全国各地中考数学压轴题专集圆.docx

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全国各地中考数学压轴题专集圆

2013年全国各地中考数学压轴题专集答案

八、圆

（上海模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是上一动点（不与点B、C重合），OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，连接OC、OD、EF．已知AB＝4．

（1）求证：

①∠EOF＝45°；②∠ODE＝∠OFE；

（2）若AD＝2，求△EOF的面积；

（3）在点D移动过程中，是否存在以O、D、E为顶点的三角形与△DOF全等的情况？

若存在，求出△DOF面积；若不存在，请说明理由．

G

（1）①设OF与AD交于点G

∵AB是半圆O的直径，C是的中点

∴∠AOC＝90°

∵OE⊥AD，OF⊥CD，∴∠OEG＝∠DFG＝90°

H

∵∠OGE＝∠DGF

∴∠EOF＝∠ADC＝∠AOC＝45°

②∵∠OEG＝∠DFG，∠OGE＝∠DGF

∴△OEG∽△DFG，∴＝

又∵∠EGF＝∠OGD，∴△EGF∽△OGD

∴∠ODE＝∠OFE

（2）过E作EH⊥OF于H

∵AB＝4，AD＝2，OE⊥AD

∴AO＝2，AE＝，∴OE＝＝1

∴EH＝OH＝OE＝，∠ODE＝∠OAE＝30°

∴∠OFE＝30°，∴FH＝EH＝

∴OF＝OH＋FH＝

K

∴S△EOF＝OF·EH＝××＝

（3）存在．当D是的中点时，△ODE≌△DOF

∵∠OED＝∠DFO＝90°，∠DOE＞∠DOF

∴当∠ODE＝∠DOF时，△ODE≌△DOF

∴∠DOB＝2∠ODE＝2∠DOF＝∠DOC＝45°

过C作CK⊥OD于K，则CK＝OC＝

∴S△DOF＝S△DOC＝×OD·CK＝××2×＝

（上海模拟）如图，在半径为4的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB＝90º，点C是上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC＝x，BD＝y．

（1）当△DCB与△DOC相似时，确定点C的位置；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

C

（3）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为，当BD＝（－1）OB时，求⊙O1的半径．

解：

（1）当点C为的中点时，△DCB∽△DOC

C

证明如下：

∵当点C为的中点时，∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝45º

又∵OA＝OC＝OB，∴∠OCA＝∠OCB＝＝67.5º

∴∠DCB＝180º－∠OCA－∠OCB＝45º

∴∠DCB＝∠BOC

又∵∠D＝∠D，∴△DCB∽△DOC

（2）过O作OE⊥AC于E

E

∴AE＝AC＝x，OE＝＝

∵∠DEO＝∠AOB＝90º，∴∠D＝90º－∠EOD＝∠AOE

∴△ODE∽△AOE，∴＝，∴＝

O1

∴y＝（0＜x＜4）

（3）当BD＝（－1）OB时，y＝4（－1）

∴＝4（－1），解得x＝4

∴AE＝x＝2，OE＝＝2

当点O1在线段OE上时

E

O1E＝OE－OO1＝2－＝

O1A＝＝＝

当点O1在EO的延长线上时

O1E＝OE＋OO1＝2＋＝3

O1A＝＝＝

∴⊙O1的半径为或

（上海模拟）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），以AC为对称轴将AO作轴对称变换，点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于D．

（1）如图1，若∠O1OD＝18°，则∠CAB＝________°；

（2）如图2，当点D与点O1重合时，求证：

＝；

（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，连接OE交AC于F．若AO＝5，O1D＝1，求的值．

