MATLAB优化应用.docx
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MATLAB优化应用
§1线性规划模型
一、线性规划课题：
实例1：
生产计划问题
假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：
设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
maxf=70x1+120x2
s.t9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：
目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。
形如：
（1）minfTX
s.tAX≤b
AeqX=beq
lb≤X≤ub
其中X为n维未知向量，fT=[f1,f2,…fn]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。
lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
二．线性规划问题求最优解函数：
调用格式：
x=linprog（f,A,b）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）
[x,fval]=linprog（…）
[x,fval,exitflag]=linprog（…）
[x,fval,exitflag,output]=linprog（…）
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（…）
说明：
x=linprog（f,A,b）返回值x为最优解向量。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则令A=[]、b=[]。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）中lb,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
Options的参数描述：
Display显示水平。
选择’off’不显示输出；选择’iter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’显示最终结果。
MaxFunEvals函数评价的最大允许次数
Maxiter最大允许迭代次数
TolXx处的终止容限
[x,fval]=linprog（…）左端fval返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）的输出部分：
exitflag描述函数计算的退出条件：
若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
output返回优化信息：
output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。
lambda返回x处的拉格朗日乘子。
它有以下属性：
lambda.lower-lambda的下界；
lambda.upper-lambda的上界；
lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；
lambda.eqlin-lambda的线性等式。
三．举例
例1：
求解线性规划问题：
maxf=2x1+5x2
s.t
先将目标函数转化成最小值问题：
min（-f）=-2x1-5x2
程序：
f=[-2-5];
A=[10;01;12];
b=[4;3;8];
[x,fval]=linprog（f,A,b）
f=fval*（-1）
结果：
x=23
fval=-19.0000
maxf=19
例2：
minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5
s.t–2x1+x2-x3+x4-3x5≤6
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2x1+x2-x3+4x4+x5≤7
0≤xj≤15j=1,2,3,4,5
程序：
f=[5-123-8];
A=[-21-11-3;21-141];
b=[6;7];
lb=[00000];
ub=[1515151515];
[x,fval]=linprog（f,A,b,[],[],lb,ub）
结果：
x=
0.0000
0.0000
8.0000
0.0000
15.0000
minf=-104
例3：
求解线性规划问题：
minf=5x1+x2+2x3+3x4+x5
s.t–2x1+x2-x3+x4-3x5≤1
2x1+3x2-x3+2x4+x5≤-2
0≤xj≤1j=1,2,3,4,5
程序：
f=[51231];
A=[-21-11-3;23-121];
b=[1;-2];
lb=[00000];
ub=[11111];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,[],[],lb,ub）运行结果：
Exiting:
Oneormoreoftheresiduals,dualitygap,ortotalrelativeerror
hasgrown100000timesgreaterthanitsminimumvaluesofar:
theprimalappearstobeinfeasible（andthedualunbounded）.
（Thedualresidualx=0.0000
0.0000
1.1987
0.0000
0.0000
fval=
2.3975
exitflag=
-1
output=
iterations:
7
cgiterations:
0
algorithm:
'lipsol'
lambda=
ineqlin:
[2x1double]
eqlin:
[0x1double]
upper:
[5x1double]
lower:
[5x1double]
显示的信息表明该问题无可行解。
所给出的是对约束破坏最小的解。
例4：
求解实例1的生产计划问题
建立数学模型：
设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
maxf=70x1+120x2
s.t9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
将其转换为标准形式：
minf=-70x1-120x2
s.t9x1+4x2≤3600
4x1+5x2≤2000
3x1+10x2≤3000
x1,x2≥0
程序：
f=[-70-120];
A=[94;45;310];
b=[3600;2000;3000];
