+cosA=
1
BAB·BC＞0CtanA+tanB+tanC＞05
D=3，c=3，B=30°
3ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为
3，2
那么b等于
B3
D2+34ABC中，“A＞30°”是“sinA＞
1
”的2
AC6ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A=20，A=45°，C=80°=30，c=28，B=60°C=14，b=16，A=45°=12，c=15，A=120°7已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______8ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______D
9在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=
1
（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______4
ABC中，若∠C=60°，则
ab
=_______+
b+ca+c
11ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=
1+sin2B
的取值范围
sinB+cosB
ABC中，22（sin2A－sin2C）=
（a－b）sinB
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值
13在△ABC中，sinA=
sinB+sinC
，判断这个三角形的形状
cosB+cosC
升级会员 