概率第1章.ppt

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概率论与数理统计,ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics袁霓88567289,如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的.,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；,从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，,我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,在我们所生活的世界上充满了不确定性,这些与其说是基于决定论的法则不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础.,从Aristoteles（亚里士多德（前384-前322）时代开始哲学家们就已认识到随机性在生活中的作用,他们没有认识到有可能去研究随机性,甚至是去测量不定性.,他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.,将不定性数量化来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的.,还不能说这个努力已经十分成功了，,但就是这些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命.,这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路.,而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘.,概率论与数理统计,这门“将不定性数量化”的课程就是,研究随机现象的统计规律性,起源博弈,16世纪,意大利的学者研究掷骰子等赌博中的一些问题,17世纪中叶,Pascal（帕斯卡,法）,Fermat（费玛）和Huygens（惠更斯,荷）,18世纪初（1713）,奠基人Bernoulli（柏努利，法）,Gauss（德），De.Moivre（棣莫费,法）,Probabilitytheoryandmathematicalstatistics,大数定律,1812年,Laplace（拉普拉斯，法）,19世纪（1866）,Chebyhev（切比雪夫，俄）,概率的分析理论,中心极限理论,20世纪（1933）,kolmogorov（柯尔莫哥洛夫，俄）,概率公理化定义,本学科的ABC,概率（或然率或几率）随机事件出现,的可能性的量度其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕,斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方,法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理,分配赌注问题”（即得分问题）.,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的数学分支学科.,一个迷惑游客的赌博游戏,在一个游客很多的旅游胜地，发现一类赌博游戏。

形式是这样的：

摊主拿着一个装有20个同一大小的玻璃球小袋，玻璃球共有红、黄、篮、白、黑5种颜色。

每个颜色均有4个球。

让游客从中任意摸出10个球。

如摸到红球4个，黄球4个，白球2个，则数字排列为442（数字大的在前，小的在后），以摸到的各种球所组成的数字定输赢，其规定如下表：

其中“”表示游客赢，“”表示游客输。

表面上看12种结果中只有2种游客输钱，似乎游客赢钱的可能性大，也正因为如此，很能吸引过往游客参赌。

最后结果如何？

若每天有100人次参赌，则摊主每天能赢100来元。

请说明原因。

用P（xi）表示摸到某球色数字排列xi的概率。

由古典概率公式可得如下概率分布表（取法总数）,由上表可得游客赢钱的概率,游客输钱的概率,当摸的次数很多时，摊主赢钱几乎是必然的。

设随机变量X为游客每赌一次输赢的金额，则其数学期望为：

E（X）=100.001+520.0026+2（0.0234+20.0277）+1（0.0421+0.0624）+0.520.0935-20.2494-2.50.3741=1.04,从整体上看游客每赌一次平均输1.04元。

如果每天有100人参赌，摊主每天平均进帐104元。

1981年3月30日，美大学退学学生Hinckley（欣克利）企图对里根总统行刺，他打伤了里根，里根的新闻秘书，以及两个保安人员,请思考下面的问题：

Hinckley的辩护律师拿Hinckley的CAT扫描作为证据争辩说，因为Hinckley的扫描展示了脑萎缩，因而他患有精神病的可能性更大些,在美国精神分裂症的发病率大约为1.5,请对Hinckley是否患有精神病作出你的判断.,1982年审判他时，Hinckley以精神病为理由作为自己无罪的辩护,作证的医师是DanielRWeinberger他告诉法院当被诊断为精神分裂症的人给以CAT扫描（计算机辅助层析扫描）时，扫描显示30%的案例为脑萎缩，而只有2的正常人扫描显示脑萎缩,出现次数60626768645662445867,数字0123456789,你能猜出他怀疑的理由吗?

各数码出现次数应该近似相等，或者说，它们出现的的频率应该都接近于0.1.,744,但是，几十年后，曼彻斯特的费格森统计了的611位小数后，得到下面的表，从而对它的正确性产生了怀疑.,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后7位，这个记录保了1000多年！

圆周率=3.1415926是一个无限不循环小数，,1873年，英国学者Shanks（尚克斯）公布了一个的数值，它在小数点后共有707位之多!

