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数模论文
高等教育学费优化模型与分析
摘要：
高等教育学费问题已成为社会关注的热点问题，文章根据普通高等学校生均实际学费的特点，在分析学费影响因素、生均拨款、培养费用、家庭收入的基础上，对学费问题进行更加深入讨论和相关的分析研究。
首先，构建了量化的学费制定标准即公式⑶和⑸，用MATLAB软件建立了高等教育学费与城乡家庭收入之间的关系模型，及生均学费与国家生均预算内教育经费之间的关系模型。
然后根据能力支付原则和利益获得原则，构建了一个涵盖五个主要经济因素──各方面的承受能力，高等教育个人收入差异，高等教育供需状况，生均培养成本以及地区差异的学费标准制定的量化模型，并在此基础上提出各类学校、各专业，各地区的学费制定标准的三个量化模型，这些模型的构建是有一定科学性，同时操作性也很强，较好的解决了全国各类学校平均学费、所有专业平均学费、全国某专业平均学费、各省某个专业平均学费的制定标准，最后根据模型分析结果，结合我国普通高校的实际情况，对我国高等教育学费标准的制定，学费的管理提出了八条建议，供管理层参考。
关键词：
高等教育生均学费标准生均培养成本家庭收入经济影响因素MATLAB软件
1问题重述：
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。
培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：
过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。
学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。
我们到底应如何评价目前的收费呢？
我们究竟应按什么标准来评价呢？
这个标准是主观还是客观的呢？
如果是客观的，那么制定学费时应考虑哪些影响因素呢?
有没有可能根据这些影响因素来构建一个学费制定标准的量化模型呢？
如果可能具体操作又如何呢？
对于以上种种问题请根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。
数据的收集和分析是建模分析的基础和重要组成部分。
论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。
根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。
2现有的量化的学费制定标准
对于我国普通高校学费制定的标准，已有学者做过些许研究，但多数学者讲得很笼统、很宽泛。
目前两个常用的具体的量化公式：
第一个公式为：
生均培养成本=（人员经费+公用经费+固定资产折旧费）/学生数…………⑴
收费标注=生均培养成本×政府确定的收费比例…………⑵
本年度收费标准=上年度收费标准×（1+本年度收费标准增长率）………⑶
本年度收费增长率=本年度费用预算长数/上年度费用预算数×100%……⑷
第二个公式为：
下年度高教学费的基准额=家庭年均收入×15%+年末户均储蓄额×20%…………⑸
公式⑶和⑸在某种程度上填补了我国在学费制定标准方面的空白，其作用不可小视，但是它们都存在一些缺陷。
首先是提出时都没有较为详尽甚至根本没有解释提出的原因,其次是只考虑了影响学费制定的某一方面的个别因素。
公式⑶只考虑了生均培养成本和历年费用两个指标,不够全面,没有考虑到居民的支付能力问题,而且历年的费用合不合理还是一个很难说清的问题。
近年来为了加大学费收取力度,各个高校把生均培养成本估算得过高,而且我国高校的办学效率一向不高,资源没有得到充分有效的利用,浪费问题非常严重。
公式⑸却只考虑了能力支付原则。
这种以能力为基础提出的收费标准是倾向于保证教育公平性的,充分考虑到了家庭的支付能力问题。
可是我们还必须使其建立在分担一定教育教学成本的基础之上。
因为当初之所以提出收取学费,一个很重要的原因就是国家财政紧缩,拿不出那么多钱来办高等教育了,所以只能把部分培养成本让学生及其家庭来承担。
目前国家政府对于高校学费制定标准在政策上仍按照1996年12月国家教育部、国家发改委、财政部颁发的《高等学校收费管理暂行办法》中所规定的为其制定标准,即学费占生均教育培养成本的比例不得超过25%。
但是事实上,目前大多数高校收取的学费已经大大超过了这个比例。
3高等教育学费标准模型的建立与求解
3.1高等教育学费与城乡家庭收入之间的关系模型
