届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学理试题及答案.docx
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届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学理试题及答案
2020届四川省眉山市高三第二次诊断性考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛0，1，2｝，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】由ACB可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
【详解】
由ACB可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有
2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A项.
点睛】
考查集合并集运算，属于简单题
2．已知i为虚数单位，复数z2i
913ii，则z（）
A．235
B．202
2
C．5
D．25
答案】C
解析】对z进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，
得到
详解】
对复数z进行化简
z2i
913ii2i
93i1i34i
所以
3242
点睛】
考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题
3．已知平面向量
5π
A．56π
π
a,b的夹角为π，且a32π
B．3π
C．
2，则2a
b与b的夹角是（
π
D．6π
答案】
解析】
先计算
2ab23，
再计算
2a
bb6，根据夹角公式得到答案
详解】
设2arbr与br的夹角是
，由题设有2a
6
r
r
πr2
a
b
cosb
3
4
rrrrrr2
2abb2abb
π
2abcos
3
r2b
所以cos
2abbrrr2abb
6
232
23，所以
2
故选：
D
点睛】
本小题考查平面向量的基本运算，向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力，应
用意识,本小题也可利用向量的几何意义求解．
4．空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对
应如下表所示：
AQI
0～50
51～
100
101～
150
151～
200
201～
300
300以
上
空气质
量
优
良
轻度污
染
中度污
染
重度污
染
严重
污染
如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．
根据统计图判断，下列结论正确的是（）
A．整体上看，这个月的空气质量越来越差
B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C．从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差
D．从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
【解析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】
从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；
从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；
从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.
6
5．x22的展开式中，常数项为
x2
A．60B．15
C．15D．60
【答案】D
【解析】写出二项式展开通项，整理后令x的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.
【详解】
x
2
2x
6
的展开式的通项为Tr1
r1
C6rx6r
r
2r2x
2rC6rx63r，
令6
3r
0，得到r=2
所以
x
6
2
2展开式中常数项为x2
22C62
60，故选
D项.
【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.6．若数列an的前n项和为Sn，且a11,a22,Sn1Sn21Sn11
则Sn（）
nn1A．
B．2n1
C．2n1
D．2n11
答案】C
解析】对已知Sn1Sn21
2
Sn11，进行化简，令bnSn1，可得
1,a22可计算出bn的首项和公比，从
2
bnbn2bn21，即bn为等比数列，利用a1
而可求得bn的通项，得到Sn的通项.
【详解】
2
QSn1Sn21Sn11，
令bnSn1
bnbn2bn21，可得bn为等比数列，设其公比为q
b1S11a112,b2S21a1a214
b2n1n1n
q2，bnb1q222
b1
Snbn12n1，故选C项.
【点睛】
本题考查换元法求数列的通项，等比数列求通项，考查内容比较简单，属于简单题
7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“（fx1）+fx2）＝0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】
函数是奇函数,
若，则
则，
即成立,即充分性成立，
若，满足是奇函数，当时
满足，此时满足
但，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
所以A选项正确.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关
键.
8．已知函数的部分图象如图所示，点
在图象上，若，，且，则
A．3B．C．0D．
【答案】D
【解析】根据条件求出A，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可．
【详解】
由条件知函数的周期满足T＝2×（）＝2×2π＝4π，即4π，
则ω，
由五点对应法得ω+φ＝0，即φ＝0，得φ，
则f（x）＝Asin（x），
则f（0）═Asin（）A，得A＝3，
即f（x）＝3sin
在（）内的对称轴为x，
若∈（），，且，
则关于x对称，
则f（）
＝3sin（）
＝3sin3sin
故选：
D．
点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．
9．若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不
同的象限，则m的取值范围是（
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（﹣1，0）
D．（﹣2，0）
答案】D
解析】圆x
2
12y21都在x轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，
则在第一、四象限，
即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到
y1y2，令其小于0，可
得答案.
详解】
圆与直线联立
my
1，
0
整理得1m
2m
2
m22m0
Q图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即
4m2
2
4m2m
m21
8m0
得m0.
1都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐
标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限
2
y1y2m22m0，解得2m0，121m2
故选D项.
点睛】
本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题
10．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为
A2,2,1,B2,2,1，C0,2,1,D0,0,1，则该四面体外接球的表面积是（
A．16
B．12
C．43
D．6
【答案】B
【解析】在空间坐标系里画出A,B,C,D四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.
