几何中的尺规作图法.docx
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几何中的尺规作图法
第七讲尺规作图
尺规作图的基本知识
一、几何作图的含义和意义
含义：
给泄条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不岀图形，故几何作图是存在问题的证明。
意义：
建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背左理的好办法：
学以致用：
为制图学提供理论基础：
培养逻辑思维能力。
二、作图公法
（1）通过两个已知点可作一直线；
（2）已知圆心和半径作圆：
（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法
我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。
它可以在以后的作图中直接应用。
下而列举一些：
（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指泄一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已知线段的垂直平分线。
（8）作已知角的平分线。
（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以立线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段a.b.c的第四比例项。
（21）作已知两线段匕“的比例中项。
（22）已知线段“丄作一线段为x=yla2+b2.或作一线段为x=yjcr-b1（a>b）.
四、解作图题的步骤
1分析：
遇到不是一目了然的作图题，常假左符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。
这个过程就是分析，是解题重要的一步。
2作法：
利用已知作图题时，只需说明淸楚，不必一一累述。
3证明：
证所作图确实具有所设条件。
4讨论：
作图题解的有无，多与寡，泄与不左，决泄于已知条件的大小、位置及相互关系。
尺规作图法举例
一、交轨法
一个作图题的解决，往往归结到某一点的确立，而一点的确定，须用两个条件q和C-如果能求出合于条件G的轨迹F,和合于条件c2的轨迹f2,那么片和f2的交点同时满足G和c?
这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。
决左某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的。
例1在已知弧AmB±求一点M,使弦的比为MA:
=
分析：
设点M已求到，满足MA:
MB=p:
q,则点M既在弧AmBk,又在一个阿氏圆上,内分、外分AB于C、D,使AC:
CB=AD:
BD=p:
q,阿氏圆是以CD为直径的圆。
作法：
如分析过程立出C、D两点，以CD为直径作圆，它与AmB相交于所求点图形略。
证明：
略邙可氏圆的性质知显然）
讨论：
本题恒有一解。
（C在圆内而D在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD的另一侧，不在A加B上）。
解法二：
由角平分线性质知，ZAMB的平分线MN必过C点，故不必作阿氏圆，只要定出
C和N即可，而N为AB的中点，作AB的中垂线即可。
如下图所示。
m
M
B
例2已知AABC的底边d,顶角A以及余二边的平方和b2+c2=k2.求作这三角形。
分析：
如图，设AABC已作成，BC=a,A=a,^AB2+AC2=k2o任作BC=a后，
A的一个轨迹是以BC为弦而内接角等于&的圆弧。
若以M表示BC的中点，则
k2=AB2+AC2=2AM2+-a2（斯特瓦尔特左理）
2
即A点的另一轨迹是以M为圆心，半径为丄J2疋-/的圆周,因而A点泄。
2
作法：
作线段BC=a,在BC上作内接角等于q的圆弧：
作O（M丄楡-心；圆与圆
2
弧的交点为所求的A点。
证明：
略。
讨论：
显然y/2k>a,否则无意义；若A为锐角，当vfcot：
时，
2222
0（M丄J2疋一/）与圆弧AmB有两交点A与从但A4BC=^BC,只算作一解：
否2
则无解。
若A为钝角，当-cot-2-^<-时有一解，否则无解“
2222
若A为直角，a=k时显然有无穷多解，当a^k时无解。
二.三角形奠基法
作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠泄全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。
该方法称为三角形奠基法。
例3已知AA3C的三中线m“叫、叫的长度，求作该三角形。
分析：
设△ABC已作出，G为重心，图中无奠基的三角形。
延长G厶到K,使LK=GL.则ABGK三边已知，各为中线长的2/3。
作法：
作ABGK,使GK=（2/3）叫，GB=（2/3）叫,BK=（2/3）叫,作GK的中点厶,并延长他到C使LC=BL.延长LG至A使GA=2LG,则AABC即所求者。
证明：
由作法，厶是BC的中点，因而AL是AABC的中线。
由于GA=2LG,G是AABC的重心，并且AL=3LG=（3/2）GK=ma,以M.N表C4、48的中点，由于G是
重心，则BM=（3/2）BG=®,CN=（3/2）CG=（3/2）BK=“.，所以AABC合于条件。
讨论：
本题有无解，取决于MGK是否存在，存在的条件是：
叫+叫>叫，mb+mc>ma9mc+ma>mh故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。
例4已知AABC的人，。
叫，求作该三角形。
分析：
Z\ABC若已作成，髙AH=ha,角平分线AT=ta,中线AM=ma.
