数字的信号处理实验作业.docx
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数字的信号处理实验作业
实验6数字滤波器的网络结构
一、实验目的：
1、加深对数字滤波器分类与结构的了解。
2、明确数字滤波器的基本结构及其相互间的转换方法。
3、掌握用MATLAB语言进行数字滤波器结构间相互转换的子函数及程序编写方法。
二、实验原理：
1、数字滤波器的分类
离散LSI系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程。
因此，离散LSI系统又称为数字滤波器。
数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、带阻以及全通滤波器；根据单位脉冲响应的特性，又可以分为有限长单位脉冲响应滤波器（FIR）和无限长单位脉冲响应滤波器（IIR）。
一个离散LSI系统可以用系统函数来表示：
也可以用差分方程来表示：
以上两个公式中，当ak至少有一个不为0时，则在有限Z平面上存在极点，表达的是以一个IIR数字滤波器；当ak全都为0时，系统不存在极点，表达的是一个FIR数字滤波器。
FIR数字滤波器可以看成是IIR数字滤波器的ak全都为0时的一个特例。
IIR数字滤波器的基本结构分为直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、直接Ⅲ型、级联型和并联型。
FIR数字滤波器的基本结构分为横截型（又称直接型或卷积型）、级联型、线性相位型及频率采样型等。
本实验对线性相位型及频率采样型不做讨论，见实验10、12。
另外，滤波器的一种新型结构——格型结构也逐步投入应用，有全零点FIR系统格型结构、全极点IIR系统格型结构以及全零极点IIR系统格型结构。
2、IIR数字滤波器的基本结构与实现
（1）直接型与级联型、并联型的转换
例6-1已知一个系统的传递函数为
将其从直接型（其信号流图如图6-1所示）转换为级联型和并联型。
图6-1
分析：
从直接型转换为级联型，就是将系统的传递函数（tf）模型转换为二次分式（sos）模型；从直接型转换为并联型，就是将系统函数的传递函数（tf）模型转换为极点留数（rpk）模型。
程序清单如下：
b=[8,-4,11,-2];
a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
[sos,g]=tf2sos（b,a）
[r,p,k]=residuez（b,a）
运行结果如下：
sos=
1.0000-0.190001.0000-0.25000
1.0000-0.31001.31611.0000-1.00000.5000
g=8
r=
-8.0000-12.0000i
-8.0000+12.0000i
8.0000
p=
0.5000+0.5000i
0.5000-0.5000i
0.2500
k=16
由sos和g的数据，可以列写出级联型的表达式：
信号流图如图6-2所示：
图6-2
由r、p、k的数据，可以列写出并联型的表达式：
上式中出现了复系数，可采用二阶分割将共轭极点组成分母上的实系数二阶环节。
这里使用自定义函数dir2par可以实现滤波器结构从直接型向并联型的转换，且用实系数二阶环节表示。
在使用该函数时，调用了另一个自定义函数cplxcomp以进行复共轭对的正确排序，保证系统二阶环节的分子、分母一定是实数。
dir2par函数和cplxcomp函数定义如下：
functionI=cplxcomp（p1,p2）%按共轭条件排列极点留数对
%比较两个包含同样标量元素但（可能）具有不同下标的复数对
%本语句必须用在p2=cplxpair（p1）语句之后，以重新排序对应的留数向量
I=[];
forj=1:
length（p2）
fori=1:
length（p1）
if（abs（p1（i）-p2（j））<0.0001）
I=[I,i];
end
end
end
I=I';
function[C,B,A]=dir2par（num,den）%直接型到并联型的转换
M=length（num）;N=length（den）;
[r1,p1,C]=residuez（num,den）;%先求系统的单根p1对应的留数r1及直接项C
p=cplxpair（p1,10000000*eps）;
I=cplxcomp（p1,p）;
r=r1（I）;
K=floor（N/2）;B=zeros（K,2）;A=zeros（K,3）;
ifK*2==N;
fori=1:
2:
N-2;
Brow=r（i:
1:
i+1,:
）;
Arow=p（i:
1:
i+1,:
）;
[Brow,Arow]=residuez（Brow,Arow,[]）;
