北京市中考数学试题及答案.docx
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北京市中考数学试题及答案
2017---【北京市】中考数学试题及答案
2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷
学校姓名准考证号
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题〔本题共30分，每小题3分〕第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1.如图所示，点P到直线L的距离是〔〕
A.线段PA的长度B.线段PB的长度
C.线段PC的长度D.线段PD的长度
2.若代数式
有意义，则实数X的取值范围是〔〕
A.X=0B.X=4C.X≠0D.X≠4
3.右图是某个几何体的展开图，该几何体是〔〕
A.三棱柱B.圆锥C.四棱柱D.圆柱
4.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是〔〕
A.a＞─4B.bd＞0
C.|a|＞|d|D.b+c＞0
5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔〕
6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是〔〕
A.6B.12C.16D.18
7.如果a2+2a─1=0，那么代数式
的值是〔〕
A.─3B.─1C.1D.3
8下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．
（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）
根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是〔〕
（A）与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
（B）2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
（C）2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
（D）2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9.小苏何小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑，在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y
〔单位：
m〕与跑步时间t〔单位：
s〕的对应关系如下图所示。
下列叙述正确的是〔〕
A.两人从走路线同时出发，同时到达终点；
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度；
C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程；
D.小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇两次。
10.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果。
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以
估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620。
其中合理的是〔〕
（A）①（B）②（C）①②（D）①③
二、填空题〔本题共18分，每小题3分〕
11.写出一个比3大且比4小的无理数。
12.某活动小组买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3
元，求篮球的单价和足球的单价。
设篮球的单价为X元，足球的单价为y元。
依题意，可列方
程组为。
13.如图，在ΔABC中，M,N分别为AC,BC的中点，
若SΔCMN=1，则S四边形ABNM=。
14.如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上的点，弧AD=弧CD，
若∠CAB=40°，则∠CAD=°
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作
是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）
得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：
16.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程．
已知：
Rt△ABC，∠C=90°．
求作：
Rt△ABC的外接圆.
作法：
如图，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于
AB的长为半径作弧，
两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．
⊙O即为所求作的圆．
请回答：
该尺规作图的依据是:
．
三、解答题〔本题共72分，第17-19题，每小题5分，第20题3分，第21-24题，每小题5分，
第25、26题，每题6分，第27、28题，每题7分，第29题8分〕
17.计算：
4cos30°+〔1─
〕0─
+|─2|
18.解不等式组：
19.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，
求证：
AD=BC
20.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行
于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用
“出
入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证。
（以上材料来源于《古证复原的原则》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据上图完成这个推论的证明过程。
证明：
S矩形NFGD=SΔADC─〔SΔANF+SΔFGC〕,
S矩形EBMF=SΔABC─〔+〕
易知，SΔADC=SΔABC,=,=,
可得：
S矩形NFGD=S矩形EBMF
21.已知关于X的一元二次方程X2─〔K+3〕X+2K+2=0
〔1〕求证：
方程总有两个实数根。
〔2〕若方程的一个根小于1，求K的取值范围。
22.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC,AD=2BC,
∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE.
〔1〕求证：
四边形BCDE为菱形。
〔2〕连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1，求AC的长。
23.如图，在平面直角坐标系XOy中，函数y=
〔X＞0〕的图像与直线y=X─2交于点A〔3，m〕.
〔1〕求K,m的值。
〔2〕已知点P〔n,n〕〔n＞0〕，过点P作平行于X轴的直线，交直线y=X─2于点M.
过点P作平行于y轴的直线，交函数y=
〔X＞0〕的图像于点N
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由。
※②若PN≥PM,结合函数的图象，直接写出n的取值范围。
.
24.如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线
交CE的延长线于点D.
〔1〕求证：
DB=DE
〔2〕若AB=12，BD=5,求⊙O的半径。
25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样
调查，过程如下，请补充完整．
收集数据:
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）下：
甲:
78867481757687707590
75798170748086698377
乙:
93738881728194837783
80817081737882807040
整理、描述数据:
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
部门
40≤X≤49
50≤X≤59
60≤X≤69
70≤X≤79
80≤X≤89
90≤X≤100
甲
0
0
1
11
7
1
乙
（说明：
成绩80分及以上为生产技能优秀，70~79分为生产技能良好，60~69分为生产技能合格，
60分以下为生产技能不合格）
分析数据:
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门
平均数
中位数
众数
甲
78.3
77.5
75
乙
78
80.5
81
得出结论:
a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为；
b．可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为．
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
26.如图，P是AB弧所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB弧于点M，连接MB，过点P
作PN⊥MB于点N.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为Xcm，P，N两点间的距离为ycm。
（当点P与点B重合时，y的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量X的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了X与y的几组值，
如下表：
X/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
0.9
0
（说明：
补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为______cm。
27.在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=X2─4X+3与X轴交于点A,B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C。
〔1〕求直线BC的表达式；
〔2〕垂直于y轴的直线L与抛物线交于点P〔X1,y1〕,Q〔X2,y2〕,与直线BC交于点N〔X3,y3〕,
若X1＜X2＜X3，结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围。
28.在等腰直角ΔABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点〔与点B,C不重合〕，连接AP,延长
BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M。
〔1〕若∠PAC=α,求∠AMQ的大小〔用含α的式子表示〕
〔2〕用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明。
29.对于平面直角坐标系XOy中的点P和图形M，给出如下定义：
若在图形M上存在一点Q，
使得P,Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点。
〔1〕当⊙O的半径为2时，
①在点P1〔
0〕，P2
P3〔
，0〕中，⊙O的关联点是
②点P在直线y=─X上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围。
〔2〕⊙C的圆心在X轴上，半径为2，直线y=─X+1与X轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB
上的所有点都是⊙O的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围。
2017北京中考数学试题参考答案及评分标准
一、选择题〔本题共30分，每小题3分〕
1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.C8.D9.D10.B
二、填空题〔本题共18分，每小题3分〕
11.