【详解】
如图，在空间坐标系里画出A,B,C,D四个点，可得BAAC,DC面ABC,
因此可以把四面体
DABC补成一个长方体，其外接球的半径
R222222
R2
3
所以，外接球的表面积为4R212，故选B项.
本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.
2
11．设P是抛物线C:
y24x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ（O为坐标原点）垂直，则P到l的距离的最小值的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，1]C．0，1D．（0，2]
【答案】A
【解析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q的坐标为1，t，t0，得到
直线l的方程，再设与直线l平行的直线方程为xtym＝0，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到mt2，最后由点到直线的距离，即可得出结果.
【详解】
抛物线y24x上的准线方程是x1设点Q的坐标为1，t，t0．
则直线l的方程为xtyt210．
设与直线l平行的直线方程为xtym＝0．代入抛物线方程可得
2y4ty4m0，
由n＝16t216m0，可得mt2．
故与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x﹣tyt20．．
1
则P到l的距离的最小值d20，1．
1t2
故选A．
【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.
12．已知函数fxlnxa1x22a．若不等式fx0的解集中整数的个数为3，则a的取值范围是（）
A．1ln3,0B．1ln3,2ln2C．1ln3,1ln2D．0,1ln2
【答案】C
【解析】变换得到不等式ax2axlnx2，设gxxlnx2，
hxax2a，判断gx的单调性和hx恒过点2,0，画出函数图像，解得答案.
【详解】
由fx0得ax2axlnx2，设gxxlnx2，hxax2a
1
由gx1，可知gx在0,1上为减函数，在1,上为增函数，hx恒x
过点2,0．
画出gx与hx函数图象，如图所示：
不等式fx0的解集中含有三个整数，则
h
1
g
1,
a
1,
h
3
g
3
即a
1ln3,
h
4
g
4
2a
22ln2,
解得1ln3a1ln2．故选：
C
点睛】
本小题考查函数与导数等基本知识．考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．
二、填空题13．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：
今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里
数为．
【答案】120
【解析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.
【详解】
因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为an，其公差为d，前n项和为Sn.
根据题意可知，S91260,a1a4a7390，
9a1a9
法一：
S9199a51260,a5140
2
a1a4a73a4390,a4130，
da5a410，
a3a4d120.
98
S912609a1d1260
法二：
9，12
a13da16d390
120
a1a4a7390a
a1100解得1所以a3a12d
d1031
【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.
14．根据下列算法语句，当输入x，y∈R时，输出s的最大值为
【答案】2
【解析】由算法语句可将其转化为线性规划的题目，然后用线性规划的方法解决问题.
【详解】
y0
由算法语句可知xy0，求xy的最大值，并与0比较
2xy3
z，
画出可行域如图，VAOB为可行域，所求目标函数zxy，整理得yx为斜率为-1的一簇平行线，在A点时得到最大值.
xy0x
解方程组，解得
2xy3y
1
，A点坐标1,1，
1
所以
xy的最大值为
2.
x0时，fx
3x，则不等式
fx22的解集为
答案】117,0
1,3
4,7217
解析】对f
分类，
找到f
2的解集，再求fx2
2的解集
详解】
x0时，
3x
①当0
3时，f
3x，
解f
2，
即x2
3x
1或x
2，
②当
3时，fx
3x
解f
2即x23x
2得3217
317
2
Qf
317
2
0时，fx
2解集为0
x1或2x
317
2
是R上的偶函数，
由对称性可知
x0时，
x2解集为
317
2
2或
1x0
2解集为
317
2
1或2
17
2时，
317
2
2或
x2
1或2x2
317
2
解得1
17
2
17
点睛】
本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.
m1和n1，
16．设m，n为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线给出下列4个命题：
①m1∥n1?
m∥n；②m∥n?
m1与n1平行或重合；③m1⊥n1?
m⊥n；
④m⊥n?
m1⊥n1．其中所有假命题的序号是．
答案】①②③④
【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果.
【详解】
1两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故①错误，
2若mPn，则m1与n1平行或重合或是两个点，故②错误．
3因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故③错误．
4两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故④错误．故假命题是①②③④，
故答案为①②③④
【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.
三、解答题
17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为
a,b,c，若sinA,sinB,sinC成等差数
1
列，且cosC.
3
1求b的值；
a
2若c11，求△ABC的面积.
