相似三角形初中数学第三册教案八年级数学教案.docx

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相似三角形初中数学第三册教案八年级数学教案

相似三角形——初中数学第三册教案_八年级数学教案

 相似三角形的性质教学示例1

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．

　　2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．

　　3．进一步培养学生类比的教学思想．

　　4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美

　　二、教法引导

　　先学后教，达标导学

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：

是性质定理1的应用．

　　2．教学难点：

是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、常用画图工具．

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．三角形中三种主要线段是什么？

　　2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？

　　3．什么叫相似比？

　　［讲解新课］

　　根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

　　下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．

　　建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．

　　性质定理1：

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比

　　∽，

　　，

　　教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．

　　分析示意图：

结论→∽（欠缺条件）→∽（已知）

　　∽，

　　BM=MC，

　　∽，

　　以上两种情况的证明可由学生完成．

　　［小结］

　　本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．

　　七、布置作业

　　教材P241中3、教材P247中A组3．

　　八、板书设计

 相似三角形的性质教学示例1

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．

　　2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．

　　3．进一步培养学生类比的教学思想．

　　4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美

　　二、教法引导

　　先学后教，达标导学

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：

是性质定理1的应用．

　　2．教学难点：

是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、常用画图工具．

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．三角形中三种主要线段是什么？

　　2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？

　　3．什么叫相似比？

　　［讲解新课］

　　根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

　　下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．

　　建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．

　　性质定理1：

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比

　　∽，

　　，

　　教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．

　　分析示意图：

结论→∽（欠缺条件）→∽（已知）

　　∽，

　　BM=MC，

　　∽，

　　以上两种情况的证明可由学生完成．

　　［小结］

　　本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法．

　　七、布置作业

　　教材P241中3、教材P247中A组3．

　　八、板书设计

1、教材分析　　

（1）知识结构　

（2）重点、难点分析

　　本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准；熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的一个体现；同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力；它还将在以后的学习中起着重要作用.

　　本节内容的难点一是三角形按边分类，很多学生常常把等腰三角形与等边三角形看成独立的两类，而在解题中产生错误.二是利用三角形三边之间的关系解题，在学习和应用这个定理时，“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”而学生的错误就在于以偏概全；分类讨论在解题中也是学生感到困难的一个地方.

　　2、教法建议

　　没有学生参与的教学是不成功的教学，教师为了充分调动主体参与，必须在为学生提供必要的背景知识的前提下，与学生一道探索定理在结构上、应用上留给我们的启示.具体说明如下：

（1）强化能力

　　新课引入，先让学生阅读教材第一部分，然后通过回答教师设计的几个问题，使学生明确对三角形按边分类，做到不重不漏，其中等腰三角形包括等边三角形，反过来等边三角形是等腰三角形的一种特例.

　　通过阅读，使学生初步认识数学概念的含义，发现疑难；理解领会数学语言（文字语言、符号语言、图形语言），促进数学语言内化，从而提高学生的数学语言水平、自学能力及交流能力

（2）主动获取

　　在得出三角形三条边关系定理过程中，针对基础比较好的学生，让学生考虑回忆第

　　一册第一章中学过的这条公理并给出证明，在这个基础上，让学生把定理的内容叙述出来.（3）激荡思维

　　由定理获得了：

判断三条线段构成一个三角形的一种方法，除了这一种方法外，是否还有其它的判断方法呢？

从而激荡起学生思维浪花：

方法是什么呢？

学生最初可能很快得到“推论”，此时瓜熟蒂落，顺理成章地引出教材中的推论.在此基础上，让学生通过讨论，简化上述两种方法，由此得到下面两种方法.这里，学生若感到困难，教师可适当做提示.方法3：

已知线段，（）,若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.教学中采用这种教学方法可培养学生分析问题探索问题的能力，提高学生对数学知识结构完整性的认识.

　　（4）加深理解　

　　进行必要的例题讲解和适当的解题练习，以达到熟练地运用定理及推论.从过程中让学生体味到数学造化之神奇.也可适当指出，此定理及推论不仅提供了判定三条线段是否构成三角形的根据，也为今后解决字母取值范围问题提供了有利的依据.

　　整个教学过程（），是学生主动参与，教师及时点拨，学生积极探索的过程，教学过程（）跌宕起伏，问题逐步深化，学生思维逐步扩展，使学生在愉快、主动中得到发展.

教学目标：

（1）掌握三角形三边关系定理及其推论，会根据三条线段的长度判断他们能否构成三角形；

（2）弄清三角形按边的相等关系的分类；

　　（3）通过三角形的分类学习，使学生知道分类的基本思想，提高学生归纳概括的能力；

　　（4）通过三角形三边关系定理的学习，培养学生转化的能力；

　　（5）通过等边三角形是等腰三角形的特例，渗透一般与特殊的辩证关系.