lb=[00];
ub=[];
[x,fval,exitflag]=linprog（f,A,b,[],[],lb,ub）
maxf=-fval
结果：
x=
200.0000
240.0000
fval=-4.2800e+004
exitflag=1
maxf=4.2800e+004
例5：
求解实例2
建立数学模型：
maxf=0.15x1+0.1x2+0.08x3+0.12x4
s.tx1-x2-x3-x4≤0
x2+x3-x4≥0
x1+x2+x3+x4=1
xj≥0j=1,2,3,4
将其转换为标准形式：
minz=-0.15x1-0.1x2-0.08x3-0.12x4
s.tx1-x2-x3-x4≤0
-x2-x3+x4≤0
x1+x2+x3+x4=1
xj≥0j=1,2,3,4
程序：
f=[-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];
A=[1-1-1-10-1-11];
b=[0;0];
Aeq=[1111];
beq=[1];
lb=ze
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ros（4,1）;
[x,fval,exitflag]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb）
f=-fval
结果：
x=
0.5000
0.2500
0.0000
0.2500
fval=-0.1300
exitflag=1
f=0.1300
即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0,25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达13%。
过程正常收敛。
例6：
求解实例3
建立数学模型：
设aij为由工厂i运到市场j的费用，xij是由工厂i运到市场j的箱数。
bi是工厂i的产量，dj是市场j的需求量。
b=（604050）Td=（20353334）T
s.t
xij≥0
程序：
A=[2132;1321;3411];
f=A（:
）;
B=[100100100100
010010010010
001001001001];
D=[111000000000
000111000000
000000111000
000000000111];
b=[60;40;50];
d=[20;35;33;34];
lb=zeros（12,1）;
[x,fval,exitflag]=linprog（f,B,b,D,d,lb）
结果：
x=
0.0000
20.0000
0.0000
35.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
33.0000
0.0000
18.4682
15.5318
fval=
122.0000
exitflag=1
即运输方案为：
甲市场的货由B厂送20箱；乙市场的货由A厂送35箱；丙商场的货由C厂送33箱；丁市场的货由B厂送18箱，再由C厂送16箱。
最低总运费为：
122元。
§2非线性规划模型
一．非线性规划课题
实例1表面积为36平方米的最大长方体体积。
建立数学模型：
设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积。
maxf=xy（36-2xy）/2（x+y）
实例2投资决策问题
某公司准备用5000万元用于A、B两个项目的投资，设x1、x2分别表示配给项目A、B的投资。
预计项目A、B的年收益分别为20%和16%。
同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+（x1+x2）2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。
建立数学模型：
maxf=20x1+16x2-λ[2x12+x22+（x1+x2）2]
s.tx1+x2≤5000
x1≥0,x2≥0
目标函数中的λ≥0是权重系数。
由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。
非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。
实例1为无约束问题，实例2为有约束问题。
二．无约束非线性规划问题：
求解无约束最优化问题的方法主要有两类：
直接搜索法（Searchmethod）和梯度法（Gradientmethod）.
1．fminunc函数
调用格式：
x=fminunc（fun,x0）
x=fminunc（fun,x0,options）
x=fminunc（fun,x0,options,P1,P2）
[x,fval]=fminunc（…）
[x,fval,exitflag]=fminunc（…）
[x,fval,exitflag,output]=fminunc（…）
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc（…）
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（…）
说明：
fun为需最小化的目标函数，x0为给定的搜索的初始点。
options指定优化参数。
返回的x为最优解向量；fval为x处的目标函数值；exitflag描述函数的输出条件；output返回优化信息；grad返回目标函数在x处的梯度。
Hessian返回在x处目标函数的Hessian矩阵信
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息。
例1：
求
程序：
编辑ff1.m文件
functionf=ff1（x）
f=8*x
（1）-4*x
（2）+x
（1）^2+3*x
（2）^2;
通过绘图确定一个初始点：
[x,y]=meshgrid（-10:
.5:
10）;
z=8*x-4*y+x.^2+3*y.^2;
surf（x,y,z）
选初始点：
x0=（0,0）
x0=[0,0];
[x,fval,exitflag]=fminunc（@ff1,x0）
结果：
x=
-4.00000.6667
fval=
-17.3333
exitflag=
1
例2：
程序：
编辑ff2.m文件：
functionf=ff2（x）
f=4*x
（1）^2+5*x
（1）*x
（2）+2*x
（2）^2;
取初始点：
x0=（1,1）
x0=[1,1];
[x,fval,exitflag]=fminunc（@ff2,x0）
结果：
x=
1.0e-007*
-0.17210.1896
fval=
2.7239e-016
exitflag=
1
例3：
将上例用提供的梯度g最小化函数进行优化计算。
修改M文件为：
function[f,g]=ff3（x）
