精华特殊平行四边形知识归纳和题型精讲verygood.docx

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精华特殊平行四边形知识归纳和题型精讲verygood

四边形相关知识归纳和常见题型精讲

性质和判定总表

矩形菱形正方形的

矩形

菱形

正方形

性

质

边

对边平行且相等

对边平行，四边相等

对边平行，四边相等

角

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

对角线

互相平分且相等

互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且有一个角是直角;

·是平行四边形且两条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形

一.矩形

矩形定义:

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:

（具有平行四边形的一切特征）

矩形性质1:

矩形的四个角都是直角．

矩形性质2:

矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=

AC=

BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．

矩形判定方法1：

对角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形判定方法3：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形判定方法4：

（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：

如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：

CE＝EF．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

例4、如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：

AB=CF；

（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC

是矩形，并说明理由．

二．菱形

菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】　菱形

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:

四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

　　求证：

∠AFD=∠CBE．

例2已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

例3、如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：

四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，

若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

求证：

AM=BE。

例5．（10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,

=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求线段

的长．

例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。

请你猜想DE与DF的大小有什么关系？

并证明你的猜想

例7、（2008山东烟台）

如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：

对边平行，四边相等；

角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

•

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

•

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．

•注意：

1、正方形概念的三个要点：

•

（1）是平行四边形；

•

（2）有一个角是直角；

•（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE=OF．

例2已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：

四边形PQMN是正方形．

例3、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：

①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x,△PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

例4．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．

例5：

（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

例题讲解

例一.分析：

（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

解：

设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：

，解得x=6．则AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：

AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．

例二分析：

CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．

∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．

∴∠B=∠AFD．又AD=AE，

∴△ABE≌△DFA（AAS）．

∴AF=BE．

∴EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

菱形例1证明：

∵　四边形ABCD是菱形，

∴　CB=CD，CA平分∠BCD．

∴　∠BCE=∠DCE．又CE=CE，

∴△BCE≌△COB（SAS）．

∴　∠CBE=∠CDE．

∵　在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC

∴　∠AFD=∠CBE．

例2证明：

∵　四边形ABCD是平行四边形，

∴　AE∥FC．

∴　∠1=∠2．

又　∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴　△AOE≌△COF．

∴　EO=FO．

∴　四边形AFCE是平行四边形．

又　EF⊥AC，

∴　

AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

例6、解：

DE＝DF

证明如下：

连结BD

∵四边形ABCD是菱形

∴∠CBD＝∠ABD（菱形的对角线平分一组对角）

∵DF⊥BC，DE⊥AB

∴DF＝DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）

例7、

正方形例1分析：

要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE=OF．

例2分析：

由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：

∵　PN⊥l1，QM⊥l1，

∴PN∥QM，∠PNM=90°．

∵　PQ∥NM，

∴　四边形PQMN是矩形．

∵四边形ABCD是正方形

∴　∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴　∠1+∠2=90°．

又　∠3+∠2=90°，∴　∠1=∠3．

∴△ABM≌△DAN．

∴AM=DN．同理AN=DP．

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN．

∴　四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

例3

（1）证法一：

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.

∵PC=PC，

∴△PBC≌△PDC（SAS）.

∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.

又∵PB=PE，

∴PE=PD.

②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，

∵PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∴∠PEB=∠PDC，

∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，

∴PE⊥PD.）

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.

（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.

∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴∠DPE=∠DCE=90°，

∴PE⊥PD.

综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.

（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.

∵AP=x，AC=

，

∴PC=

-x，PF=FC=

.

BF=FE=1-FC=1-（

）=

.

∴S△PBE=BF·PF=

（

）

.

即

（0＜x＜

）.

②

.

∵

＜0，

∴当

时，y最大值

.

（1）证法二：

①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.

又∵PB=PE，

∴BF=FE，

∴GP=FE，

∴△EFP≌△PGD（SAS）.

∴PE=PD.

②∴∠1=∠2.

∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.

∴∠DPE=90°.

∴PE⊥PD.

（2）①∵AP=x，

∴BF=PG=

，PF=1-

.

∴S△PBE=BF·PF=

（

）

.

即

（0＜x＜

）.

②

.

∵

＜0，

∴当

时，y最大值

.

（注：

用其它方法求解参照以上标准给分.）

例4【解析】△ADE是等边三角形．

理由如下：

∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，

∵∠B=∠C．

∴E为BC的中点，

∵BE=CE．

在△ABE和△DCE中，

∵

∴△ABE≌△DCE．

∵AE=DE．

∴AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴AB=DE

∵AB=AD，

∴AD=AE=DE．

∴△ADE为等边三角形．

例5：

（1）证明：

∵AE∥BD,∴∠E＝∠BDC

∵DB平分∠ADC∴∠ADC＝2∠BDC

又∵∠C＝2∠E

∴∠ADC＝∠BCD

∴梯形ABCD是等腰梯形

（2）解：

由第

（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5

∵在△BCD中，∠C＝60°,∠BDC＝30°

∴∠DBC＝90°

∴DC＝2BC＝10

完