RtAAHT和AU/H都可作出，取AAMH为基础三角形，设AT交外接圆于P,则P为BC的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决左。
然后定圆心O,0在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。
作法：
作直角AAHM,使ZAHM=90,AH=九,AM=ma.
在射线HIV1上作T点使AT=J,过M作HM的垂线与直线AT相交于P。
作AP的中垂线交PM于O。
以O为中心，以OA为半径作圆，设其交直线HM于B及C,则WC即所求。
证明：
因O在AP的中垂线上，则OP=OA,从而P是BC的中点，从而AM是AABC的中线，而AP是ABAC的平分线。
可见中，有高AH=ha,中线AM=ma,平分角线AT=ta,即AABC合于所设条件。
讨论：
1当九丄，叫三者有两个相等时，AABC为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若
都相等便成不左问题，有无穷多解。
2当hjc互不相等时，解要存在，则AANIH存在且P存在，并且P和A落在HM的异侧（若叫ha例5求作AABC,已知ha，叫，叫.
分析：
设AABC已作出，G为重心，由重心的性质知SSBCG=-S^1）C，从而
gm=-AH=-h.ABCG可作。
33°
证明：
略（关键是证G为重心，连AG交BC于点F,证明N是中点）
讨论：
AABC能否作出决立于ABCG能否作岀。
显然，GMvGC且GMvGB,即
ha<2mb且hav2叫时有一解，否则无解。
三.合同变换法
将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的方法。
常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。
例6求作/XABC,已知4人，两底角之差ZB-ZC=a.
分析：
AABC已作岀.先作BC=a,由于ha=AH,故A点的一个轨迹是BC的一条平行线XY。
现为了把&表示在图形上，延长BA到E,作C关于XY的对称点D,则
a=ZB-ZC=ZEAY-ZCAY=ZEAY-ZDAY
•••Z34D=180-a.从而A的另一轨迹是以BD为弦内接角等于180—a的弓形弧。
作法证明：
略。
讨论：
以BD为弦内接角等于180-a的弓形弧的对称弧交XY于一点但AA'BC中,
ZC-ZB=cr,不符合条件，故本题只有一解。
例7给是两平行线x及y和它们外侧各一点A、B（如下图）,求自A至B的最短路线,使介于x、y间的部分与泄宜线z平行。
B
分析：
在X、y上任取点厂满足XYUz.AXf+XY+YfB最短在于AXf+YfB最
短o现AXf>CY9,C为定点（实际上，A>C）,且
AXf+BYf=CY'+BY'进而X泄。
X、Y为所求。
作法：
略。
证明：
略。
讨论：
本题恒有一解。
例8给/kAABC,求作一直线平行于BC,交AB、AC于D、E,使AD=EC・
分析：
如图，将EC西L》df,则ZBAF=ZDFA=ZCAF,所以AF为ZA的平分线。
由F泄D,然后立E即可。
恒有一解。
作法：
由分析作法显然。
证明：
略。
例9给三平行线a,b,c,求以"上一立点A为顶点作正三角形ABC,使余二点分别落在b、
C上。
b*分析：
设AABC已作好，作丄b,SABHK{AM）y^ACH9,这时，〃旋转为H
A
H*
B
与C的交点为C,进而可泄B。
作法：
作丄b于H,作ZHAH'=60且AH'=AH,过H'作F丄AH',b'交c于点
C,再作ABAC=60,使ZBAC与厶册‘有相同转向，B是直线AB与〃的交点。
证明：
只要证明AB=AC就足以保证WC是正三角形。
由于ZBAC=ZHAH',立刻推出ZBAH=CAH，°所以两个直角三角形34H和C4H'有一直角边及一锐角对应相等,因而合同。
所以AB=AC。
讨论：
由于AHK{AM}>AHf或AH曲•如》AH”，所以有两解。
四.代数分析法
有的作图题，解题的关键在于一条线段的算出，这时可借助于代数讣算求得该线段，此方法叫代数分析法。
例10求作一圆，使通过两立点A、B并切于已知直线/°
0
A
分析：
如图，关键在于确左切点T的位巻，如能左，过A、B、T三点的圆就为所求。
设AB与/交于O,x=OT,则x2=AOOB,即x是线段OA、0B的比例中项，即T可确宦，进而圆可定。
作法：
如分析所作，见下图1。
证明：
略。
讨论：
1直线AB与/交于一点且A、B在/的同侧时，有二解，如图1。
2ABHI或X、B之一在/上时，有一解如图2和3。