f=4*x
（1）^2+5*x
（1）*x
（2）+2*x
（2）^2;
ifnargut>1
g
（1）=8*x
（1）+5*x
（2）;
g
（2）=5*x
（1）+4*x
（2）;
end
通过下面将优化选项结构options.GradObj设置为’on’来得到梯度值。
options=optimset（‘Gradobj’,’on’）;
x0=[1,1];
[x,fval,exitflag]=fminunc（@ff3,x0,options）
结果：
x=
1.0e-015*
-0.2220-0.2220
fval=
5.4234e-031
exitflag=
1
2．minsearch函数
调用格式：
x=fminsearch（fun,x0）
x=fminsearch（fun,x0,options）
x=fminsearch（fun,x0,options,P1,P2）
[x,fval]=fminsearch（…）
[x,fval,exitflag]=fminsearch（…）
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（…）
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminsearch（…）
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminsearch（…）
说明：
参数及返回变量同上一函数。
对求解二次以上的问题，fminsearch函数比fminunc函数有效。
3．多元非线性最小二乘问题：
非线线性最小二乘问题的数学模型为：
其中L为常数。
调用格式：
x=lsqnonlin（fun,x0）
x=lsqnonlin（fun,x0,lb,ub）
x=lsqnonlin（fun,x0,options）
x=lsqnonlin（fun,x0,options,P1,P2）
[x,resnorm]=lsqnonlin（…）
[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonlin（…）
[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqnonlin（…）
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqnonlin（…）
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqnonlin（…）
说明：
x返回解向量；resnorm返回x处残差的平方范数值：
sum（fun（x）.^2）；residual返回x处的残差值fun（x）；lambda返回包含x处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian返回解x处的fun函数的雅可比矩阵。
lsqnonlin默认时选择大型优化算法。
Lsqnonlin通过将options.LargeScale设置为’off’来作中型优化算法。
其采用一维搜索法。
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例4．求minf=4（x2-x1）2+（x2-4）2，选择初始点x0（1,1）
程序：
f='4*（x
（2）-x
（1））^2+（x
（2）-4）^2'
[x,reshorm]=lsqnonlin（f,[1,1]）
结果：
x=
3.98963.9912
reshorm=
5.0037e-009
例5：
求，选择初始点x0（0.2,0.3）
求解：
先编辑ff5.m文件：
functionf=ff5（x）
k=1:
10;
f=2+2*k-exp（k*x
（1））-exp（k*x
（2））;
然后作程序：
x0=[0.2,0.3];
[x,resnorm]=lsqnonlin（@ff5,x0）
结果：
x=
0.25780.2578
resnorm=
124.3622
二．有约束非线性规划问题：
数学模型：
minF（x）
s.tGi（x）≤0i=1,…,m
Gj（x）=0j=m+1,…,n
xl≤x≤xu
其中：
F（x）为多元实值函数，G（x）为向量值函数，
在有约束非线性规划问题中，通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求并作为迭代过程的基础。
其基于K-T方程解的方法。
它的K-T方程可表达为：
方程第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消。
由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子λi来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异。
调用格式:
x=fmincon（f,x0,A,b）
x=fmincon（f,x0,A,b,Aeq,beq）
x=fmincon（f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=fmincon（f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon）
x=fmincon（f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）
[x,fval]=fmincon（…）
[x,fval,exitflag]=fmincon（…）
[x,fval,exitflag,output]=fmincon（…）
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon（…）
说明：
x=fmincon（f,x0,A,b）返回值x为最优解向量。
其中：
x0为初始点。
A,b为不等式约束的系数矩阵和右端列向量。
x=fmincon（f,x0,A,b,Aeq,beq）作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则令A=[]、b=[]。
x=fmincon（f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）中lb,ub为变量x的下界和上界；nonlcon=@fun,由M文件fun.m给定非线性不等式约束c（x）≤0和等式约束g（x）=0；options为指定优化参数进行最小化。
例6：
求解：
min100（x2-x12）2+（1-x1）2
s.tx1≤2;
x2≤2
程序：
首先建立ff6.m文件：
functionf=ff6（x）
f=100*（x
（2）-
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