B

（1）24

提示：

设∠CAB＝x，则∠DAB＝2x，∠AOO1＝∠AO1O＝90°－x

∵OA＝OD，∴∠D＝∠DAB＝2x

∵∠AO1O＝∠D＋∠O1OD，∠O1OD＝18°

∴90°－x＝2x＋18°，∴x＝24°

（2）连接OC、O1C

（O1）

∵点O1与点O关于直线AC对称

∴AO＝AO1，CO＝CO1

∵点D与点O1重合，∴AO＝AD，CD＝CO

∵OA＝OC，∴AD＝CD

∴＝

（3）连接OC，过O作OH⊥AD于H

∵CE⊥AD，∴OH∥CE

∵点O1与点O关于直线AC对称，∴∠OAC＝∠O1AC

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA

∴∠O1AC＝∠OCA，∴AD∥OC

∴四边形OCEH是平行四边形

F

O1

∴HE＝OC＝AO＝5

①当点O1在线段AD上时

AD＝AO1＋O1D＝AO＋O1D＝5＋1＝6

∵OH⊥AD，∴AH＝AD＝3

∴AE＝AH＋HE＝3＋5＝8

∵AD∥OC，∴＝＝

②当点O1在线段AD的延长线上时

AD＝AO1－O1D＝AO－O1D＝5－1＝4

∴AH＝AD＝2

∴AE＝AH＋HE＝2＋5＝7

∴＝＝

（上海模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，点O在边AB上，以点O为圆心的圆过A、C两点，点P为上一动点．

（1）求⊙O的半径；

（2）连接AP并延长，交BC延长线于点D，设AP＝x，CD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）连接CP，当点P是的中点时，求△ACP的面积与△ACD的面积比的值．

备用图

P

解：

（1）连接OC

P

设OC＝x，则OB＝8－x

在Rt△OBC中，（8－x）2＋42＝x2

解得x＝5，即⊙O的半径为5

（2）过O作OH⊥AD于H

则AH＝AP＝x，OH＝＝＝

∵∠OHA＝∠B＝90°，∠OAH＝∠DAB

∴△AOH∽△ADB，∴＝

H

∴＝

∴y＝－4（0＜x＜4）

（3）连接OP、OC、PC

∵P是的中点，∴AP＝BP

∵OA＝OC，∴PO垂直平分AC

设∠BAC＝α，则∠ACO＝α，∠BOC＝2α，∠OCB＝90°－2α

∠AOP＝∠AOC＝（180°－2α）＝90°－α，∠ACD＝90°＋α

P

∠APC＝∠APO＋∠OPC＝∠APO＋∠OAP＝180°－（90°－α）＝90°＋α

∴∠APC＝∠ACD，∴△APC∽△ACD

∴＝（）2，∠ACP＝∠D

∵AP＝CP，∴∠ACP＝∠CAP

∴∠CAP＝∠D，∴CD＝AC＝＝4

即y＝4

∴－4＝4，解得x2＝50－10

即AP2＝50－10

∴＝（）2＝＝

（上海模拟）如图，点A、B、C是半径为2的半圆O上的三个点，点A是的中点，连接AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD＝CE．

