圆周角和圆心角的关系优秀教案.docx

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圆周角和圆心角的关系优秀教案

圆周角和圆心角的关系

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

一、教学知识点。

（一）了解圆周角的概念。

（二）理解圆周角定理的证明。

二、能力训练要求。

经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。

三、情感与价值观要求。

通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法。

【教学重点】

圆周角概念及圆周角定理。

【教学难点】

认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。

【教学方法】

指导探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？

它有什么特点？

请同学们画一个圆心角。

[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心。

[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角。

这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？

如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？

二、讲授新课。

（一）圆周角的概念。

[师]同学们请观察下面的图

（1）。

这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。

[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？

角的两边有什么特点？

[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点。

（通过学生观察，类比得到定义。

）

圆周角（angleinacircularsegment）定义：

顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。

[师]请同学们考虑两个问题：

1．顶点在圆上的角是圆周角吗？

2．圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？

请同学们画图回答上述问题。

[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：

（1）角的顶点在圆上；

（2）两边在圆内的部分是圆的两条弦。

（二）补充练习1

判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

答：

由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是。

（三）研究圆周角和圆心角的关系。

[师]在图

（1）中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC。

这三个角的大小有什么关系？

我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。

那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？

[师]请同学们动手画出⊙O中

所对的圆心角和圆周角。

观察

所对的圆周角有几个？

它们的大小有什么关系？

你是通过什么方法得到的？

所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？

[生]

所对的圆周角有无数个。

通过测量的方法得知：

所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半。

[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？

说说你的想法，并与同伴交流。

[生]互相讨论、交流，寻找解题途径。

[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下。

圆周角

一边经过圆心。

由下图可知，显然∠ABC＝

∠AOC，结论成立。

（学生口述，教师板书。

）

如上图，已知：

⊙O中，

所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC。

求证：

∠ABC＝

AOC。

证明：

∠AOC是△ABO的外角，

∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO。

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO。

∴∠AOC＝2∠ABO。

即∠ABC＝

∠AOC。

[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心（如下图），那么结果怎样？

特殊情况会给我们什么启发吗？

你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？

（学生互相交流、讨论）

[生甲]如图

（1），点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出。

由刚才的结论可知：

∠ABD＝

∠AOD，∠CBD＝

∠COD，

∴∠ABD＋∠CBD＝

（∠AOD＋∠COD），即∠ABC＝

∠AOC。

[生乙]在图

（2）中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可。

由前面的结果，有

∠ABD＝

∠AOD，∠CBD＝

∠COD。

∴∠ABD－∠CBD＝

（∠AOD－∠COD），即∠ABC＝

∠AOC。

[师]还会有其他情况吗？

请思考。

[生]不会有。

[师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？

[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

[师]这一结论称为圆周角定理。

在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？

[生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……

[师]好，同学们总结得很好。

由此我们可以知道，当解决一个问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略。

今后我们在处理问题时，注意运用。

三、课时小结。

[师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？

它们各有什么特点？

相互之间有什么关系？

[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角。

圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

[师]这节课我们学会了什么定理？

是如何进行探索的？

[生]我们学会了圆周角定理。

通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法。

对定理进行了研究和证明。

[师]好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用。

注意：

1．定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半。

2．不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”。

四、活动与探究。

同学们知道：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角，因为一条弧所对的角圆周角等于它所对的圆心角的一半，而圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