〔答案不唯一〕12.
13.3.14.25
15.先将ΔOCD向左平移2个单位，再以点C为旋转中心，将ΔOCD顺时针旋转90°〔答案不唯一〕
16.①直径的中点是圆心，②直角三角形的斜边中线等于斜边的一半
③直径所对的圆周角是直角，④到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆
三、解答题〔本题共72分，第17-19题，每小题5分，第20题3分，第21-24题，每小题5分，
第25、26题，每题6分，第27、28题，每题7分，第29题8分〕
17.计算：
4cos30°+〔1─
〕0─
+|─2|
解：
原式=4×
+1─2
+2=2
+1─2
+2=1+2=3--------------------5分
18.解不等式组：
解：
由2〔X+1〕＞5X─72X+2＞5X─7─3X＞─9解得X＜3----2分
由
＞2XX+10＞6X─5X＞─10解得X＜2----4分
∴不等式组的解集为X＜2-----------------5分
19.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，
求证：
AD=BC
证明：
∵AB=AC,∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=
=72°
∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=36°∴∠ABD=∠A∴AD=BD
∵∠BDC=180°─∠CBD─∠C=180°─36°─72°=72°∴∠BDC=∠C∴BD=BC
∴AD=BC-----------------5分
20.〔3分〕〕①SΔAEF②SΔFMC③SΔAEF④SΔANF⑤SΔFMC⑥SΔFCG
21.已知关于X的一元二次方程X2─〔K+3〕X+2K+2=0
〔1〕求证：
方程总有两个实数根。
〔2〕若方程的一个根小于1，求K的取值范围。
解：
〔1〕Δ=[─〔K+3〕]2─4〔2K+2〕=K2+6K+9─8K─8=K2─2K+1=〔K─1〕2
∵〔K─1〕2≥0即Δ≥0∴方程总有两个实数根。
--------------------2分
〔2〕X=
X1=
X2=
∵方程的一个根小于1，∴X1=K+1＜1∴K＜0------------------5分
22.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC,AD=2BC,
∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE.
〔1〕求证：
四边形BCDE为菱形。
〔2〕连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1，求AC的长。
解：
〔1〕证明：
∵∠ABD=90°，E为AD的中点，
∴AE=DE=BE-------------------------------直角三角形斜边中线定理
∵AD∥BC,∴ED∥BC∵AD=2BC,∴BC=DE=BE
∴四边形BCDE为平行四边形--------一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
∵BC=BE∴平行四边形BCDE为菱形。
-------两个邻边相等的平行四边形是菱形
〔2〕连接EC，∵AD∥BC,∴AE∥BC,
∵E为AD的中点，AD=2BC,∴AE=BC∴四边形ABCE为平行四边形
∵AC平分∠BADAD∥BC∴∠BAC=∠EAC=∠ACB∴AB=BC
∴平行四边形ABCE为菱形∵BC=BE∴AB=AE=BE∴ΔABE为等边三角形，
∴∠BAE=60°∠ABE=60°AC⊥BE∴∠BAC=30°
∵BC=1∴AB=1设AC与BE交于点M∴AM=
∴AC=2AM=
---------------------------5分
23.如图，在平面直角坐标系XOy中，函数y=
〔X＞0〕的图像与直线y=X─2交于点A〔3，m〕.
〔1〕求K,m的值。
〔2〕已知点P〔n,n〕〔n＞0〕，过点P作平行于X轴的直线，交直线y=X─2于点M.
过点P作平行于y轴的直线，交函数y=
〔X＞0〕的图像于点N
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由。
※②若PN≥PM,结合函数的图象，直接写出n的取值范围。
.