B（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Brow）;
A（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Arow）;
end
[Brow,Arow]=residuez（r（N-1）,p（N-1）,[]）;
B（K,:
）=[real（Brow）,0];A（K,:
）=[real（Arow）,0];
else
fori=1:
2:
N-1;
Brow=r（i:
1:
i+1,:
）;
Arow=p（i:
1:
i+1,:
）;
[Brow,Arow]=residuez（Brow,Arow,[]）;
B（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Brow）;
A（fix（（i+1）/2）,:
）=real（Arow）;
end
end
将例6-1从直接型转换为并联型的程序改写如下：
b=[8,-4,11,-2];
a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
[C,B,A]=dir2par（b,a）
运行结果如下：
C=16
B=
-16.000020.0000
8.00000
A=
1.0000-1.00000.5000
1.0000-0.25000
由A,B,C的数据可以直接写出并联型的表达式：
信号流图如图6-3所示：
图6-3
例6-2已知一个系统的级联型系数公式为
将其从级联型（信号流图如图6-4所示）转换为直接型和并联型结构。
图6-4
分析：
从级联型转换为直接型，就是将二次分式（sos）模型转换为系统传递函数（tf）模型；再使用dirpar.m和cplxcomp.m函数将直接型转换为并联型。
程序清单如下：
sos=[10.901-0.250
1-32110.5];
g=0.5;
[b,a]=sos2tf（sos,g）
[C,B,A]=dir2par（b,a）
程序运行结果如下：
b=0.5000-1.0500-0.35000.9000
a=1.00000.75000.2500-0.1250
C=-7.2000
B=3.98461.6308
3.71540
A=1.00001.00000.5000
1.0000-0.25000
由b,a的数据可以直接写出直接型的表达式：
信号流图如图6-5所示：
图6-5
由A,B,C的数据可以写出并联型的表达式：
信号流图如图6-6所示：
图6-6
（2）直接型转换为全零极点IIR系统的格型结构
例6-3将例6-1给定的系统传递函数
从直接型转换为格型。
程序清单如下：
b=[8,-4,11,-2];
a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
[K,C]=tf2latc（b,a）
[b,a]=latc2tf（K,C）
程序运行结果如下：
K=
-0.7327
0.6032
-0.1250
C=
8.1064
7.4841
8.5000
-2.0000
b=8.0000-4.000011.0000-2.0000
a=1.0000-1.25000.7500-0.1250
由K、C参数可以画出格型结构图，如同图6-7所示：
图6-7
（3）直接型转换为全极点IIR系统的格型结构
例6-4将一个全极点IIR系统的传递函数
从直接型转换为格型结构。
程序清单如下：
b=[1];a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
K=tf2latc（b,a）
[b,a]=latc2tf（K）
程序运行结果如下：
K=-0.7327
0.6032
-0.1250
b=1.0000-1.25000.7500-0.1250
a=1
格型结构信号流图如图6-8所示：
图6-8
3、FIR数字滤波器的基本结构与实现
（1）横截型与级联型之间的转换
例6-5已知一个FIR系统的传递函数为
将其从横截型（信号流图如图6-9所示）转换为级联型。
图6-9
分析：
从横截型转换为级联型就是将系统传递函数（tf）模型转换为二次分式（sos）模型。
程序清单如下：
b=[2,0.9,1.55,2.375];
a=[1];
[sos,g]=tf2sos（b,a）
[b,a]=sos2tf（sos,g）
程序运行结果如下：
sos=
1.00000.950001.000000
1.0000-0.50001.25001.000000
g=2
b=2.00000.90001.55002.3750
a=1000
由sos和g的数据可以写出级联型的表达式：
信号流图如图6-10所示：
图6-10
（2）横截型转换为全零点FIR系统的格型结构