　　教学重点：

三角形三边关系定理及推论

　　教学难点：

三角形按边分类及利用三角形三边关系解题

　　教学用具：

直尺、微机

　　教学方法：

谈话、探究式

　　教学过程（）：

　　1、阅读新课，回答问题

　　先让学生阅读教材的第一部分，然后回答下列问题：

（1）这一部分教材中的数学概念有哪些？

（指出来并给予解释）

（2）等腰三角形与等边三角形有什么关系？

　　估计有的学生可能把等腰三角形和等边三角形看成独立的两类.

　　（3）写出三角形按边的相等关系分类的情况.

　　教师最后板书给出.

　　（要求学生之间可互相补充，从一开始就鼓励双边交流与多边交流）

　　2、发现并推导出三边关系定理

　　问题1：

用长度为4cm、　10cm　、16cm的线绳（课前准备好的）能否搭建一个三角形？

（让学生动手操作）

　　问题2：

你能解释上述结果的原因吗？

　　问题3：

任何三条线段都能组成一个三角形吗？

满足什么条件时，三条线段可组成一个三角形？

　　定理：

三角形两边的和大于第三边

　　（发现过程采用小步子原则，让学生在不知不觉中发现数学中的真理）

　　3、导出三边关系定理的推论及其它两种方法

　　由前面得到了判断所给三条线段能否组成三角形的一个依据.那么是否还有其它方法呢？

请同学们在定理的基础上来找：

　　估计学生很容易得到推论，让学生用自己的语言叙述，教师稍加整理后给出规范叙述.

　　推论：

三角形两边的差小于第三边

　　（给每一个学生表现个人数学语言表达才能的机会）

　　能否简化上面定理及推论？

从而得到如下两种判定方法：

（1）、已知线段，（）,若第三条线段c满足-c则线段,,c可组成一个三角形.

　　4、三角形三边关系定理及推论的应用

　　例1　判断题：

（出示投影）

（1）等边三角形是等腰三角形

（2）三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形

　　（3）已知三线段满足,那么为边可构成三角形

　　（4）等腰三角形的腰比底长

　　（本例主要考察学生对概念、定理及推论的理解程度，不要求做在本上，只需口答即可）

　　（本例要求学生说出解题思路，教师点到为止）

　　例3　一个等腰三角形的周长为18.

（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边长.

（2）其中一边长4，求其他两边长.

　　这是一道有课堂练习性质的例题，允许学生有3分钟左右的独立思考，允许想出来的同学表达自己的想法，其它同学补充完善.

　　（数学教师的课堂教学应该是敢于放手，尽可能多地给学生创造展示自己的思维空间和时间）

　　例4草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，

　　如图1现在要建一个维修站H，试问H建在何处，

　　才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小，

　　说明理由.

　　本例有一定的难度，给出的方法是解决此类型问题常见的极为简捷的方法，略微构造就可以使用三角形三边关系定理得出答案.

　　5、小结

　　本节课我们学习了三角形三边关系的定理和推论，还知道了定理和推论的一系列灵活运用：

（1）判断三条已知线段能否组成三角形

　　采用一种较为简便的判法：

若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.

（2）确定三角形第三边的取值范围

　　两边之差＜第三边＜两边之和

　　若时间宽裕，让学生经讨论后自由表述，其他同学补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构.

　　6、布置作业

　　a.书面作业P41＃8、9

　　b.思考题：

1、在四边形ABCD中，AC与BD相交于P，求证：

　　（AB+BC+CD+AD）＜AC+BD＜AB+BC+CD+AD

　　2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中，最长边最多可以由几根火柴棒组成？

（提示：

由上面方法2，a+b+c>2a又a+b+c　　板书设计：

　　完全平方公式的教案设计

　　一、内容简介

　　本节课的主题：

通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。

　　关键信息：

　　1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。

首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。

通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。

学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

　　2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。

　　二、学习者分析：

　　1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

　　①同类项的定义。

　　②合并同类项法则

　　③多项式乘以多项式法则。

　　2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：

　　在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。

这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。

　　三、教学/学习目标及其对应的课程标准：

（一）教学目标：

　　1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。

　　2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

（二）知识与技能：

经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。

　　（四）解决问题：

能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

　　（五）情感与态度：

敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。

　　四、教育理念和教学方式：

　　1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：

学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。

　　教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。

当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。

　　2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。

　　3、教学评价方式：

（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。

（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。

　　（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。

　　五、教学媒体：

多媒体六、教学和活动过程：

　　教学过程设计如下：

　　〈一〉、提出问题

　　[引入]同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，通过运算下列四个小题，你能总结出结果与多项式中两个单项式的关系吗？