3A、B在/的异侧时无解。
例11求作一直线平行于梯形的底边，且平分该而积。
分析：
设图已作成，设AB交CD于O,OA=a,OB=b,OE=x,则
所以宀評5）.故丘点淀。
作法：
如图。
证明：
略。
讨论：
恒有一解。
尺规作图可能性的判断
一、判断准则
任何能用尺规完成的图形，归结为三条作图公理的有限次组合，即由一些点作直线、作圆，再由直线和圆产生新点。
在直角坐标系中，这些新点的坐标由方程x+cy+d=O或y+=0或/+）,2+敢+fy+d=0三种不同组合组成的方程组的解。
而方程组的解是通
过方程系数之间的加、减、乘、除、开平方运算得来的，故得尺规作图准则为：
定理：
一个作图题中所求线段尤，可由一次齐次式x=Fa，5…心表示，则x能由尺规作出OF仅含关于已知线段q（f=l,2,•••,“）的有限次加、减、乘、除、开平方运算，并且F在泄义域中能取实值。
二、几个古典几何作图题
1.倍立方问题：
求作一立方体，使它的体枳等于已知立方体的体积的2倍。
设已知立方体棱长为"，求作的立方体的棱长为兀，则十=2/,惟一的实根为x=a>/2,不可能由d经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。
不能由尺规作岀。
2.三等分任意角问题：
设&是任一角，求8,使a=30
由三倍角公式cosa=cos3&=4cos'&-3cos&,令cos6=x>则方程化为
4x3一3兀一“=0（a=cosa已知）
不妨取a=60,这时a=-.方程为8疋一6尤一1=0,此方程无有理根，故不可能分解为2
以有理数为系数的两因式之积。
不能由尺规作出。
3.化圆为方问题：
求作一正方形，使面积等于已知圆的而积。
设已知圆为单位圆，正方形的边长为x,则扌=兀，”为超越数，故x不能作出。
4.作圆内接正多边形①正多边形的尺规作图，归结为方程财-1=0的n次本原单位根的尺规作图问题。
（如果某
一个n次单位根的各次慕可得出所有n次单位根，这样的n次单位根叫做本原单位根。
竺.
如三次单位根©=eyl
4£.
==1中，①2
=马，©'=1,可见©为本原单位根：
同
2£.
理冬也是本原单位根，但®不是。
）在】】次单位根中，必是n次本原单位根。
②定理：
圆内接正川（n>3）边形可用尺规作图<=>//=2m・pi•处…Pr（加»°，Pi=2“+1
的素数或者为L/=）<■
当w<100可作正n边形有24种，n=3,6,12,24,48,96；n=4,&16,32,64；
n=5,10,20,40,80:
“=15,30,60；n=17,34,68:
n=5\:
n=85.
例12十等分圆周（黄金分割，即内外比）
分析：
设半径为R，正十边形边长为x,AB为其中一边，如下图1。
显然
ZAOB=36,ZOAB=72,BC平分角ABO,则厶OAB-ABAC
：
.OA.AB=AB-.AC,又由OC=BC=AB得Q4:
OC=OC:
AC,称点C将线段OA分成外内比或黄金分割，即全线段与长部分的比等于长部分与短部分的比。
・••圆内接正十边形的边长是将半径分成黄金分割所得的长部分。
下而作x,由
OA:
OC=OC:
AC,得疋+&一疋=0,从而x=^（75-1）,作法如下图2所示，OC2
为所求x・
注：
①圆内接正十边形长5,=£（、/?
—1）.
2
②由弦与圆周角的关系
AB
圆周角
=2Rsin18°=-（5/5-1）.
4
④
~0・618,即黄金分割数，在优选法上常用，来源于黄金分割。
例13五角星的作法
A
法一：
将圆周十等分（例12）,从第一个分点起，每隔开三个分点相连即得。
法二：
将圆周五等分，从第一个分点起间点相连即得。
注：
①圆内接正十边形、五边形、半径的关系
AB=«5,AC=BC=a^jOA=R.作OE丄AC于E,交AB于D,则△ZMC〜△C4B，
:
.AD:
AC=AC:
AB，即AC2=ABAD,由MOB〜AODB有
AB:
OB=OB:
DB=OB:
（AB-AD）,AR2=AB（AB-AD）,
与上两式相加即得AB2=AC2+R2,
:
a52=a^+R2=ai（；+a^,即同圆的正五边形、正六边形、正十边形的边构成直角三角
形，由此得正五边形更简单的作法。
作法：
PQ、AS为二垂直直径，M为0Q的中点，作M4=M7V;作AN=AB：
贝I]
AB=a5,ON=«|0.
证明：
AB2=AN2=AO2+ON2=R2+ON2,
RR
ON=MN—OM=MA—MO=、R——=Uw得证。
22
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