出现的次数过少！

第一章随机事件及其概率,1.1随机事件,一、随机试验,可在相同条件下重复进行；每次试验可出现多种可能结果；每次试验前能明确试验的所有可能结果，但不能确定试验后会出现哪一个结果.,二、随机事件,试验的结果称为随机事件,基本事件、复合事件,必然事件、不可能事件,三、事件的集合,四、事件间的关系与运算,1.事件的包含,若事件A发生必然导致事件B发生，,则称事件B包含事件A，,记作AB或BA.,2.事件的相等,若事件A与B满足：

AB且BA，,则称事件A与事件B相等（或等价），,记作A=B.,推广：

称“A1,A2,An中至少有一个发生”为事件A1,A2,An的和（并），,3.事件的和（并）,称事件“A与B至少有一个发生”,记作AB.,或AB,称事件“A与B同时发生”,记作AB，,4.事件的积（交）,也简记为AB.,记作A1A2An，,推广称“A1,A2,An同时发生”为事件A1,A2,An的积（交），,记作A1A2An，,为事件A与B事件的和（并），,为事件A与B的积（交），,5.事件的差,称事件“A发生且B不发生”,为事件A与B事件的差，,记作A-B.,A,B,AB,A-B,则称事件A与B互为逆事件（对立事件）.,则称事件A与B互不相容（互斥），,6.互不相容（互斥）事件,若事件A与事件B不能同时发生，,即AB=，或说A与B没有公共的样本点.,推广：

若A1,A2,An中的任意两个事件都互不相容，则称事件A1,A2,An两两互不相容.,7.互逆事件（对立事件）,若事件A与事件B必有一个、且仅有一个发生，,即AB=，AB=，,A,，,，,互逆事件？

互不相容,8.完备事件组,若A1,A2,An为两两互不相容事件，且A1,A2An，则称A1,A2,An构成一个完备事件组。

事件的运算性质,10交换律,40对偶律,30分配律,20结合律,DeMogen,例：

把AB分解成互不相容的事件的和。

B,A,解.AB=A+（BA）=A+（BAB）；,AB=（AB）+AB+（BA）=（AAB）+AB+（BAB）。

利用事件的交来表示：

AB=-（）,例：

A、B、C是三个随机事件，利用事件的关系与运算表示出下面新的随机事件。

（1）A发生而B与C都不发生，ABC或A（BC）或,

（2）A、B都发生而C不发生，ABC或ABABC或,（3）A、B、C都发生，ABC,（7）至少有一个发生，ABC或,（5）恰好只有一个发生，,（6）恰好只有两个发生，,（4）A、B、C都不发生，,（8）至少有两个发生，ABBCAC或,（9）最多只有一个发生，,（10）最多有两个发生，,1.2概率,一.频率的定义与性质,描述一个随机事件发生的频繁程度,1.定义在相同的条件下，进行了n次重复试验，记nA是A发生的次数（又称为频数）；则定义随机事件A发生的频率为fn（A）=。

nAn,2.频率的性质,

（1）（非负有界）0fn（A）1;,

（2）（规范性）fn（）=1;,（3）（有限可加）如果A1，A2，Am两两互不相容，则有：

fn（A1A2Am）=fn（A1）fn（A2）fn（Am）,

（1）频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不一定会相同。

（2）频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值附近波动，而随着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。

大量的随机试验表明：

频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性，称为是统计规律（大量试验下体现出来的规律）。

3.概率的统计（频率）定义自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率的极限来作为概率的定义。

概率的统计定义：

在不变的条件下，重复n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。

n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率。

记做P（A）.,抛硬币试验数据表1,抛掷一枚硬币试验表2,“计算生男孩的比例问题是很有名的问题，世界上有很多人在做。

法国的数学家拉普拉斯坚信，大数量的偶然现象是有统计规律性的。

他对18世纪的伦敦、彼得堡、柏林和全法国进行统计，计算出生男孩的比例大概是22/43（约为0.5116），但是他根据17451784年巴黎的资料计算出生男孩的比例确是25/49（约为0.5102）。

如果是粗心的人可能认为这个结果没有问题，因为概率差不多，但是，拉普拉斯却认为不应该有这么大的偏差，因为他坚信，即使是偶然现象，也应该有非常明确的稳定规律。

于是，他就去查资料调查为什么这个比例会变小，既然生男孩的比例减小了，就意味着生女孩子多。

事实上，通过查资料他发现，在当时18世纪的法国也存在弃婴现象，孩子生下来一看是女孩就不要了，一般放在育婴堂慈善机构的前边，这样早上那些嬷嬷出来，就会发现有人扔了孩子，于是就把这个孩子收养进那个取。

但是，孩子出生时有记录，这个孩子是女孩进行了登记，然后被嬷嬷捡到又登记上报了一次，这样，无形之中女孩的比例就增大了。

接着，拉普拉斯作了细致的工作，凡是弃婴就一个一个的从记录中删除，删除后的结果，生男孩的比例又恢复到了22/43的比例。

”,二、概率的古典定义,古典概型试验：

1）随机试验所有可能的结果有限2）每一结果出现的可能性相同,定义：

若试验结果一共有n个基本事件E1，E2,En组成，并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件A由其中某m个基本事件组成，则事件A的概率,例:

同时掷两枚均匀硬币，分别求事件A=两枚都出现正面,B=一枚出现反面和C=两枚都出现反面的概率.,解,同时掷两枚硬币有4个等可能的结果，即样本空间为,=（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）,4个等可能,古典概型,又事件A,B,C分别包含1个、2个和1个样本点，,列举法,加法法则：

两个互斥事件之和的概率等于它们概率之和。

即当AB=时，P（A+B）=P（A）+P（B）,1.3概率的加法法则,几个结论：

1）,若事件A1,A2,An两两互不相容，则有,若事件A1,A2,An,两两互不相容，则有,2）,若n个事件A1,A2,An构成一个完备事件组，则有P（A1）+.+P（An）=1,3）,4）对任意两个事件A，B，有,（3）,解

（1）,

（2）,设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（AB）=0.6,求P（AB）,例：

=0.4+0.3-0.6=0.1;,由加法公式,B,AB,=0.4-0.1=0.3;,余概公式,=0.4+（1-0.3）-0.3=0.8;,例：

假设A发生的概率为0.6，A与B都发生的概率为0.1，A与B都不发生的概率为0.15，求A发生但B不发生的概率，及B发生而A不发生的概率。

例：

一个袋内装有大小相同的7个球，4个白球，3个为黑球。

从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。

解：

设事件A表示抽到的3个球中有i个白球（i=2,3），显然A2与A3互不相容，由加法公式,生日问题,假定每个人的生日在一年365天里是等可能的，随机挑选n（n365）个人，那么至少有两个人的生日相同的概率是：

p=1,P365n365n,但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,如果对于中的每一个事件A，都对应一个实数P（A），,

（2）P（）=1，,（3）若事件A1,A2,An,两两互不相容，则有,

（1）0P（A）1，,概率的公理化定义：

设E是随机试验，是它的样本空间，,使得P（A）满足下述三个条件：

称P（A）为事件A的概率.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，,非负性,规范性,可列可加性,一、条件概率,1.4条件概率与乘法法则,定义：

在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在给定B下的条件概率。

记做P（A|B）,设A、B是两个事件，,A,且P（B）0,则,AB,由,即若P（B）0,则P（AB）=P（B）P（A|B）

（1）,而P（AB）=P（BA）,若已知P（B）,P（A|B）时,可以反求P（AB）.,对调A、B的位置，则有,故P（B）P（A|B）=P（A）P（B|A）,

（1）和

（2）式统称为乘法公式,利用它可计算两个事件同时发生的概率,乘法公式,即若P（A）0,则P（BA）=P（A）P（B|A）

（2）,现从中连续取3次，每次不放回地取1件，,例:

设有100件产品，其中有5件次品.,则所求概率为：

解设Ai=第i次取到的是次品,求第3次才取到正品的概率.,i=1,2,3.,推广到多个事件的乘法公式:

当P（A1A2An-1）0时，有,P（A1A2An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（An|A1A2An-1）,若事件A1,A2,An是构成一个完备事件组，则对任何一个事件B，,全概率公式定理,B,有,若事件A1,A2,An构成一个完备事件组，则并且都具有正概率，则对于任何一个概率不为零的事件B，,贝叶斯定理,求：

（1）它是由机器甲生产出来的概率；,

（2）它是由哪一部机器生产出来的可能性大.,现从总产品中随即地抽取一个零件,发现是不合格品,已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格,其中机器甲生产的占40%,机器丙生产的占35%,机器乙生产的占25%,解设B1,B2,B3分别表示事件:

任取的零件为甲、乙、丙机器生产,A=抽取的零件是不合格品,由条件知,例：

三部自动的机器生产同样的零件,

（1）所求概率为P（B1|A）,由Bayes公式,0.714;,代入数据得,

（2）类似

（1）的计算可得P（B2|A）0.063,比较可知是机器甲生产出来的可能性大.,例：

用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料知被检查者患有肝癌诊断出被检查者确实患有肝癌的把握有95，被检查者未患有肝癌检查出被检查者确实未患有肝癌的把握有90。

现某地区用此法进行普查，已知该地区居民中肝癌发病率为0.0004。

若某人在检查中被诊断出患有肝癌，求此人确实患有肝癌的概率。

事件的独立性：

定义：

如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P（A|B）=P（A）,则称事件A对于事件B独立。

定义：

如果n（n2）个事件中任何一个事件发生的可能性不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称这n个事件相互独立。

1.5独立试验概型,几个结论：

1）事件A与B独立的充要条件是：

P（AB）=P（A）P（B）2）若事件A与B独立，则3）若事件A1,An相互独立，则有,，也相互独立.,设事件相互独立,则,P（A1An）,也相互独立,则“至少有一个发生”的概率为,P（A1An）=1-（1-p1）（1-pn）,类似可以得出：