　　（2m+3n）2=_______________，（-2m-3n）2=______________，

　　（2m-3n）2=_______________，（-2m+3n）2=_______________。

　　〈二〉、分析问题

　　1、[学生回答]分组交流、讨论

　　（2m+3n）2=4m2+12mn+9n2，（-2m-3n）2=4m2+12mn+9n2，

　　（2m-3n）2=4m2-12mn+9n2，（-2m+3n）2=4m2-12mn+9n2。

（1）原式的特点。

（2）结果的项数特点。

　　（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。

　　（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。

　　2、[学生回答]总结完全平方公式的语言描述：

　　两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；

　　两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。

　　3、[学生回答]完全平方公式的数学表达式：

　　（a+b）2=a2+2ab+b2；

　　（a-b）2=a2-2ab+b2.

　　〈三〉、运用公式，解决问题

　　1、口答：

（抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性）

　　（m+n）2=____________,（m-n）2=_______________,

　　（-m+n）2=____________,（-m-n）2=______________,

　　（a+3）2=______________,（-c+5）2=______________,

　　（-7-a）2=______________,（0.5-a）2=______________.

　　2、判断：

　　（ ）①（a-2b）2=a2-2ab+b2

　　（ ）②（2m+n）2=2m2+4mn+n2

　　（ ）③（-n-3m）2=n2-6mn+9m2

　　（ ）④（5a+0.2b）2=25a2+5ab+0.4b2

　　（ ）⑤（5a-0.2b）2=5a2-5ab+0.04b2

　　（ ）⑥（-a-2b）2=（a+2b）2

　　（ ）⑦（2a-4b）2=（4a-2b）2

　　（ ）⑧（-5m+n）2=（-n+5m）2

　　3、小试牛刀

　　①（x+y）2=______________;②（-y-x）2=_______________;

　　③（2x+3）2=_____________;④（3a-2）2=_______________;

　　⑤（2x+3y）2=____________;⑥（4x-5y）2=______________;

　　⑦（0.5m+n）2=___________;⑧（a-0.6b）2=_____________.

　　〈四〉、[学生小结]

　　你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题？

（1） 公式右边共有3项。

（2） 两个平方项符号永远为正。

　　（3）中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。

　　（4）中间项是等号左边两项乘积的2倍。

　　〈五〉、冒险岛：

（1）（-3a+2b）2=________________________________

（2）（-7-2m）2=__________________________________

　　（3）（-0.5m+2n）2=_______________________________

　　（4）（3/5a-1/2b）2=________________________________

　　（5）（mn+3）2=__________________________________

　　（6）（a2b-0.2）2=_________________________________

　　（7）（2xy2-3x2y）2=_______________________________

　　（8）（2n3-3m3）2=________________________________

　　〈六〉、学生自我评价

　　[小结] 通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？

　　本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。

在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。

　　〈七〉[作业] P34 随堂练习 P36 习题

　　七、课后反思

　　本节课虽然算不上课本中的难点，但在整式一章中是个重点。

它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。

学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度。

授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的内容，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节。

然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用。

（第3课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用．

　　2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

　　3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

　　4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．

　　二、教学设计

　　类比学习，探讨发现

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：

是直角三角形相似定理的应用．

　　2．教学难点：

是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．

　　四、课时安排

　　3课时

　　五、教具学具准备

　　多媒体、常用画图工具、

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？

（5种）

　　2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．

　　其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？

（①作相似，证全等；②作全等，证相似）

　　3．什么是“勾股定理”？

什么是比例的合比性质？

　　【讲解新课】

　　类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：

　　直角三角形相似的判定定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

　　已知：

如图，在∽中，

　　求证：

∽

　　建议让学生自己写出“已知、求征”．

　　这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．

　　定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题．

　　例4 已知：

如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽．

　　解（略）

　　教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．

　　还可提问：

（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？

（答案：

）

（2）如图，当BD与、满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？

（不指明对应关系）

　　（答案：

或两种情况）

　　探索性题目是已知命题的结论，寻找使结论成立的题设，是探索充分条件，所以有一定难度，教材为了降低难度，在例4中给了探索方向，即“BD与满足怎样的关系式．”

　　这种题目体现分析问题的思维方法，对培养学生研究问题的习惯有好处，教师要给予足够重视，但由于有一定难度，只要求学生了解这类问题的思考方法，不应提高要求或增加难度．

　　［小结］

　　1．直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用．

　　2．让学生了解了用代数法证几何命题的思想方法．

　　3．关于探索性题目的处理．

　　七、布置作业

　　教材P239中A组9、教材P240中B组3.

　　八、板书设计