【答案】
（1）b10；
（2）S302.
a9
【解析】【详解】
1因为sinA,sinB,sinC成等差数列，所以2sinB
sinAsinC,
由正弦定理得2bac,即c2ba.
1
又因为cosC,根据余弦定理有：
3
cosC
222abc2ab
222
a2b22ba3b1
2
2ab2a3
所以b10.
a9
1
2因为c11,cosC,根据余弦定理有：
3
221
a2b22ab?
3
10由1知b10a，
9
121,
所以a2
1002
a
81
2a?
10a?
1
3
121,
解得a2
81.
由cosC
1
得sinC
22，
3
3
所以VABC的面积S
152absinCasinC
29
点睛】
22
2
1
8
5
本题考查等差数列的简单性质，正弦定理、余弦定理、面积公式的考查，难度不大，属于简单题.
18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、
乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株
进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数．
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
乙培育法
10
合计
附：
下面的临界值表仅供参考．
2
PK2k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.07
22.70
63.841
5.024
6.635
7.879
10.82
参考公式：
K2
bcd．）
nadbc，其中n＝aabcdacbd
【答案】
（1）a＝0.040，中位数82.5；
（2）见解析；（3）有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关
【解析】
（1）根据频率之和为1，可得a0.0050.0100.0250.02010＝1，即可求出a；设y为评分的中位数，根据题中数据可得0.4y800.04＝0.5，进而可求出结果；
（2）先由题意确定优质花苗数的可能取值，求出对应概率，即可得到分布列与期望；
（3）由题中数据计算出K2，对照临界值表，即可得出结论.
【详解】
（1）因为a0.0050.0100.0250.02010＝1，解得a＝0.040，
设y为评分的中位数，则前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.80，知80所以0.4y800.04＝0.5，则y＝82.5；
（2）由
（1）知，树高为优秀的概率为：
0.40.2＝0.6，记优质花苗数为ξ，
由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
03
P＝0C300.43＝0.064，
P
＝1
C13
2
0.4
0.6＝0.288，
P
＝2
C32
2
0.6
0.40.432，
P
＝3
C33
2
0.6
0.216，
所以ξ的分布列为：
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
所以数学期望为Eξ＝30.6＝1.8；
（3）填写列联表如下，
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
20
30
50
乙培育法
40
10
50
合计
60
40
100
2
210020104030
计算K216.667>2.706，
60405050
所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图、二项分布以及独立性检验等问题，熟记由频率分布直方图求中位数的方法、二项分布的分布列和期望，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.
19．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在
1
AD上，且AMAD，将VAED,VDCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，
4
如图所示2.
2求二面角MEFD的余弦值
【答案】
（1）见解析；
（2）6.
3
【解析】
（1）根据线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）连接BD交EF与点N，先由题中条件得到MND为二面角M﹣EF﹣D的平面角，再解三角形即可得出结果.
【详解】
（1）PBP平面MEF．证明如下：
在图1中，连接BD，交EF于N，交AC于O，11
则BNBOBD，
24
1
在图2中，连接BD交EF于N，连接MN，在nDPB中，有BNBD，
4
1
PMPD，
4
MNPPB．
QPB平面MEF，MN平面MEF，故PBP平面MEF；
（2）连接BD交EF与点N，图2中的三角形PDE与三角形PDF分别是图1中的RtnADE与RtnCDF，PDPE，PDPF，又PEPE＝P，PD平面PEF，则PDEF，又EFBD，EF平面PBD，
则MND为二面角M﹣EF﹣D的平面角．
可知PMPN，则在RtnMND中，PM＝1，PN2，则
MNPM2PN23．
在nMND中，MD＝3，DN32，由余弦定理，得
cosMND
MN2DN2MD26
3
2MNDN
面角M﹣EF﹣D的余弦值为6．
3
点睛】
本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以
及二面角的概念即可，属于常考题型
22
20．已知椭圆C:
x2y21ab0的右焦点为F2,0，过点F且垂直于xa2b2
轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.
1求椭圆C的方程；
2过椭圆内一点P0,t，斜率为k的直线l交椭圆于M,N两点，设直线OM,PN
k，存在实数，使得k1k2k，
O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2，若对任意求实数的取值范围.
2,
22
答案】
（1）xy1；
（2）
42
解析】
（1）根据焦点和通径列出
a,b,c关系，
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