复习必备版高中数学 第三章 统计案例 31 独立性检验学案 苏教版选修23.docx
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复习必备版高中数学第三章统计案例31独立性检验学案苏教版选修23
3.1独立性检验
学习目标
1.了解2×2列联表的意义.2.了解统计量χ2的意义.3.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．
知识点一 2×2列联表
思考 山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：
体育
文娱
合计
男生
210
230
440
女生
60
290
350
合计
270
520
790
如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？
梳理
（1）2×2列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1
类2
合计
Ⅰ
类A
a
b
类B
c
d
合计
a＋b＋c＋d
（2）χ2统计量的求法
公式χ2＝
.
知识点二 独立性检验
独立性检验的概念
用χ2统计量研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．
知识点三 独立性检验的步骤
1．独立性检验的步骤
要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0：
__________________；
（2）根据2×2列联表及χ2公式，计算________的值；
（3）查对临界值，作出判断．
其中临界值如表所示：
P（χ2≥x0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
表示在H0成立的情况下，事件“_____________________________________”发生的概率．
2．推断依据
（1）若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”．
（2）若χ2＞6.635，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”．
（3）若χ2＞2.706，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”．
（4）若χ2≤2.706，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．
类型一 2×2列联表
例1 在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
反思与感悟 分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．
跟踪训练1
（1）下面是2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
合计
b
46
100
则表中a，b的值分别为________，________.
（2）某学校对高三学生作一项调查后发现：
在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中有213名在考前心情紧张．作出2×2列联表．
类型二 由χ2进行独立性检验
例2 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示．
又发作心脏病过
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别．
反思与感悟 独立性检验的关注点
在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．
跟踪训练2 某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系．
类型三 独立性检验的综合应用
例3 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，并根据调查结果绘制了观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图如图．
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料推断“体育迷”与性别是否有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
（2）将上述调查所得的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的概率分布，均值E（X）和方差V（X）．
附：
χ2＝
.
P（χ2≥x0）
0.10
0.05
0.01
x0
2.706
3.841
6.635
反思与感悟 独立性检验的步骤
第一步，假设两个分类变量X与Y无关系；第二步，找相关数据，列出2×2列联表；第三步，由公式χ2＝
（其中n＝a＋b＋c＋d）计算出χ2的值；第四步，将χ2的值与临界值进行比较，进而作出统计推断．这些临界值，在高考题中常会附在题后，应适时采用．
跟踪训练3 某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：
（已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）
甲校高二年级数学成绩：
分组
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90,100]
频数
10
25
35
30
x
乙校高二年级数学成绩：
分组
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90,100]
频数
15
30
25
y
5
（1）计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分；（精确到1分）
（2）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”？
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
总计
1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．（填有关，无关）
2．为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下所示的列联表，试根据表格中已有数据填空．
经常头晕
很少头晕
合计
长发
35
①
121
短发
37
143
②
合计
72
③
④
则空格中的数据分别为：
①________；②________；③________；④________.
3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是________．（填序号）
①若χ2＞6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③若从χ2与临界值的比较中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
4．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表：
心脏病
无心脏病
秃发
20
300
不秃发
5
450
根据表中数据得到χ2＝
≈15.968，因为χ2>6.635，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为________．
5．根据下表计算：
不看电视
看电视
男
37
85
女
35
143
χ2≈________.（保留3位小数）
1．列联表
列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系．
2．对独立性检验思想的理解
独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算统计量χ2的值，如果χ2的值很大，说明假设不合理．χ2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断．
梳理
（1）a＋b c＋d a＋c b＋d
知识点三
1．
（1）Ⅰ与Ⅱ没有关系
（2）χ2 （3）χ2≥x0
题型探究
例1 解 作列联表如下：
喜欢甜食
不喜欢甜食
合计
男
117
413
530
女
492
178
670
合计
609
591
1200
跟踪训练1
（1）52 54
解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
（2）解 作列联表如下：
性格内向
性格外向
合计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
合计
426
594
1020
例2 解 假设病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术没有关系，由表中数据得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392，
由公式得
χ2＝
≈1.779.
因为χ2≈1.779<2.706，所以不能得出病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术有关系的结论，即这两种手术对病人又发作过心脏病的影响没有差别．
跟踪训练2 解
（1）2×2列联表如下所示：
赞同
不赞同
总计
老教师
10
10
20
青年教师
24
6
30
总计
34
16
50
（2）假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”．
由公式得χ2＝
≈4.963<6.635，
所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关．
例3 解
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，
得χ2＝
＝
≈3.030.
因为2.706<3.030<3.841，所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
.
由题意知，X～B（3，
），从而X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
故E（X）＝np＝3×
＝
，
V（X）＝np（1－p）＝3×
×
＝
.
跟踪训练3 解
（1）依题意知，甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，
∴x＝10，y＝15，
估计两个学校的平均分，甲校的平均分为
≈75.
乙校的平均分为
≈71.
（2）数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到2×2列联表如下：
甲校
乙校
总计
优秀
40
20
60
非优秀
70
70
140
总计
110
90
200
χ2＝
≈4.714，
又4.714>3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．
当堂训练
1．有关 2.86 180 229 301 3.③
4．0.01 5.4.514
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