类似地，我们定义：

顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角。

如下图中，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧

和

的度数有什么关系？

类似地可定义圆内角及其度量。

1．你的结论用文字表述为（不准出现字母和数学符号）：

________；

2．证明你的结论。

[过程]让学生通过思考讨论，想办法把圆外角转化成和已学过的圆周角联系起来，借助圆周角把∠DPB的度数转化成它所夹的两段弧

和

的度数差的一半。

[结果]1．圆外角的度数等于它所夹弧的度数差的一半。

2．证明：

连结BC．

∵∠DCB＝∠DPB＋∠ABC，

∴∠DPB＝∠DCB－∠ABC．

而∠DCB＝

的度数。

∠ABC＝

的度数。

∴∠DPB＝

（

的度数－

的度数）。

【第二课时】

【教学目标】

一、学知识点。

（一）掌握圆周角定理几个推论的内容。

（二）会熟练运用推论解决问题。

二、能力训练要求。

（一）培养学生观察、分析及理解问题的能力。

（二）在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。

三、情感与价值观要求。

培养学生的探索精神和解决问题的能力。

【教学重点】

圆周角定理的几个推论的应用。

【教学难点】

理解几个推论的“题设”和“结论”。

【教学方法】

指导探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？

它们之间有什么关系？

[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

即圆周角定理。

[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？

[生]分类讨论、化归、转化思想方法。

[师]同学们请看下面这个问题：

已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如图。

求证：

PA·PB=PC·PD

[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证

。

由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似。

由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD。

要证△PAC∽△PDB。

由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等。

如∠A＝∠D或∠C＝∠B。

便可证得所求结论。

如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B。

要想解决这个问题。

我们需先进行下面的学习。

二、讲授新课。

[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？

（至少画三个）

它们的大小有什么关系？

你是如何得到的？

[生]弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的。

[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？

（同学们互相交流、讨论）

[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧（弧AC）所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等。

[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗？

[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角。

由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B。

[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？

[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等。

[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论。

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？

请同学们互相议一议。

[生]如图，结论不成立。

因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的。

注意：

1．“同弧”指“同一个圆”。

2．“等弧”指“在同圆或等圆中”。

3．“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”。

[师]接下来我们看下面的问题：

如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？

你是如何判断的？

（同学们互相交流，讨论。

）

[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°。

[师]反过来，在图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？

为什么？

[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°。

连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径。

[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：

这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：

如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。

[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题。

[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？

为什么？

[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD。

由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD。

下面哪位同学能叙述一下理由？

[生]BD=CD。

理由是：

连结AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°。

即AD⊥BC。

又∵AC＝AB，

∴BD＝CD。

[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？

试举例说明。

[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法。

比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……

三、巩固练习。

1．为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？

说一说这种设计的合理性。

答：

有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。

2．如下图，哪个角与∠BAC相等？

答：

∠BDC＝∠BAC

3．如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长。

解：

∵AB为⊙O的直径。

∴ACB=90°。

又∵∠ABC=30°，

∴AC=

AB=

×10=5（cm）。

4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形？

为什么？

答：

图

（2）是半圆形、理由是：

90°的圆周角所对的弦是直径。

四、下面我们一起来看一个问题：

做一做。

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”。

当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁。

1．当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？

为什么？

2．当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？

为什么？

分析：

这是一个有实际背景的问题，由题意可知：

“危险角”∠ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证。

解：

1．当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内），理由是：

连结BE，假设船在（⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。

因此。

船只能位于⊙O内。

2．当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。

理由是：

假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C。

这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外。

注意：

用反证法证明命题的一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾。

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

五、课时小结。

本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角（圆心角和圆周角），线段（弦、弦心距）、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法。

六、活动与探究。

如下图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F。

1．当弧PA=弧AB时，求证：

AE=EB；

2．当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论。

[过程]

（1）连结AB。

证AE=EB。

需证∠ABE＝∠BAE。

（2）执果索因寻条件：

要AF=EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF=∠BED，而要∠A=∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为弧PC=弧AB。

[结果]1．证明：

延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM。

∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D。

∴弧AB=弧BM。

∴∠BAD＝∠BMD。

又∵弧AB=弧AP，

∴∠ABP=∠BMD。

∴∠BAD＝∠ABP。

∴AE＝BE。

2．当弧PC=弧AB时，AF=EF。

证明：

∵弧PC=弧AB，

∴∠PBC=∠ACB。

而∠AEF＝∠BED＝90°-∠PBC，

∠EAF=90°-∠ACB。

∴∠AEF=∠EAF。

∴AF=EF。