（1）求证：

求证：

OD＝OE；

（2）连接BC，当BC＝2时，求∠DOE的度数；

（3）若∠BAC＝120°，当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积是否变化？

若变化，请说明理由；若不变化，请求出四边形ADOE的面积

O

E

解：

（1）连接OA、OB、OC，则OA＝OB＝OC

∵点A是的中点，＝，∴AB＝AC

又∵OA＝OA，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO＝∠CAO

∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠BAO＝∠OCA

又∵OA＝OC，AD＝CE，∴△AOD≌△COE

∴OD＝OE

（2）∵OB＝OC＝2，BC＝2

∴OB2＋OC2＝22＋22＝8，BC2＝

（2）2＝8

O

∴OB2＋OC2＝BC2，∴∠BOC＝90°

∵＝，O是圆心，∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝45°

∵△AOD≌△COE，∴∠AOD＝∠COE

∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝∠COE＋∠AOE＝∠AOC＝45°

（3）当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积不变

理由如下：

∵∠BAO＝∠CAO，∠BAC＝120°，∴∠CAO＝60°

H

又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形

∴AC＝OC＝2

∵△AOD≌△COE，∴S△AOD＝S△COE

∴S四边形ADOE＝S△AOD＋S△AOE＝S△COE＋S△AOE＝S△AOC

过O作OH⊥AC于H，则OH＝OC＝

∴S四边形ADOE＝S△AOC＝AC·OH＝×2×＝

（浙江某校自主招生）如图，AB是半圆O的直径，P是半圆O上一动点，PN⊥AB于N，M是AP的中点，连接BM．

（1）当∠A＝2∠B时，求的值；

（2）是否存在点P，使∠B最大？

若存在，求出tanB的值；若不存在，请说明理由．

B

t

解：

（1）连接MN、PB

∵PN⊥AB，M是AC的中点，∴MN＝PA＝AM

∴∠A＝∠MNA

∵∠A＝2∠B，∴∠MNA＝2∠B

B

∴∠BMN＝∠MBN，∴BN＝MN

设AN＝a，BN＝MN＝b，则AP＝2b

∵AB是半圆O的直径，∴∠APB＝90°

∴△APN∽△PBN，∴＝

∴＝

整理得：

（）2＋－4＝0，解得：

＝（舍去负值）

∴＝

（2）过M作MH⊥AB于H，连接OM、MN

∵PN⊥AB，∴MH∥PN

∵M是AP的中点，∴H是AN的中点

H

∴MH＝PN

设AB＝2m，BN＝x，MN＝y

则AP＝2y，AM＝y，AO＝m，AN＝2m－x

易证△AOM∽△APN，∴＝

∴＝，∴2y2＝2m2－mx

在Rt△APN中，

PN2＝AP2－AN2＝4y2－（2m－x）2＝4m2－2mx－（2m－x）2＝2mx－x2

∴MH2＝PN2＝（2mx－x2）

∵AM＝MN，MH⊥AN，∴H为AN中点

∴HN＝AN＝（AB－BN）＝（2m－x）

∴BH＝BN＋HN＝x＋（2m－x）＝（2m＋x）

∴BH2＝（2m＋x）2

∵tanB＝，∴tan2B＝＝＝

∴（tan2B＋1）x2＋（4mtan2B－2m）x＋4m2tan2B

∵x为实数，∴（4mtan2B－2m）2－4（tan2B＋1）·4m2tan2B≥0

∴16m2tan4B－16m2tan2B＋4m2－16m2tan4B－16m2tan2B≥0

∴4m2≥32m2tan2B，∴tan2B≤，∴0＜tanB≤

∴tanB的最大值为，此时∠B最大

∴存在点P，使∠B最大，此时tanB＝

（浙江模拟）如图，直线l：

y＝－2x＋8与x轴、y轴交于点A、B，点P（0，t）是y轴上一动点，以点P为圆心作⊙P，当PA＝PB时，⊙P与x轴相切，当点P运动时，保持⊙P的半径不变．

（1）求⊙P的半径；

（2）当点P运动时，若在⊙P上存在4个点到直线l的距离为2，求t的取值范围；

（3）在点P运动的过程中，点C是直线l上一点，过点C作⊙P的切线CD、CE，若CD⊥CE，且这样的点C有且只有一个时，直接写出点C的坐标．

l

备用图

解：

（1）∵y＝－2x＋8与x轴、y轴交于点A、B

∴A（4，0），B（0，8），∴OA＝4，OB＝8

∵OP＝t，∴PA＝PB＝8－t

在Rt△AOP中，OA2＋OP2＝PA2

H

∴42＋t2＝（8－t）2，解得t＝3，即OP＝3

∵⊙P与x轴相切，∴⊙P的半径为3

（2）∵在⊙P上存在4个点到直线l的距离为2

∴⊙P与直线l相交

当⊙P上存在3个点到直线l的距离为2时

∵⊙P的半径为3，∴点P到直线l的距离为1

过点P作直线l的垂线，垂足为H

则PH＝1

易证△BPH∽△BAO，∴＝

∴＝，∴BP＝

当点P在线段OB上时，OP＝8－

当点P在线段OB的延长线上时，OP＝8＋

∵在⊙P上存在4个点到直线l的距离为2

∴8－＜t＜8＋

（3）（，－＋8）或（－，＋8）

E

提示：

连接PD、PC、PE

∵CD、CE是⊙P的切线

E

∴∠PDC＝90°，∠DCP＝∠DCE＝45°

∴PC＝PD＝3

∵点C有且只有一个，∴PC⊥AB

∴PC＝BP·sin∠PBC＝BP·，

∴3＝BP·，∴BP＝3

当点P在BO的延长线上时，OP＝3－8

∴P（0，8－3）

设C（m，－2m＋8），则m2＋（2m－3）2＝（3）2

解得m＝，∴C1（，－＋8）

当点P在OB的延长线上时，OP＝8＋3

∴P（0，8＋3）

设C（n，－2n＋8），则n2＋（2n＋3）2＝（3）2

解得n＝－，∴C2（－，＋8）

（浙江模拟）如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，C是半圆弧上一动点（不与A、B重合），D是的三等分点，过D作DE⊥AB于E，直线AC交直线BD于F．

（1）若＝＝45°，求△BCF的面积；

（2）在点C的运动过程中，是否存在以B、F、C为顶点的三角形和△ABC相似，若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