“至少有一个不发生”的概率为,4）n个独立事件和的概率公式:

P（A1A2A3）,例:

三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解将三人编号为1,2,3,所求为P（A1A2A3）,记Ai=第i个人破译出密码i=1,2,3,已知P（A1）=1/5,P（A2）=1/3,P（A3）=1/4，,=1-1-P（A1）1-P（A2）1-P（A3）,例:

设A、B、C是三个事件，,且P（A）=0.3,P（C）=0.6,P（B|A）=0.4,P（BC）=0.72,B与C相互独立，,求P（AB）.,解,由于B与C独立，,故P（BC）=P（B）+P（C）-P（B）P（C）,=P（B）1-P（C）+P（C）,=0.4P（B）+0.6,=0.72,P（B）=0.3,所以P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B|A）,=0.3+0.3+0.30.4,=0.48,被两人击中而击落的概率为0.6,求飞机被击落的概率.,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.,若三人都击中飞机必定被击落.,设A=飞机被击落，,由全概率公式P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）,则A=AB1+AB2+AB3，,解,依题意，P（A|B1）=0.2,P（A|B2）=0.6,P（A|B3）=1，,例:

三人同时对飞机进行射击,为求P（Bi）,设Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3,可求得:

将数据代入计算得:

P（B1）=0.36，P（B2）=0.41，P（B3）=0.14，,=0.360.2+0.410.6+0.141=0.458,即飞机被击落的概率为0.458.,飞机被一人击中而击落的概率为0.2,P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）,于是,Bi=飞机被i个人击中i=1,2,3，,独立试验概型：

在相同的条件下，重复进行试验的数学模型。

n次试验相互独立：

进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响。

n重贝努里试验：

贝努里定理：

求这4只鞋子中至少有2只配成一双鞋的概率？

解,方法1,样本空间样本点数为,5双不同的鞋中任取4只，,例：

设A=取的4只鞋子中至少有2只配成一双,先从5双中任取1双,从余下的4双中任取2双,从这2双中各任取1只,A=4只鞋中只有2只配成一双4只鞋恰好配成两双,方法2,取的4只鞋子中没有成双的,先从5双中任取4双,在从这4双中各取1只,所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单,例：

一次投掷两颗骰子，求点数之和为奇数的概率？

例：

某人忘了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，求他拨号不超过三次而接通电话的概率？

例：

一个班级有m个人，试求他们的生日都不相同的概率？

例：

一道选择题有4个答案，其中只有一个正确。

假设一个学生知道正确答案及不知道正确答案而乱猜的概率都是1/2（乱猜即任选一个）。

若已知学生答对了，问他确实知道正确答案的概率？

例：

一个同学想借某本书，决定到三个图书馆去借。

每个图书馆有无此书是等可能的，如有，是否借出也是等可能的。

设三个图书馆有无此书，是否借出是相互独立的。

求此学生借到此书的概率？

例：

A，B为事件，0P（A）1,0P（B）1若A，B互不相容或A包含B，则A,B必不相互独立。

例:

事件A与B独立，两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率均为1/4。

求P（A）,P（B）。

例：

设一个元件能正常工作的概率为r（01）个元件以两种连接方式构成两个系统。

试求两个系统能正常工作的概率？

（每个元件工作独立）,例：

甲，乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么？

现从这20套题中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套，,=,2）在减缩的样本空间中（加入条件后改变了的情况）直接计算.,1）在原样本空间中直接用定义计算:

P（B）0；,例：

有20套试题，其中7套已在考试中用过.,12,A1发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A2所含样本点个数,条件概率的计算,解设Ai=第i次取到的是未曾用过的试题，,问在第一次取到的是未曾用过的试题的情况下,第二次取到的也是未曾用过的试题的概率是多少？

i=1,2.,方法1）,P（A1）,P（A1A2）,13,20,方法2）,的点数,20,19,=,例：

一玩电子游戏者在一次射击中命中率为p=0.004,求n次射击过程中击中目标的概率.,解,设Ai=第i次射击时击中目标i=1,n,则P（Ai）=p=0.004,则有,且相互独立,再设A=击中目标,当n=500时，P（A）=0.865.,小概率事件,只要P（A）=p1,=1,只要你坚持重复地做，,发生概率再小的事件总会发生.,则P（A）=0.6；,由题意知所求概率为,解设A=该建筑使用寿命超过60年，,问该建筑经历了50年之后将10年内倒塌的概率有多大?

超过60年的概率为0.6，,B=该建筑使用寿命超过50年，,则P（B）=0.8,该建筑经历了50年之后将10年内倒塌的概率为0.25.,例：

某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，,