居民对高等教育的支付能力主要取决于其收入水平，我国居民的收入水平虽有了很大程度的提高,但总体还很低。
根据国家统计局的数据,我们整理得居民收入和学费情况表：
表一：
1993-2004城乡居民收入和学费情况表
年份
1993
1994
1995
1996
1997
1998
生均学费（元）
610
889
1114
1319
1620
1974
农村家庭人均纯收入（元）
921.6
1221
1577.7
1926.1
2090.1
2162
城镇居民人均可支配收入（元）
2577.4
3496.2
4283
4838.9
5160.5
5425.1
学费占农村家庭纯收入的比例
16．5
18.2
17.7
17.1
19.4
22.8
学费占城镇家庭可支配收入的比例
7.9
8.5
8.7
9.1
10.5
12.1
续表：
年份
1999
2000
2001
2002
2003
2004
生均学费（元）
2769
3550
3895
4224
4419
4785
农村家庭人均纯收入（元）
2210.3
2253.4
2366.4
2475.6
2622.2
2936.4
城镇居民人均可支配收入（元）
5824
6280
6859.6
7702.8
8472.2
9421.6
学费占农村家庭纯收入的比例
31.3
39.4
41.1
42.7
42.1
40.7
学费占城镇家庭可支配收入的比例
15.8
18.8
18.9
18.3
17.4
16.9
由以上离散样本数据点我们利用常见的最小二乘原理拟合生均学费
和农村家庭人均纯收入
（或城镇居民人均可支配收入
）的关系。
通过Matlab计算可得如下模型：
1、生均学费和农村家庭人均纯收入的关系模型：
⑹
利用Matlab软件作出拟合曲线图像如下：
图一用四次多项式对样本点拟合
2、生均学费和城镇居民人均可支配收入的关系模型：
⑺
利用Matlab软件作出拟合曲线图像如下：
图二用三次多项式对样本点拟合
我们通过实验看到，以上拟合函数次数达到10次以上拟合效果相当理想。
从表一和拟合图像可以看出：
（1）从1993年到2004年12年间，城镇居民的人均可支配收入增长3.66倍，农村人均收入增长仅2.8倍，而同期高校的学费标准从610元上升到4785元，增长了7.84倍，学费增长大大高于人均收入的增长。
（2）从1993年到2004年，学费占三口之家城镇居民年家庭收入的比例有7.9%提高16.9%，最高时的2001年达到18.9%，而同期学费占农村居民家庭收入的比例从16.5%提高到40.7%。
目前，40.7%的比例对大多数农村居民家庭来说，负担是相当重的。
（3）由拟合图像可以看出城乡收入差距还一直在加大，城乡居民人均纯收入之间的绝对差距已经从1993年的1655.8元扩大到2004年的6485.2元。
而且农民收入中的一部分是实物性收入而不是货币收入。
把农民实物性收入扣除，真正能跟城市居民一样购买商品服务的货币收入更少，而且这些货币收入还有一部分用于第二年的扩大再生产的开支。
另外，在城市居民收入中还有一部分收入并未纳入统计范围，比如各种各样的隐性福利、住房、教育、卫生等,如果把这些折算成收入,中国城乡居民收入差距可能更大。
其结果是，同样的学费标准对于农村和城镇家庭所产生的经济压力差别很大，大量的农村孩子或对于农民或者无法上大学，或者以贫困生的形式大量存在，从而严重的影响了教育公平，同时也在一定程度上给社会带来不稳定，不利于高等教育和整个社会的可持续发展。
（4）由图像可以看出1996年到2001年间学费的增长速度突飞猛进，2002年以后学费增势趋于平缓。
家庭负担虽有所减轻，但对农村居民来说还是压力很大。
3.2生均学费与国家生均预算内教育经费之间的关系模型
我们通过对预算内教育经费的调查研究，可以看出尽管国家对高等教育经费的投入不断增加，但随着招生规模的扩大，国家对生均教育经费的投入不一定增加，通过查阅《2007年教育统计年鉴》计算得如下表。
表二1993年—2005年生均学费与国家生均预算内教育经费的关系表
年份
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
生均学费（元）
610
889
1114
1319
1620
1974
2769
生均教育经费（元）
41795.6
53189.8
64623.2
74877.1
79764.1
86508.0
81012.1
生均预算内教育经费（元）
25409.8
31582.0
35388.6
40116.3
42776.5
45925.2
43922.6
续表
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