备用图

解：

（1）连接OD、OC，作CG⊥OB于G

∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°

G

∵＝＝45°

∴∠AOD＝45°，∠COD＝2∠AOD＝90°

∴∠BOC＝45°，∠DBC＝∠COD＝45°

∴CG＝OG＝OC＝

∴AG＝OA＋OG＝5＋，AC＝＝5

∵sin∠CAB＝＝，∴＝

∴BC＝

∴S△BCF＝BC2＝

（2）∵∠ABC＞∠CBF，∴当且仅当∠CBF＝∠CAB时，△BFC∽△ABC

分两种情况：

①若＝，连接AD、OD、OC，OD交AC于G

设∠AOD＝x，则∠COD＝2x，∠CBF＝∠COD＝x

G

∠CAB＝∠COB＝（180°－3x）＝90°－x

∵∠CBF＝∠CAB，∴x＝90°－x

解得x＝36°，即∠AOD＝36°，∠CAB＝36°

易得∠DAG＝36°，∠OAD＝∠ODA＝∠AGD＝72°

∴△ADG∽△ODA，∴＝

∴＝，解得AD＝

∵DE2＝AD2－AE2＝OD2－OE2

∴（）2－AE2＝52－（5－AE）2，解得AE＝

∴BE＝AB－AE＝10－＝

②若＝，连接OD、OC

设∠COD＝x，则∠AOD＝2x，∠CBF＝∠COD＝

O

∠CAB＝∠COB＝（180°－3x）＝90°－x

∵∠CBF＝∠CAB，∴＝90°－x

解得x＝45°，即∠AOD＝90°

∴点E与点O重合，∴BE＝5

综上所述，在点C的运动过程中，存在以B、F、C为顶点的三角形和△ABC相似

此时BE的长为或5

（浙江模拟）如图，直线y＝x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B两点，C是⊙M上一点，连接BC交OA于点D，∠COD＝∠CBO．

（1）求点C的坐标；

（2）延长BC到E，使DE＝2，连接AE，试判断直线AE与⊙M的位置关系，并说明理由；

（3）若点P是⊙M上一点，以P、B、C、O为顶点的四边形是梯形，直接写出点P的坐标．

E

解：

（1）连接MC交OA于点G

∵直线y＝x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B

E

∴A（－8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6

∴AB＝＝＝10

∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直径

∴MA＝MB＝MC＝AB＝5

∵∠COD＝∠CBO，COD＝∠CBA

∴∠CBA＝∠CBO，∴＝

∴MC⊥OA，∴MC∥OB

∴OG＝AG＝OA＝4，MG＝OB＝3

∴GC＝MC－MG＝5－3＝2

∴点C的坐标为（－4，－2）

（2）直线AE与⊙M相切，理由如下：

连接AC

∵＝，∴AC＝OC＝＝＝2

∴BC＝＝4

∵∠COD＝∠CBO，∴Rt△BDO∽Rt△OCG

∴＝，∴＝，∴BD＝3

∴DC＝BC－BD＝

∵DE＝2，∴CE＝，∴＝＝2

∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB＝∠ACE＝90°

∴△ACE∽△BCA，∴∠EAC＝∠ABC

∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠EAC＋∠BAC＝90°

即∠BAE＝90°，∴直线AE与⊙M相切

（3）P1（，），P2（－4，8），P3（－，）

P

P

P

（江苏南京）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且BCP＝ACD．

O

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB＝9，BC＝6，求PC的长．

（1）直线PC与圆O相切

理由如下：

连接CO并延长，交⊙O于点N，连接BN

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD

N

∵∠BAC＝∠BNC，∴∠BNC＝∠ACD

∵∠BCP＝∠ACD，∴∠BNC＝∠BCP

∵CN是⊙O的直径，∴∠CBN＝90

∴∠BNC＋∠BCN＝90，∴∠BCP＋∠BCN＝90

∴∠PCO＝90，即PC⊥OC

又∵点C在⊙O上，∴直线PC与⊙O相切

（2）∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD＝90

∵BC∥AD，∴∠OMC＝180－∠OAD＝90，即OM⊥BC

∴MC＝MB，∴AB＝AC

在Rt△AMC中，∠AMC＝90，AC＝AB＝9，MC＝BC＝3

由勾股定理，得AM＝＝＝6

设⊙O的半径为r

在Rt△OMC中，∠OMC＝90，OM＝AM－AO＝6－r，MC＝3，OC＝r

由勾股定理，得OM2＋MC2＝OC2，即（6－r）2＋32＝r2，解得r＝

在△OMC和△OCP中

∵∠OMC＝∠OCP，∠MOC＝∠COP

∴△OMC∽△OCP，∴＝

即＝，∴PC＝

O

（江苏苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：

BD＝BF；

（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．

（1）证明：

连接OE

∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝∠ACB

O

∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F

∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE

∴∠F＝∠ODE，∴BD＝BF

（2）设BC＝3x，则AB＝5x

又CF＝1，∴BF＝3x＋1

由

（1）知BD＝BF，∴BD＝3x＋1

∴OE＝，AO＝5x－＝

∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B

∴＝，即＝，解得x＝

∴OE＝＝

即⊙O的半径为

（江苏常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为___________；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？

