与名师对话文等差数列及其前n项和.docx

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与名师对话文等差数列及其前n项和

第二节　等差数列及其前n项和

高考概览：

1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．

[知识梳理]

1．等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d（常数）（n∈N*，n≥2）或an＋1－an＝d（常数）（n∈N*）．

（2）等差中项

若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.

2．等差数列的有关公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d（n∈N*）．

（2）等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝（n∈N*）．

3．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．

（6）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

[辨识巧记]

1．两个重要技巧

（1）若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.

（2）若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

2．三个必备结论

（1）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S偶－S奇＝nd，＝.

（2）若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，

则①S2n＋1＝（2n＋1）an＋1；②＝.

（3）在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　）

（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．（　　）

（3）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．（　　）

（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）×

2．（2019·云南大理统测）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45，那么a5等于（　　）

A．4B．5C．9D．18

[解析]　根据等差数列的性质可知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选C.

[答案]　C

3．（2019·安徽皖西南十校联考）已知等差数列{an}中，a5＝9，且2a3－a2＝6，则a1等于（　　）

A．－2B．－3C．0D．1

[解析]　由2a3－a2＝6得a4＝6，∵a5＝9，∴d＝3，∴a1＝a5－4d＝－3.故选B.

[答案]　B

4．（2018·广东东莞一模）设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为（　　）

A．128B．80C．64D．56

[解析]　在等差数列{an}中，S8＝4（a1＋a8）

＝4（a2＋a7）＝4×（3＋13）＝64.故选C.

[答案]　C

5．（必修5P38例1改编）已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________．

[解析]　a20＝－5＋（20－1）×3＝52.

[答案]　52

考点一　等差数列的基本运算

【例1】　

（1）（2018·福州一模）在等差数列{an}中，若a2＝1，a8＝2a6＋a4，则a5的值是（　　）

A．－5B．－C.D.

（2）（2017·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）

A．1B．2C．4D．8

[思路引导]　→

→

[解析]　

（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2＝1，a8＝2a6＋a4，可得

解得

则数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d

＝－n＋2，

∴a5＝－×5＋2＝－.故选B.

（2）设等差数列{an}的公差为d，

∴∴d＝4，故选C.

[答案]　

（1）B　

（2）C

等差数列运算的解题思路

由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．

[对点训练]

1．（2019·山东聊城期末）已知{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，若a2m＝15，则m＝（　　）

A．4B．6C．7D．8

[解析]　S5＝5a1＋×2＝25，解得a1＝1.

所以a2m＝a1＋（2m－1）×2＝1＋4m－2＝15，解得m＝4.故选A.

[答案]　A

2．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）

A．100B．99C．98D．97

[解析]　设{an}的首项为a1，公差为d，则S9＝9a1＋36d＝9（a1＋4d）＝27，∴a1＋4d＝3.又∵a10＝a1＋9d＝8，∴a1＝－1，d＝1.∴a100＝a1＋99d＝98.故选C.

[答案]　C

考点二　等差数列的性质

数列的性质是解决数列问题的基础，解法不同，求解的运算量也不同，养成“多思、少算”的习惯，注重“优化解题”的原则．

常见的命题角度有：

（1）等差数列项的性质及应用；

（2）等差数列和的性质及应用．

角度1：

等差数列项的性质及应用

【例2－1】　

（1）（2019·德阳模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝（　　）

A．52B．78C．104D．208

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.

[解析]　

（1）∵a2＋a7＋a12＝24，∴3a7＝24，即a7＝8，

∴S13＝＝13a7＝104，故选C.

（2）∵S9＝＝9a5，

S5＝＝5a3，

∴＝＝9.

[答案]　

（1）C　

（2）9

[拓展探究]　若本例

（2）改为：

“等差数列{an}和{bn}的前n项式和分别为Sn和Tn，且＝”，则＝________.

[解析]　由S13＝13a7，T13＝13b7，得＝＝＝.

[答案]　

角度2：

等差数列和的性质及应用

【例2－2】　

（1）已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（　　）

A．10B．20C．30D．40

（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

[解析]　

（1）设该数列有2n项，

S偶－S奇＝nd，得2n＝25－15＝10，

故该数列的项数为10，故选A.

（2）∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，

∴2（S20－S10）＝S10＋S30－S20，

∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.

[答案]　

（1）A　

（2）60

[拓展探究]　若本例

（2）中的条件不变，则S100＝________.

[解析]　∵S10＝10，S20－S10＝20，且S10，S20－S10，S30－S20…成等差数列，

∴S100可转化为以10为首项，10为公差的等差数列的前10项和．

∴S100＝10×10＋×10＝550.

[答案]　550

等差数列的性质的3个应用规律

（1）等差数列项的性质的运用，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*），只有当序号之和相等、项数相同时才成立．

（2）等差数列前n项和的性质要注意等差数列“片断和”的整体利用．

（3）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系：

＝.

