梅涅劳斯Menelaus定理最全word资料.docx
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梅涅劳斯Menelaus定理最全word资料
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。
或：
设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA）=1
证明一：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：
（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=（AG/BD）×（BD/DC）×（DC/AG）=1
证明二：
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立：
若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯（Menelaus）定理
证明三：
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
所以AD：
DB=AA'：
BB'，BE：
EC=BB'：
CC'，CF：
FA=CC'：
AA'
所以（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1
证明四：
连接BF。
（AD：
DB）·（BE：
EC）·（CF:
FA）
=（S△ADF：
S△BDF）·（S△BEF：
S△CEF）·（S△BCF：
S△BAF）
=（S△ADF：
S△BDF）·（S△BDF：
S△CDF）·（S△CDF：
S△ADF）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：
若E，F，D三点共线，则
（sin∠ACF/sin∠FCB）（sin∠BAD/sin∠DAC）（sin∠CBA/sin∠ABE）=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB）（sin∠BOD/sin∠DOC）（sin∠COA/sin∠AOE）=1。
（O不与点A、B、C重合）
[编辑本段]
记忆
ABC为三个顶点，DEF为三个分点
（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1
（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
空间感好的人可以这么记：
（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
[编辑本段]
实际应用
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。
我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。
我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。
只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。
另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案①——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：
FB）*（BD：
DC）*（CE：
EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
方案②——可以简记为：
A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
（AB：
BF）*（FD：
DE）*（EC：
CA）=1。
从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
方案③——A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
（AC：
CE）*（ED：
DF）*（FB：
BA）=1。
从A出发还有最后一个方案：
方案④——A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（AE：
EC）*（CD：
DB）*（BF：
FA）=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。
当直升机降落在B点时，就会有四项因式。
而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。
公式为四项时，有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。
还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。
那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。
实验三 戴维南定理和诺顿定理的验证
──有源二端网络等效参数的测定
一、实验目的
1.验证戴维南定理和诺顿定理的正确性，加深对该定理的理解。
2.掌握测量有源二端网络等效参数的一般方法。
二、原理说明
1.任何一个线性含源网络，如果仅研究其中一条支路的电压和电流，则可将电路的其余部分看作是一个有源二端网络（或称为含源一端口网络）。
戴维南定理指出：
任何一个线性有源网络，总可以用一个电压源与一个电阻的串联来等效代替，此电压源的电动势Us等于这个有源二端网络的开路电压Uoc，其等效内阻R0等于该网络中所有独立源均置零（理想电压源视为短接，理想电流源视为开路）时的等效电阻。
诺顿定理指出：
任何一个线性有源网络，总可以用一个电流源与一个电阻的并联组合来等效代替，此电流源的电流Is等于这个有源二端网络的短路电流ISC，其等效内阻R0定义同戴维南定理。
Uoc（Us）和R0或者ISC（IS）和R0称为有源二端网络的等效参数。
2.有源二端网络等效参数的测量方法
（1）开路电压、短路电流法测R0
在有源二端网络输出端开路时，用电压表直接测
其输出端的开路电压Uoc，然后再将其输出端短路，
用电流表测其短路电流Isc，则等效内阻为
Uoc
R0＝──
Isc
如果二端网络的内阻很小，若将其输出端口短路图3-1
则易损坏其内部元件，因此不宜用此法。
（2）伏安法测R0
用电压表、电流表测出有源二端网
络的外特性曲线，如图3-1所示。
根据
外特性曲线求出斜率tgφ，则内阻
△U Uoc
R0＝tgφ＝──＝──。
△I Isc
也可以先测量开路电压Uoc，图3-2
再测量电流为额定值IN时的输出
Uoc－UN
端电压值UN，则内阻为R0＝────。
IN
（3）半电压法测R0
如图3-2所示，当负载电压为被测网络开
路电压的一半时，负载电阻（由电阻箱的读数