解：
〔1〕据题意，点A〔3，m〕在直线y=X─2上，
∴m=3─2=1∴A〔3，1〕
又∵点A〔3，1〕在函数y=
〔X＞0〕的图像上，∴K=3
〔2〕①当n=1时，点P〔1,1〕，
∵PM∥X轴，∴My=Py=1∴MX=3M〔3，1〕
∵PN∥y轴∴NX=PX=1∴Ny=3N〔1，3〕∴PM=PN=3─1=2----------2分
②可知过点P的直线解析式为y=X〔X＞0〕，与直线y=X─2平行，PM=n+2─n=2，
函数y=
〔X＞0〕的解析式为y=
，其与直线y=X的交点的坐标为〔
，
〕
当0＜n＜
时，PN=
─n，PM=2;若PN≥PM,则
─n≥2，解得n≤1
当n≥
时，PN=n─
，PM=2;若PN≥PM,则n─
≥2,解得n≥3
综上，当0＜n≤1或n≥3时，PN≥PM-----------------5分
24.如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切
线交CE的延长线于点D.
〔1〕求证：
DB=DE〔2〕若AB=12，BD=5,求⊙O的半径。
解：
〔1〕∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA
∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°∴∠OBA+∠DBE=90°
∵EC⊥OA∴∠CAE+∠CEA=90°∴∠CEA=∠DBE
∵∠CEA=∠BED∴∠BED=∠DBE∴DE=DB----------2分
〔2〕连接OE,作DF⊥AB于F，∵E是AB的中点，∴OE⊥AB∵AB=12∴AE=BE=6
∵DE=DB∴EF=BF=3∵BD=5∴DF=4∵∠A=∠EDFAE=6∴AC=
AE=
∵EC⊥OAOE⊥AE,根据射影定理，AE2=AC·OA∴OA=7.5--------------5分
25.40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100
甲0011171
乙1007102----2分
得出结论:
a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为400×〔12÷20〕=240人；--------------4分
b．可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：
乙部门生产技能优秀的众数为81分，以及平均数均高于甲部门----------6分
26.如图，P是AB弧所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB弧于点M，连接MB，过点P
作PN⊥MB于点N。
已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为Xcm，P，N两点间的距离为ycm。
（当点P与点B重合时，y的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了X与y的几组值，
如下表：
【X=4时，y≈1.6】MB=2
y=PN≈1.627.
X/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
1.6
0.9
0
（说明：
补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为______cm。
解析：
∵AP=X，PN=y。
∴当△PAN为等腰三角形时，根据图形，只有AP=PN即X=y
反应在函数图像上，即函数图像与直线y=X的交点的横坐标，此时，AP=X≈2.2----6分
27.在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=X2─4X+3与X轴交于点A,B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C。
〔1〕求直线BC的表达式；
〔2〕垂直于y轴的直线L与抛物线交于点P〔X1,y1〕,Q〔X2,y2〕,与直线BC交于点N〔X3,y3〕,
若X1＜X2＜X3，结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围。
解：
〔1〕在y=X2─4X+3中，令y=0，
即X2─4X+3=0∴〔X─1〕〔X─3〕=0
解得X1=1，X2=3；------------1分
∵点A在点B的左侧
∴A〔1，0〕，B〔3，0〕
令X=0，则y=3，∴C〔0,3〕---------2分
设直线BC的表达式为y=KX+b
将B〔3，0〕，C〔0,3〕代入，则有：
0=3K+b-----------①3=b----------②
∴K=─1，b=3
∴直线BC的表达式为y=─X+3.------------3分
〔2〕抛物线y=X2─4X+3=〔X─2〕2─1，
∴抛物线的顶点坐标为〔2，─1〕，对称轴为直线X=2；∴
=2
根据题意，当直线L位于X轴下方且在直线y=─1上方时，才有X1＜X2＜X3，
又∵直线L垂直y轴，与y轴交于点C〔0,3〕，
∴y1=y2=y3,∴0＜X1＜2，X2＞2且X1与X2关于X=2对称，
∵
=2∴X1+X2=4
∵直线BC：
y=─X+3与X轴交于点B（3,0），
将y=─1代入y=─X+3.解得X=4.
∵─1＜y3＜0∴3＜X3＜4
∴7＜X1+X2+X3＜8----------------------7分
28.在等腰直角ΔABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点〔与点B,C不重合〕，连接AP,延长
BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M。
〔1〕若∠PAC=α,求∠AMQ的大小〔用含α的式子表示〕
〔2〕用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明。
解：
〔1〕∵等腰直角ΔABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵QH⊥AP
∴∠PAC+∠APC=90°∠PQH+∠APC=90°
∴∠PQH=∠PAC=α
∵∠AMQ是ΔMQB的外角，∴∠AMQ=∠MQB+∠B=α+45°--------------3分
〔2〕∵CP=CQAC⊥QP∴连接AQ,
则有AQ=APCQ=CP
∠CAP=∠CAQ=∠PQH=α
∵∠CAB=45°
∴∠QAM=∠QAC+∠CAB=α+45°
由〔1〕知∠AMQ=α+45°
∴∠QAM=∠AMQ∴QM=QA=PA
过点M作MN⊥BC于N，
在ΔACQ与ΔQNM中，
∠QAC=∠MQN=α∠ACQ=∠QNM=90°QA=QM
∴ΔA
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