生均学费（元）
3550
3895
4224
4419
4785
5072.0
生均教育经费（元）
69216.9
64495.3
60662.7
56000.9
54312.7
53905.5
生均预算内教育经费（元）
37506.1
35912.7
34473.9
31155.1
30204.8
29874.3
注：
各类学校教育经费包括国家财政性教育经费，预算内教育经费，社会团体和公民个人办学经费，社会捐资和集资办学经费，学费和杂费，其他教育经费；
生均教育经费=各类学校总教育经费
高等学校总学生人数；
生均预算内教育经费=预算内教育经费
高等学校总学生人数。
我们利用常见的最小二乘原理拟合1993年—2005年生均学费
与国家生均预算内教育经费
的关系。
通过Matlab计算可得如下模型：
⑻
利用Matlab软件作出拟合曲线图像如下：
图三
由以上表格和关系曲线图对该数据进行分析，我们认为揭示了以下几个问题：
（1）随着高校扩招步伐的日益强健，尽管高等教育财政经费总支出绝对额在不断增大，在1998年左右生均预算内教育经费达到最高值45925.2元，但1999年后招生规模迅猛扩大，生均教育费和生均预算内教育经费却呈现出明显的下降趋势。
（2）在事业性经费支出中，公用经费增长的比例远远小于事业经费的增长。
国际上一般的认可标准是高等教育领域的人员经费和公用经费的投资结构比例为54：
46，而从我国教育领域人员经费和公用经费的投入比例来看，高等教育公用经费投入比例都相对偏低。
2002年我国财政预算内教育事业经费支出中，普通高等教育的人员经费和公用经费的投资机构比例为60：
40，这说明了在我国高等教育投入总量不足的情况下，公用经费投入的比例也相对偏低，这将不利于提高教育质量。
特别需要指出的是，高等教育的物价指数上涨的速率高于零售物价的总指标。
我国高等教育生均拨款额在扣除物价因素后不断下降，这一现象表明我国高教经费相对高校规模来说比较紧张，政府对高等教育的投入不能满足高等教育发展的需要。
3.3高等教育学费标准模型的建立与求解
至于学费标准制定的原则，研究者已有不少，本文认为要以能力支付原则和利益获得这两个最基本的原则来制定学费。
学费标准应该根据这两个基本原则来制定,这在经济学和教育经济学中也可以说是一个基本的共识。
因此我们认为必须始终以这两个原则为基础来共同地决定学费标准的制定问题,不能只顾其一,不顾其二,以免造成片面性。
所谓能力支付原则的含义是,根据利益获得者的付款能力来确定负担主体及负担程度。
教育成本支出最终来源于国民收入,国民收入通过初次分配和再分配被各社会群体所占有。
从理论上说,谁占有国民收入,谁就应当负担教育成本。
但是由于国民收入在分配上存在着不均等的现象,各群体的付款能力不同,教育成本的负担应根据付款能力不同确定负担的程度与比例。
所谓利益获得原则,简言之,谁受益谁负担,获益多者多负担。
用于教育的成本支出就其性质而言是一种可获得预期收益的投资。
由于教育具有经济功能,用于教育的成本是可以获得预期的经济与非经济收益的一种投资。
由于教育的公共物品或准公共物品的特性,教育投资可以产生外部效益,不仅受教育者可以获益,全社会都可从中获益。
因而社会各成员应根据其所获得的利益,分摊教育成本的负担。
我们若想要具体确定学费标准,首先必须要搞清楚到底有哪些因素会影响学费标准的制定。
我们知道,决定一个国家高等教育收取多少学费的因素是相当复杂的,“是各种力量平衡的结果”。
影响高等教育学费的因素是很多的,包括政治因素、历史文化传统因素、思想观念因素、国际因素、经济因素等。
前四种因素主观性都比较强,很难量化,因此本文暂不多加考虑。
经济方面的影响因素当然也包括很多,不过本文中主要涉及五种,即各方面的承受能力、高等教育个人收益率、高等教育的供需状况、生均培养成本以及地区差异。
很多文章已经对这几种经济影响因素做过研究,在此不再赘述。
基于以上两个基本原则的考虑,本文下面主要探讨如何通过上述这些经济影响因素来制定学费标准的模型。
本文提出的量化模型有两个基本假定:
假定一:
劳动力市场的自由竞争;
假定二:
各专业生均培养成本和收益率能够较为科学地计算。
鉴于以上两个基本假定,首先提出模型如下:
y
=c
·p·λ+k·g·μ⑼
其中y
：
全国各类专业平均学费c
：
各类专业生均培养成本
p：
个人相对收益率k：
国际一般比例
g：
我国人均GDPλ、μ为权重
y
=c
·p·λ+k·g·μ⑽
其中y
：
全国各类学校平均学费c
：
各类学校生均培养成本
在这两个模型中,收益原则体现在其中的第一项,即c