[对点训练]

1．（2019·洛阳市高三第一次统一考试）等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于（　　）

A．1B．2C．9D．10

[解析]　依题意得（a1＋a10）2－2a1a10＝（a5＋a6）2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10＝10，又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1

[答案]　A

2．（2018·江苏南京、盐城一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．

[解析]　∵{an}的前2017项中的奇数项和为2018，即（a1＋a2017）＝2018，∴a1＋a2017＝4，∴S2017＝

（a1＋a2017）＝4034.

[答案]　4034

考点三　等差数列的判定与证明

【例3】　（2018·德州调研）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2），a1＝.

（1）求证：

成等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

[思路引导]　

（1）→

→

（2）→→→→

[解]　

（1）证明：

当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，

又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．

（2）由

（1）可得＝2n，∴Sn＝，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－

＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式．

故an＝

等差数列的判定与证明方法

[对点训练]

（2019·宁夏石嘴山三中第三次适应性考试）设数列{an}满足当n>1时，an＝，且a1＝.

（1）求证：

数列为等差数列．

（2）a1a2是否是数列{an}中的项？

如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．

[解]　

（1）证明：

根据题意a1＝及递推关系得an≠0.

因为an＝，

取倒数得＝＋4，即－＝4（n>1）．

所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．

（2）由

（1）得＝5＋4（n－1）＝4n＋1，an＝.

又a1a2＝×＝＝，解得n＝11.

所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．

考点四　等差数列前n项和的最值问题

【例4】　

（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）

A．6B．7C．8D．9

（2）已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为________．

[思路引导]　

（1）解法一：

→

解法二：

→→

（2）→→

[解析]　

（1）解法一：

设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×（－11）＋8d＝－6，解得d＝2，所以Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，所以当n＝6时，Sn取最小值．故选A.

解法二：

由an＝2n－13知，n≤6时，an<0；n≥7时，an>0，故S6最小．故选A.

（2）∵<－1，且Sn有最大值，

∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，

∴S19＝＝19·a10>0，

S20＝＝10（a10＋a11）<0，

故使得Sn>0的n的最大值为19.

[答案]　

（1）A　

（2）19

求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的2种方法

方法一：

直接求出Sn的表达式，从二次函数的角度考虑，注意n∈N*，Sn在n最靠近二次函数图象对称轴的整数处取得最值．

方法二：

求出通项公式an，若a1>0且d<0，则Sn有最大值，是所有正数项的和，令an>0，即可求出所有正数项，从而解决问题；如果a1<0且d>0，则Sn有最小值，是所有负数项的和，令an<0，即可求出所有负数项，从而解决问题．

[对点训练]

1．（2019·浙江绍兴二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1>0,3a8＝5a13，则Sn中最大的是（　　）

A．S10B．S11C．S20D．S21

[解析]　由{an}为等差数列，所以设an＝a1＋（n－1）d.由3a8＝5a13，得2a1＋39d＝0，即a20＋a21＝0.又a1>0，所以a20>0，a21<0，即S20最大．故选C.

[答案]　C

2．（2019·湖南郴州二模）在等差数列{an}中，a1＝3，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝6时，Sn取得最大值，则d的取值范围为________．

[解析]　由题意知d<0且即

解得－

[答案]　

课后跟踪训练（三十四）

基础巩固练

一、选择题

1．（2018·全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　）

A．－12B．－10C．10D．12

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d＝6＋3d，S2＝2a1＋d＝4＋d，S4＝4a1＋6d＝8＋6d.

由题知3S3＝S2＋S4，

∴3（6＋3d）＝4＋d＋8＋6d.

解得d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.

故选B.

[答案]　B

2．（2019·西藏拉萨模拟考试）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为（　　）

A．2B．3C．4D.

[解析]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝8，S6＝6a1＋15d＝54，解得a1＝4，d＝2.故选A.

[答案]　A

3．（2018·吉林月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（　　）

A．12B．8C．20D．16

[解析]　∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝8，S8－S4＝12，∴S12－S8＝16，∴S16－S12＝20，即a13＋a14＋a15＋a16＝20.故选C.

[答案]　C

4．（2019·江西抚州质量检测）已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若＝，则＝（　　）

A．4B．2C.D.

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则＝，可得a1＝d，故＝＝＝.故选D.

[答案]　D

5．（2018·天津滨海新区期中）在等差数列{an}中，若a1>0，且3a8＝5a13，则Sn中的最大项是（　　）

A．S19B．S20C．S21D．S22

[解析]　设等差数列{an}的公差为d.

解法一：

∵3a8＝5a13，

∴3a1＋21d＝5a1＋60d，∴a1＝－d>0，∴d<0，

∴Sn＝na1＋n（n－1）d＝n2－20nd，

∴当n＝20时，Sn取最大值．故选B.

解法二：

∵3a8＝5a13，∴3a1＋21d＝5a1＋60d，

∴a1＝－d>0，∴d<0，

∴an＝a1＋（n－1）d＝d，由得≤n≤，∴当n＝20时，Sn取最大值．故选B.