例6-6已知一个FIR系统的传递函数为
将其从横截型转换为全零点FIR系统的格型结构
程序清单如下：
b=[1,2.7917,2,1.375,0.3333];
a=[1];
K=tf2latc（b,a）
[b,a]=latc2tf（K）
程序运行结果如下：
K=
2.0004
0.2498
0.5001
0.3333
b=1.00002.79172.00001.37500.3333
a=1
由K参数画出的格型结构图如图6-11所示：
图6-11
三、实验内容：
1、阅读并输入实验原理中介绍的例题程序，观察输出的数据，结合基本原理理解每一条语句的含义。
2、已知一个IIR系统的传递函数为
将其从直接型转换为级联型、并联型和格型结构，并画出各种结构的信号流图。
答：
直接型：
1、级联型
b=[0.1,-0.4,0.4,-0.1];
a=[1,0.3,0.55,0.2];
[sos,g]=tf2sos（b,a）
[r,p,k]=residuez（b,a）
sos=
1.0000-2.618001.00000.35190
1.0000-1.38200.38201.0000-0.05190.5683
g=
0.1000
r=
-0.2893+0.0001i
-0.2893-0.0001i
1.1786
p=
0.0260+0.7534i
0.0260-0.7534i
-0.3519
k=
-0.5000
表达式：
H（z）=0.1*（1-2.618Z-1）/（1+0.3519Z-1）*（1-1.382Z-1+0.382Z-2）/（1-0.0519Z-1+0.5683Z-2
）
2、并联型：
b=[0.1,-0.4,0.4,-0.1];
a=[1,0.3,0.55,0.2];
[C,B,A]=dir2par（b,a）
C=
-0.5000
B=
-0.57860.0148
1.17860
A=
1.0000-0.05190.5683
1.00000.35190
表达式：
H（z）=-0.5+（-0.5786+0.0148Z-1）/（1-0.0519Z-1+0.5683Z-2）+1.1786/（1+0.3519Z-1）
3、格型：
b=[0.1,-0.4,0.4,-0.1];
a=[1,0.3,0.55,0.2];
[K,C]=tf2latc（b,a）
[b,a]=latc2tf（K,C）
K=
0.1310
0.5104
0.2000
C=
-0.0431
-0.4301
0.4300
-0.1000
b=
0.1000-0.40000.4000-0.1000
a=
1.00000.30000.55000.2000
X（n）
y（n）
3、已知一个FIR系统的传递函数为
将其从横截型转换为级联型和格型结构，并画出各种结构的信号流图。
1、级联型：
b=[0.2,0.88,0.212,0.212,0.885];
a=[1];
[sos,g]=tf2sos（b,a）
[b,a]=sos2tf（sos,g）
sos=
1.00005.25954.62341.000000
1.0000-0.85950.95711.000000
g=
0.2000
b=
0.20000.88000.21200.21200.8850
a=
1000
表达式：
H（z）=0.2*（1+5.2595Z-1+4.6234Z-2）*（1-0.8595Z-1+0.9571Z-2）
2、格型：
K=
-0.8980
9.8405
0.9908
4.4250
b=
1.00004.40001.06001.06004.4250
a=
1
四、实验预习：
1、认真阅读实验原理部分，明确实验目的，读懂例题程序，了解实验方法。
2、根据实验内容预先编写实验程序。
3、预习思考题：
①什么是数字滤波器？
数字滤波器是如何分类的？
离散LSI系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程。
因此，离散LSI系统又称为数字滤波器。
数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、带阻以及全通滤波器；根据单位脉冲响应的特性，又可以分为有限长单位脉冲响应滤波器（FIR）和无限长单位脉冲响应滤波器（IIR）
②归纳各类数字滤波器的基本结构。
IIR数字滤波器的基本结构分为直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、直接Ⅲ型、级联型和并联型。
FIR数字滤波器的基本结构分为横截型（又称直接型或卷积型）、级联型、线性相位型及频率采样型等
五、实验报告：
1、列写调试通过的实验程序，并给出程序运行结果。
2、给出预习思考题答案。
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