·p·λ（i=1,2）,也就是说个人从高等教育中相对地获得了多少个人收益也就相应地应承担一定比例的培养成本。
能力支付原则体现在公式中的第二项,即必须考虑到我国的人均GDP或是人均可支配收入,并借鉴国外的一般平均水平为参照标准。
一般国外的学费占人均GDP的比例是很低的,很多国家公立高校的学费与人均GDP的比例只占到了5%,美国也不到10%。
就公、私立平均而言,20世纪60～80年代中期，美国高等院校生均学费占居民人均可支配收入的比例一直在20%左右;80～90年代初,日本家庭供养一名大学生的花费占家庭收入的15%左右。
而我国目前如2007年,北京高等学校的学费标准是:
4200～5500元/年,上海高等学校的学费标准是:
5000～5500元/年,天津高等学校的学费标准是:
4200～5000元/年,四川高等学校的学费标准是:
4000～4600元/年,广东高等学校的学费标准是:
4560元～5200元/年,浙江大学为4000～4800元/年,湖南大学为4000～5000元/年。
这样的学费标准对于城市来说大致可以承受,一般占人均可支配收入的30%～50%左右;但由于我国城乡收入差距极其悬殊,对于农村的许多家庭尤其是中西部贫困地区农村家庭而言,学费占人均GDP的比例较高,甚至已经达到了200%以上,因此平均来说学费占人均GDP的比例是相当高的。
除了城乡差别之外,城镇内部、农村内部、中西部等地的收入差距也是非常巨大的。
λ、μ是权重,至于权重我们可以设为0.5和0.5或0.55和0.45或0.6和0.4等等,具体的数值可以通过调查或使用各种数据进行回归分析来求得。
这个公式不仅很好地以两个基本原则为依据,而且对于前文所提到的几种经济影响因素也均考虑了在内,例如人均GDP即为考虑支付能力问题;生均培养成本当然也即为四个经济因素中的最后一项:
生均教育成本;个人相对收益率不仅考虑到个人收益率,还考虑到供需问题。
这是缘于假定一,因为如果处于自由竞争状态（不一定是绝对的、完全的）,供需是能够反映出学费和将来的收益（收入）从而会影响到个人收益率的。
其次,学费标准的制定还必须因地因时因专业。
因此我们可以进一步构建以下两个量化模型:
（1）对于各个专业学费标准的制定,可以将某个专业的个人相对收益率和其生均培养成本的绝对值直接代入公式即可。
y
=c
·q·λ+k·g·μ⑾
其中y
:
全国某个专业平均学费c
:
此专业生均培养成本
q:
此专业个人相对收益率k:
国际一般比例
g:
我国人均GDPλ、μ为权重
λ、μ的确定可以用相对值法，这里有一个各专业的收益排行榜,可以为制定各个专业的学费标准提供参考。
如我们将位于最中间的新闻学设为1,向右顺次为1.1、1.2……1.7,向左顺次为0.9、0.8……0.4等等。
对于生均培养成本的相对值的计算也可采用类似的方法。
（2）y
=αy
⑿
其中y
：
各省某个专业平均学费
α:
地区发展不平衡因素系数
y
:
全国某个专业平均学费地区发展不平衡因素系数
地区发展不平衡系数能反映出地区差异,它可以根据各省人均GDP的相对比例来代替计算:
人均取GDP排在最中间的数据为基准,将所要求的省份的人均GDP与之相除得到的商数。
以2006年的各省市（大陆地区）人均GDP为例（见表三）,我们不难发现,2006年人均GDP为18662。
如果我们要计算北京地区的学费标准中的地区发展不平衡系数,计算公式为:
地区发展不均衡系数=北京的人均GDP÷平均数，也即为50467÷18662=2.70;若要计算陕西的地区发展不均衡系数,根据类似方法可求得：
12138÷18662=0.65。
以此类推可以求出各个省市的地区发展不均衡系数。
通过以上量化公式,尤其是后两个公式,就可以较为具体地制定出各地区、各专业的学费标准了,从而也会使得学费标准的制定和收取规范化,抑制学费的上涨。
表三2006年各地区人均GDP单位:
元
北京天津河北山西内蒙古辽宁吉林黑龙江
5046741163169621412320053217881572016195
浙江安徽福建江西山东河南湖北湖南
3187410055214711079823794133131329611950
海南重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃
1265412457105465787897010430121388757
新疆上海江苏广东广西青海宁夏
15000576952881428332102961176211847
资料来源:
国家统计局中国统计年鉴2007[M]北京中国统计出版社2007.