[答案]　B

二、填空题

6．（2019·四川南充一诊）数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝________.

[解析]　根据题意得log2an＋1－log2an＝1，所以{log2an}是公差为1的等差数列．因为log2a8＝log2a3＋5＝log210＋log225＝log2320，所以a8＝320.

[答案]　320

7．（2018·云南昆明适应性月考）数列{an}的首项为3，数列{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an（n∈N*），若b1＝－6，b10＝12，则a10＝________.

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则b10＝b1＋9d＝－6＋9d＝12，∴d＝2，则bn＝－6＋2（n－1）＝2n－8，∴a10＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（a10－a9）＝3＋b1＋b2＋…＋b9＝3＋×（－6＋10）＝3＋18＝21.

[答案]　21

8．（2019·山东烟台模拟）在等差数列{an}中，若a1<0，Sn为其前n项之和，且S7＝S17，则Sn为最小时n的值为________．

[解析]　解法一：

由S7＝S17，知a8＋a9＋…＋a17＝0，根据等差数列的性质，a8＋a17＝a9＋a16＝…＝a12＋a13，因此a12＋a13＝0，又因为a1<0，从而a12<0，a13>0，故当Sn为最小时n为12.

解法二：

∵{an}是等差数列，Sn为n的二次函数，故Sn在对称轴处取得最值．

∵S7＝S17，∴n＝＝12时，Sn最小．

[答案]　12

三、解答题

9．（2018·辽宁凌源月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S3＝－6.

（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.

（2）是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？

若存在，求出n，若不存在，请说明理由．

[解]　

（1）设数列{an}的公差为d.

则解得

所以an＝4－6（n－1）＝10－6n，Sn＝na1＋d＝7n－3n2.

（2）由

（1）知，Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7（n＋3）－3（n＋3）2＝－6n2－4n－6，

2（Sn＋2＋2n）＝2（－3n2－5n＋2＋2n）＝－6n2－6n＋4.

若存在n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，

则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，

所以存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．

10．数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

[解]　

（1）证明：

由an＋2＝2an＋1－an＋2，得

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由

（1）得bn＝1＋2（n－1），

即an＋1－an＝2n－1.

于是（ak＋1－ak）＝（2k－1），所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.

能力提升练

11．（2019·山西省级联考）已知Sn为等差数列{an}的前n项和．给出下列两个命题：

命题p：

若S3，S9都大于9，则S6大于11；

命题q：

若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9.

那么，下列命题为真命题的是（　　）

A．綈qB．（綈p）∧（綈q）

C．p∧qD．p∧（綈q）

[解析]　由等差数列的性质知2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），则S6＝>＝12，命题p为真，若S3，S9都小于9，则S6＝<＝12，

因此命题q为真，所以p∧q为真．故选C.

[答案]　C

12．（2019·安徽淮南一模）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝（　　）

A.B.C.D.

[解析]　∵等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，

等差数列的前n项和为Sn＝.

∴＝＝，

∴＋＝＋

＝＋＝＝

＝＝＝＝.

故选A.

[答案]　A

13．（2019·江西九江一模）等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝（m≠n），则数列{an}的公差d＝________.

[解析]　∵am＝＋（m－1）d＝，an＝＋（n－1）d＝，∴（m－n）d＝－，∴d＝，∴am＝＋（m－1）＝，解得＝，即d＝.

[答案]　

14．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．

[解]　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，

故数列{an}为等差数列．

设数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72得，

解得a1＝2，d＝4.

∴an＝4n－2，则bn＝an－30＝2n－31，

令即解得≤n≤，

∵n∈N*，∴n＝15，

即数列{bn}的前15项均为负值，∴T15最小．∵数列{bn}的首项是－29，公差为2，

∴T15＝＝－225，

∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－225.

拓展延伸练

15．（2019·河南洛阳统考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为（　　）

A．6B．7C．12D．13

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.∵a6＋a7＝a3＋a10>0，即2a1＋11d>0，且a6a7<0，a1>0，∴a6>0，a7<0.∴d＝a7－a6<0.又∵a7＝a1＋6d<0，∴2a1＋12d<0.当Sn＝＝>0时，2a1＋（n－1）d>0.

由2a1＋11d>0,2a1＋12d<0知n－1最大为11，即n最大为12.故选C.

[答案]　C

16．（2019·安徽合肥模拟）已知数列{an}是各项为正且首项为1的等差数列，Sn为其前n项和，若数列{}也为等差数列，则的最小值是________．

[解析]　设数列{an}的公差为d（d>0），

即有an＝1＋（n－1）d，Sn＝n＋n（n－1）d，

＝，由于数列{}也为等差数列，

可得1－d＝0，即d＝2，

即有an＝2n－1，Sn＝n2，

则＝＝≥·2·＝2，当且仅当n＝2取得等号，

由于n为正整数，即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得.故最小值为.

[答案]