人教A版高中数学必修四必修4人教A版.docx
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人教A版高中数学必修四必修4人教A版
高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
数学·必修4（人教A版）
模块综合检测卷
（测试时间：
120分钟 评价分值：
150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设向量a＝（1,0），b＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a－b与b垂直
D．a∥b
解析：
a－b＝，（a－b）·b＝0，所以a－b与b垂直．故选C.
答案：
C
2．点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由三角函数的定义知，Q点的坐标为＝.故选C.
答案：
C
3．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）<）的图象如图所示，则f（0）＝（ ）
A．1B.C.D.
解析：
由图象知A＝1，T＝4＝π，∴ω＝2，把代入函数式中，可得φ＝，∴f（x）＝Asin（ωx＋φ）＝sin，∴f（0）＝sin＝.故选D.
答案：
D
4．（2013·山东卷）将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ）
A.B.C．0D．－
解析：
利用平移规律求得解析式，验证得出答案．
y＝sin（2x＋φ）
Y＝sin＝
sin.
当φ＝时，y＝sin（2x＋π）＝－sin2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin2x，为奇函数．故选B.
答案：
B
5．已知sin（π＋α）＝且α是第三象限的角，则cos（2π－α）的值是（ ）
A．－B．－C．±D.
解析：
sin（π＋α）＝⇒sinα＝－，
又∵α是第三象限的角，
∴cos（2π－α）＝cosα＝－.故选B.
答案：
B
6．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析：
f（x）＝2sinx向左平移得f＝2sin＝g（x），把g（x）图象横坐标伸长到原来的3倍得g＝2sin.故选B.
答案：
B
7．已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角等于（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．90°
解析：
c⊥a，c＝a＋b⇒（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0⇒
a·b＝－1⇒cosa，b＝－⇒a，b
答案：
C
8．函数f（x）＝，x∈（0,2π）的定义域是（ ）
A.B.C.D.
解析：
如下图所示，
∵sinx≥，
∴≤x≤.故选B.
答案：
B
9.（2013·湖北卷）已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1）．D（3,4），则向量A在C方向上的投影为（ ）
A.B.C．－D．－
解析：
首先求出，的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得＝（2,1），＝（5,5），因此在方向上的投影为＝＝.故选A.
答案：
A
10．已知α∈，cosα＝－，则tan等于（ ）
A．7B.C．－D．－7
解析：
因为α∈，cosα＝－，
所以sinα<0，即sinα＝－，tanα＝.
所以tan＝＝＝，故选B.
答案：
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．已知向量m＝（1,3），n＝（2a,1－a），若m⊥n，则a＝________.
解析：
m＝（1,3），n＝（2a,1－a），
m·n＝2a＋3－3a＝3－a＝0，
∴a＝3.
答案：
3
12．已知函数f（x）＝2sin2－cos2x－1，x∈，则f（x）的最小值为________．
解析：
f（x）＝2sin2－cos2x－1
＝1－cos－cos2x－1
＝－cos－cos2x
＝sin2x－cos2x＝2sin，
∵≤x≤，
∴≤2x－≤，
∴≤sin≤1.
∴1≤2sin≤2，
∴1≤f（x）≤2，
∴f（x）的最小值为1.
答案：
1
13．（2014·汕头一模）已知α∈，sinα＝，则tan2α＝________.
答案：
－
14．已知函数f（x）＝sinωx，g（x）＝sin，有下列命题：
①当ω＝2时，f（x）g（x）的最小正周期是；
②当ω＝1时，f（x）＋g（x）的最大值为；
③当ω＝2时，将函数f（x）的图象向左平移可以得到函数g（x）的图象．
其中正确命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
解析：
①ω＝2时，f（x）g（x）＝sin2x·cos2x＝sin4x，
周期T＝＝.故①正确．
②ω＝1时，f（x）＋g（x）＝sinx＋cos2x＝sinx＋1－2sin2x＝－22＋，
∴当sinx＝时，f（x）＋g（x）取最大值.故②正确．
③ω＝2时，将函数f（x）的图象向左平移得到
sin2＝－sin2x，故③不正确．
答案：
①②
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，A（1，－2），B（－3，－4），O为坐标原点．
（1）求·；
解析：
·＝1×（－3）＋（－2）×（－4）＝5.
（2）若点P在直线AB上，且⊥，求的坐标．
解析：
设P（m，n），∵P在AB上，
∴与共线．
＝（4,2），＝（1－m，－2－n），
∴4·（－2－n）－2（1－m）＝0.
即2n－m＋5＝0.①
又∵⊥，
∴（m，n）·（－4，－2）＝0.
∴2m＋n＝0.②
由①②解得m＝1，n＝－2，
∴＝（1，－2）．
16.（本小题满分12分）已知tan＝.
（1）求tanα的值；
解析：
∵tan＝＝，
∴tanα＝－.
（2）求2sin2α－sin（π－α）sin＋sin2的值．
解析：
原式＝2sin2α－sinαcosα＋cos2α
＝＝
＝＝.
17．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝2sin－2cosx.
（1）求函数f（x）的单调增区间；
解析：
f（x）＝2sin－2cosx
＝2sinxcos＋2cosxsin－2cosx
＝sinx－cosx＝2sin.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为－＋2kπ，π＋2kπ（k∈Z）．
（2）若f（x）＝，求cos的值．
解析：
由
（1）知f（x）＝2sin，
即sin＝.
∴cos＝1－2sin2＝.
18．（2013·安徽卷）（本小题满分14分）已知函数f（x）＝4cosωx·sin（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
解析：
f（x）＝2cosωx（sinωx＋cosωx）＝（sin2ωx＋cos2ωx＋1）＝2sin＋.
由＝π⇒ω＝1.
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
解析：
f（x）＝2sin＋，
当x∈时，∈，
令2x＋＝，解得x＝.
∴y＝f（x）在上单调递增，在上单调递减．
19.（2014·广州一模）（本小题满分14分）已知函数f（x）＝sinx＋αcosx的图象经过点.
（1）求实数a的值；
解析：
∵函数f（x）＝sinx＋αcosx的图象经过点，∴f＝0，
即sin＋αcos＝0.
即－＋＝0.解得a＝.
（2）设g（x）＝[f（x）]2－2，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间．
解析：
由
（1）得，
f（x）＝sinx＋cosx＝2
＝2
＝2sin，
∴函数f（x）的最小正周期为2π.
∵函数y＝sinx的单调递增区间为
（k∈Z），
∴当2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
即2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）的单调递增区间为
（k∈Z）．
20．（本小题满分14分）已知向量m＝（sinx，－cosx），n＝（cosθ，－sinθ），其中0<θ<π.函数f（x）＝m·n在x＝π处取最小值．
（1）求θ的值；
解析：
∵f（x）＝m·n＝sinxcosθ＋cosxsinθ＝sin（x＋θ），又∵函数f（x）在x＝π处取最小值，∴sin（π＋θ）＝－1,即sinθ＝1.
又0<θ<π，
∴θ＝.
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若sinB＝2sinA，f（C）＝，求A.
解析：
由
（1）得，f（x）＝sin＝cosx.
∵f（C）＝，
∴cosC＝，
∵0∵A＋B＋C＝π，
∴B＝－A，
代入sinB＝2sinA中，
∴sin＝2sinA，
∴sincosA－cossinA＝2sinA，
∴tanA＝，
∵0
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