确定）即为被测有源二端网络的等效内阻值。
（4）零示法测UOC图3-3
在测量具有高内阻有源二端网络的开路电压时，用电压表直接测量会造成较大的误差。
为了消除电压表内阻的影响，往往采用零示测量法，如图3-3所示.。
零示法测量原理是用一低内阻的稳压电源与被测有源二端网络进行比较，当稳压电源的输出电压与有源二端网络的开路电压相等时，电压表的读数将为“0”。
然后将电路断开，测量此时稳压电源的输出电压，即为被测有源二端网络的开路电压。
三、实验设备
序号
名称
型号与规格
数量
备注
1
可调直流稳压电源
0～30V
1
DG04
2
可调直流恒流源
0～500mA
1
DG04
3
直流数字电压表
0～200V
1
D31
4
直流数字毫安表
0～200mA
1
D31
5
万用表
1
自备
6
可调电阻箱
0～99999.9Ω
1
DG09
7
电位器
1K/2W
1
DG09
8
戴维南定理实验电路板
1
DG05
四、实验内容
被测有源二端网络如图3-4（a）。
（a）图3-4（b）
Uoc
（v）
Isc
（mA）
R0=Uoc/Isc
（Ω）
1.用开路电压、短路电流法测定戴维南等效
电路的Uoc、R0和诺顿等效电路的ISC、R0。
按
图3-4（a）接入稳压电源Us=12V和恒流源Is=10mA，
不接入RL。
测出UOc和Isc,并计算出R0。
（测UOC
时，不接入mA表。
）
2.负载实验
按图3-4（a）接入RL。
改变RL阻值，测量有源二端网络的外特性曲线。
U（v）
I（mA）
3.验证戴维南定理：
从电阻箱上取得按步骤“1”所得的等效电阻R0之值，然后令其与直流稳压电源（调到步骤“1”时所测得的开路电压Uoc之值）相串联，如图3-4（b）所示，仿照步骤“2”测其外特性，对戴氏定理进行验证。
U（v）
I（mA）
4.验证诺顿定理：
从电阻箱上取得按步骤“1”所得的等效电阻R0之值，然后令其与直流恒流源（调到步骤“1”时所测得的短路电流ISC之值）相并联，如图3-5所示，仿照步骤“2”测其外特性，对诺顿定理进行验证。
U（v）
I（mA）
5.有源二端网络等效电阻（又称入端电阻）的直接测量法。
见图3-4（a）。
将被测有源网络内的所有独立源置零（去掉电流源IS和电压源US，并在原电压源所接的两点用一根短路导线相连），然后用伏安法或者直接用万用表的欧姆档去测定负载RL开路时A、B两点间的电阻，此即为被测网络的等效内阻R0，或称网络的入端电阻Ri。
6.用半电压法和零示法测量被测网络的等效内阻R0及其开路电压Uoc。
线路及数据表格自拟。
五、实验注意事项
1.测量时应注意电流表量程的更换。
2.步骤“5”中，电压源置零时不可将
稳压源短接。
3.用万表直接测R0时，网络内的独立
源必须先置零，以免损坏万用表。
其次，欧
姆档必须经调零后再进行测量。
图3-5
4.用零示法测量UOC时，应先将稳压电源的输出调至接近于UOC，再按图3-3测量。
5.改接线路时，要关掉电源。
六、预习思考题
1.在求戴维南或诺顿等效电路时，作短路试验，测ISC的条件是什么？
在本实验中可否直接作负载短路实验？
请实验前对线路3-4（a）预先作好计算，以便调整实验线路及测量时可准确地选取电表的量程。
2.说明测有源二端网络开路电压及等效内阻的几种方法，并比较其优缺点。
七、实验报告
1.根据步骤2、3、4，分别绘出曲线，验证戴维南定理和诺顿定理的正确性，并分析产生误差的原因。
2.根据步骤1、5、6的几种方法测得的Uoc与R0与预习时电路计算的结果作比较，你能得出什么结论。
3.归纳、总结实验结果。
4.心得体会及其他。
留数定理的应用
应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。
儒歇定理设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。
设函数f（z）及g（z）在D及C所组成的闭区域
上解析，并且在C上，|f（z）|<|g（z）|，那么在D上，f（z）及f（z）+g（z）的零点的个数相同。
注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。
注解2、选择f（z）及g（z）的原则是，f（z）在内的零点个数好计算。
例1、求方程
在|z|<1内根的个数。
解：
令
由于当|z|=1时，我们有
而
已给方程在|z|<1内根的个数与
在|z|<1内根的个数相同，即5个。
例2、如果a>e，求证方程
在单位圆内有n个根。
证明：
令
由于当
时，
在|z|<1内的零点的个数与
相同，即n个，因此方程
在单位圆内有n个根。
课 题菱形的判定定理
学习目标
1、能说出菱形的定义和两个判定定理．
2、能够根据菱形的定义和判定定理进行相关的论证和计算．
3、经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神．
学习重点探究菱形的判定方法
学习难点利用菱形的判定方法进行论证和计算
学习过程
一、学习准备
1、菱形的定义：
叫做菱形
2、菱形的性质
边：
（1）菱形的两组对边
（2）菱形的四条边
角：
（1）菱形的两组对角分别
（2）菱形的邻角
对角线：
（1）菱形的两条对角线互相
（2）每一条对角线平分
二、积极探究
1、猜想：
有人说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
2、探究判定方法
（1）探究一：
如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？
根据什么？
判定方法一：
（2）探究二：
一个四边形的四条边之间具有怎样的大小关系时它是菱形？
判定方法二：
（3）探究三：
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
判定方法三：
3、例题选讲
例1：
如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB,AE=5.
（1）判断四边形AEDF的形状？
（2）它的周长为多少？
例2：
如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
（1）AC、BD互相垂直吗？
为什么？
（2）平行四边形ABCD是菱形吗？
为什么？
（3）平行四边形ABCD的面积。
三、课堂练习
已知：
如图,四边形ABCD是平行四边形,AC为对角线,且∠DAC=∠BAC,
求证：
平行四边形ABCD是菱形.
四、课堂小结
请说出菱形的判断方法有哪些？
五、反思拓展：
思考：
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
六、课后作业
1、同步检测
2、做一做
设计一个由菱形组成的花边图案，花边的长为15厘米，宽为4厘米。
这个花边图案由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形的对角线的交点是后一个菱形的一个顶点
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