4模型评价与分析
模型一和二即公式⑶和⑸，在某种程度上填补了我国在学费制定标准方面的空白,其作用不可小视，但是它们都存在一些缺陷。
首先是提出时都没有较为详尽甚至根本没有解释提出的原因,其次是只考虑了影响学费制定的某一方面的个别因素。
如公式⑶只考虑了生均培养成本和历年费用两个指标,不够全面,没有考虑到居民的支付能力问题。
公式⑸却只考虑了能力支付原则。
这种以能力为基础提出的收费标准是倾向于保证教育公平性的,充分考虑到了家庭的支付能力题。
模型三：
即⑹式和⑺式。
从拟合曲线图一和图二及表一的结果可以得出如下结论：
第一,我国收入分配的巨大差异,不仅存在于城镇和农村的各阶层之间,更存在于城乡之间以及各地区之间,且有不断扩大的趋势。
1997年城镇居民最高收入户的平均可支配收入是最低收入户的1.9倍,2001年该比例已达到了2.2倍,农村户的收入差距加明显。
而从农村居民人均纯收入的地区差异来看,最富有和最贫困地区之间的绝对差距已达到4466.86元。
所以有关部门在制定高等教育收费制度的时候,应充分考虑这种差异,特别要关注低收入阶层,对不同地区、不同家庭收入水平的学生采取不同的学费政策,从而给予社会各阶层青年以平等的求学机会。
第二,目前我国高等学校的学费水平已经超出了大多数居民的承受能力。
从全国平均数看,1999年有40%的城镇居民户、51.11%的农村居民户支付不起当年的高等教育学费和生活费;在2000年学费猛涨之后,这两个指标已分别达到了60%和72.54%。
经济落后地区的指标可能更高,按平均水平2001年全国只有北京和天津两地的农民家庭有能力供养子女上大学。
第三,值得注意的是,本文对居民承受能力的估计是较为保守的。
如果按照一个大学生的生活开支大约是城市居民生活开支的1.4倍来计算,不能承受现在收费水平的居民还会更多。
而且我国现阶段正处于经济转型期,社保体系还未完全建立,相当多家庭除去医疗、养老、住房等项目的开支外已所剩无几,居民对高等学校学费支付能力的空间已经很小。
以上分析表明,现行高等教育的收费水平已超出了大多数家庭的承受能力,为了体现教育的公平原则,使成本回收的负效应得到有效抑制,必须制定合理的收费标准和建立必要的配套学费资助体系。
模型四：
⑻
这个模型较好地刻划了生均学费与国家生均预算内教育经费之间的关系，并从⑻式及拟合图三不难得出:
随着高校扩招步伐的日益强健，尽管高等教育财政经费总支出绝对额在不断增大，在1998年左右生均预算内教育经费达到最高值45925.2元，但1999年后招生规模迅猛扩大，生均教育费和生均预算内教育经费却呈现出明显的下降趋势。
在事业性经费支出中，公用经费增长的比例远远小于事业经费的增长。
模型五：
y
=c
·p·λ+k·g·μ⑼
y
=c
·p·λ+k·g·μ⑽
这个模型不仅很好的以两个基本原则为依据，而且对于前文所提到的几种经济影响因素也在内，例如人均GDP，即为考虑支付能力问题;生均培养成本当然也即为五个经济因素中的最后一项:
生均教育成本;个人相对收益率不仅考虑到个人收益率,还考虑到供需问题:
这是缘于假设一,因为如果处于自由竞争状态（不一定是绝对的、完全的）,供需是能够反映出学费和将来的收益（收入）从而会影响到个人收益率的。
模型六：
y
=c
·q·λ+k·g·μ⑾
这个模型是将此专业的个人相对收益率q取代模型五中的个人相对收益率p，由于是专业的平均学费，除了具有模型内的一些有点外更突出了专业特征。
模型七：
y
=α·y
⑿
这个模型是在全国某个专业平均学费的基础上采用了一个地区发展不均衡系数α，充分考虑了地区的差异情况，同时地区发展不均衡系数的设计也很合理，即α=该地区的人均GDP/全国人均GDP。
总之，这些模型的构成充分考虑了能力支付原则和利益获得原则，对于专业平均学费和地区专业平均学费。
相应的考虑了学校的差异性、地区的差异性和专业的差异性，比较符合客观实际。
5给相关部门的一份报告
尊敬的领导：
您们好！
我们通过三天三夜数学建模竞赛的活动，对高等学校教育学费标
准进行了详细的研究和探讨，得到了许多收获，产生了较多的想法。
根据我们建模结论的分析,结合我国普通高校的实际情况,我们认为,加强和规范我国普通高校的学费管理,防止高校学费过快增长,特提出以下的建议：
（1）进一步加强对我国普通高校学
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