参数方程与普通方程的互化(教学设计).docx

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SCH南极数学高中同步教学设计人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》

2.1.3参数方程与普通方程互化（教学设计）

教学目标：

知识与技能：

掌握参数方程化为普通方程几种基本方法

过程与方法：

选取适当的参数化普通方程为参数方程

情感、态度与价值观：

通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：

参数方程与普通方程的互化

教学难点：

参数方程与普通方程的等价性

教学过程：

一、复习引入：

1、圆的参数方程；

（1）圆参数方程（为参数）

（2）圆参数方程为：

（为参数）

2、参数方程的定义

二、师生互动，新课讲解：

小结：

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：

（1）代入法：

利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数

（2）三角法：

利用三角恒等式消去参数

（3）整体消元法：

根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为：

在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围。

2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。

3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。

答：

B

变式训练2：

曲线y=x2的一种参数方程是（D）

例3：

指出下列参数方程表示什么曲线：

（1）；

（2）（t为参数，π≤t≤2π）；

（3）（θ为参数，0≤θ＜2π）．

解析：

（1）由（θ为参数）得x2＋y2＝9.

又由0＜θ＜，得0＜x＜3，0＜y＜3，

所以所求方程为x2＋y2＝9（0＜x＜3且0＜y＜3）．

这是一段圆弧（圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分）．

（2）由（t为参数）得x2＋y2＝4.

由π≤t≤2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0.

所求圆方程为x2＋y2＝4（－2≤x≤2，－2≤y≤0）．

这是一段半圆弧（圆x2＋y2＝4位于y轴下方的部分，包括端点）．

（3）由参数方程（θ为参数）得（x－3）2＋（y－2）2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．

变式训练3：

（1）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为：

C1：

，

C2：

（t为参数），

它们的交点坐标为________．

答：

（2，1）

（2）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为：

C1：

和C2：

（θ为参数），它们的交点坐标为________．

答．（1，1）

例4：

在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数）和（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为________．

答.

变式训练4：

将下列参数方程化为普通方程．

（1）　

（2）

解：

（1）两式相除，得k＝，将其代入得x＝，

化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0（y≠6）．

（2）由（sinθ＋cosθ）2＝1＋sin2θ＝2－（1－sin2θ）

得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，

得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．

三、课堂小结，巩固反思：

熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几种方法。

抓住重点题目反思归纳方法，进一步深化理解。

四、分层作业：

A组：

1、（课本P26习题2.1NO:

4）

解析：

（1）消去t得y＝2x－7，即普通方程为y＝2x－7，表示直线．

（2）y＝cos2θ＋1＝2cos2θ－1＋1＝2x2，∵x＝cosθ，∴－1≤x≤1.∴普通方程为y＝2x2（－1≤x≤1），表示以（－1，2），（1，2）为端点的一段抛物线弧．

（3）（t为参数），∴两式相减得x2－y2＝4，即普通方程为x2－y2－4＝0，表示双曲线．

（4）（φ为参数），∴cosφ＝，sinφ＝，cos2φ＋sin2φ＝1，∴普通方程为＋＝1，表示椭圆．

2、（课本P26习题2.1NO:

5）

3.已知曲线C的参数方程为（t为参数，t＞0），求曲线C的普通方程．

解：

因为x＝－，所以x2＝＝t＋－2，①

又y＝3且t＞0，则t＋＝，②

由①②可得x2＝－2．

故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0．

4．参数方程（t为参数）化为普通方程为________．

解析：

∵x＝，

y＝＝＝4－3×＝4－3x.

又x＝＝＝2－∈[0,2），∴x∈[0,2）．

∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0（x∈[0,2））．

答案：

3x＋y－4＝0

B组：

1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ－）＝m，（m∈R）．

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

解析：

（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9，由ρsin（θ－）＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，

所以直线l的直角坐标方程为x－y－m＝0.

（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，解得m＝－3±2.

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