并求出△ABC的面积的最大值；

（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？

请作出判断，并说明理由．

y

（备用图）

解：

（1）45°或135°

提示：

如图所示

y

y

（2）∵A（6，0），B（0，6），∴OA＝OB＝6

∴AB＝6

要使△ABC的面积最大，AB边上的高必须最大

作CE⊥AB于E，OF⊥AB于F，OG⊥OE于G

则四边形OGEF是矩形，GE＝OF

∴CE＝CG＋GE≤OG＋OF

当且仅当C、O、F三点共线且点C在FO延长线上时，CE最大

易知△AOB是等腰直角三角形

∴∠COH＝∠AOF＝45°

所以，当点C运动到第三象限的角平分线与⊙O的交点位置时，△ABC的面积最大

∵AB＝6，∴OF＝3，∴CF＝3＋3

∴△ABC的面积的最大值为S＝AB·CF＝×6×（3＋3）＝18＋9

H

G

（3）①过C作CH⊥x轴于H

∵OD⊥OC，OC∥AD

∴∠ADO＝∠COD＝90°，∠COH＝∠OAD

∴Rt△OCH∽Rt△AOD，∴＝

即＝，∴CH＝

在Rt△OCH中，OH＝＝

∴点C的坐标为（，）或（－，）

H

C

②直线BC是⊙O的切线．理由如下：

∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOD

又OC＝OD，OB＝OA，∴△BOC≌△AOD

∴∠BCO＝∠ADO＝90°

∴直线BC是⊙O的切线

B

（江苏宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．

（1）若∠C＝30°，求证：

BE是△DEC外接圆的切线；

（2）若BE＝，BD＝1，求△DEC外接圆的直径．

（1）证明：

取CD的中点O，连接OE

∵点E为Rt△ABC斜边AC的中点

B

∴BE＝AC＝AE

∴∠A＝∠ABE＝90°－∠C＝90°－30°＝60°

∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C＝30°

∴∠BEO＝180－∠AEB－∠OEC＝90°，即BE⊥OE

又∵OE为⊙O的半径

∴BE是△DEC外接圆的切线

（2）解：

设CD的长为x，则BC＝x＋1

∵BE＝，DE垂直平分AC

∴EC＝BE＝，AC＝2，∠DEC＝∠ABC＝90°

∵∠ECD＝∠BCA，∴△CED∽△CBA

∴＝，即＝

解得x＝2或x＝－3（不合题意，舍去）

即△DEC外接圆的直径为2

（江苏镇江）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3．点D在边AB的延长线上，BD＝3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．

（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；

（2）连结CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：

点G是CD的中点．

A

G

解：

（1）连接DF，过点O作OH⊥AE，垂足为点H

∵ED是⊙O的直径，∴∠DFE＝90°

A

∴∠DFE＝∠ACB＝90°，∴BC∥DF

∴＝，∴＝

∴DF＝

∵OH⊥EF，∴H是EF的中点

又∵O是DE的中点，∴OH＝DF＝

∵∠ADE＝90°，DF⊥AE，∴△DEF∽△ADF∽△ABC

G

∴＝，∴DE＝6，∴OE＝3

（2）连结EG

∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC

又∵∠BCE＝∠BDE＝90°，∴∠ECD＝∠EDC

∴CE＝DE

∵DE为⊙O的直径，∴∠DGE＝90°

∴点G是CD的中点

（江苏连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．

（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

B

（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

（Q）

解：

（1）∵CA是⊙P的直径，∴CD⊥OA

∴CD∥BO，∴△ACD∽△ABO，∴＝

∵OA＝8，OB＝6，AB＝10，CA＝2t，∴AD＝t

当点Q与点D重合时，有OQ＋AD＝OA

∴t＋t＝8，∴t＝

B

（2）由△ACD∽△ABO