《一次函数》教案第三部分.docx
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《一次函数》教案第三部分
（1）直线y＝kx＋5经过点（-2,-1）；
（2）一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7．
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点（-2,3）．
3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系．
4.一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（3,3）和（1,-1）．求它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．
一次函数（4）
知识技能目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b（k≠0）的性质.
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.
过程性目标
1.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响；
2.观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力．
教学过程
例3求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
分析两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解．
解两个函数关系式组成的方程组为
解这个方程组，得
所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为（3，6）．
例4已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
（1）在同一坐标系内作出它们的图象；
（2）求出它们的交点A坐标；
（3）求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
（4）k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析
（1）这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
（2）两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
（3）求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．
（4）先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解
（1）
（2）
解得
所以两条直线的交点坐标A为
．
（3）当y1＝0时，x＝
所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B（
，0），当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C（5,0）．过点A作AE⊥x轴于点E，则
．
（4）两个解析式组成的方程组为
解这个关于x、y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即
解得
．
教学目标
1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
2、能利用函数图象解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学过程
一、范例
1、学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费。
现乙复印社表示：
若学校先按月付给一定数额的承包赞，则可按每100页15元收费。
两复印社每月收费情况如图所示。
根据图象回答：
（1）乙复印社的每月承包费是多少?
（2）当每月复印多少页时．两复印社实际收费相同?
（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社?
提问：
1、“收费相同”在图象上怎么反映出来?
2、如何在图象上看出函数值的大小?
请同学们讨论、解答、并交流自己的解答；教师引导学生如何读懂图形语言．并把图形语言转化为数学语言或文字语言。
解答结果是：
（1）乙复印社的每月承包费是200元；
（2）当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社。
说明：
本题亦可用代数方法解。
3．在17．3问题2中，小张的同学小王以前没有存过零用钱．听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小张。
请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王有数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？
至少几个月后小王的存款能超过小张。
分析
（1）列表：
这两个函数的自变量x的取值范围是自然数，列出x与y的对应值表：
（2）描点作图，就得到函数的图象
y＝2x－5
y＝－x＋1
提问：
你能用其他方法解决上述问题吗?
4．利用图象解方程组
分析：
两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。
而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解。
二、课堂练习
P54练习l、2。
三、小结
这节课，你学会了什么知识？
四、作业
P57页17、5 1、2
第二课时 实践与探索
（二）
教学目标
1、熟练掌握一次函数图象的画法，能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
2、体验一次函数图象与一元一次方程的解，一元一次不等式的解集之间关系的探索过程，培养学生图形语言，数学语言以及文字语言相互转化的能力。
教学过程
一、范例
1．画出函数y＝
x+3的图象，根据图象，指出：
（1）x取什么值时，函数的值等于零?
（2）x取什么值时，函数值y始终大于零?
从函数y＝
x+3图象可以看出：
当函数值y等于零时，直线y＝
x+3与x轴相交于点（－2，0），这时的横坐标就是所求的x值。
所以当x=－2时，函数值y等于零。
因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都大于0，横坐标都大于－2。
所以当x>－2时，函数值y始终大于零。
小结：
在x轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式上，就是函数值大于0，在x轴下方的函数图象，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析上，就是函数值小于0。
提问：
①当x取什么值时，函数值y始终小于零?
②当x取什么值时，函数值y小于3?
③当x取何值时，0≤y≤3?
二、想一想
由上例，想想看，一元一次方程
x+3＝0的解，不等式
x+3>0的解集与函数y＝
x+3的图象有什么关系?
说说你的想法，并和同学讨论交流．
在学生讨论、交流和发表意见后，教师加以引导，最后归纳.
三、课堂练习
P55页练习l、2．
四、小结
本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体，今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系。
§14．2．2专题:
一次函数应用
（二）
教学目标
利用一次函数知识解决相关实际问题．
教学重点
灵活运用知识解决相关问题．
教学难点
灵活运用有关知识解决相关问题．
教学过程
提出问题，创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？
这将是我们这节课要解决的主要问题.
导入新课
下面我们来学习一次函数的应用．
例1小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
分析：
本题y随x变化的规律分成两段：
前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
解：
y=
我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
例2Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？
思考方法：
从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．
通过分析思考，可以发现：
Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：
若设Ａ──Ｃx吨，则：
由于Ａ城有肥料200吨：
Ａ─Ｄ，200─x吨．
由于Ｃ乡需要240吨：
Ｂ─Ｃ，240─x吨．
由于Ｄ乡需要260吨：
Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．
那么，各运输费用为：
Ａ──Ｃ20x
Ａ──Ｄ25（200-x）
Ｂ──Ｃ15（240-x）
Ｂ──Ｄ24（60+x）
若总运输费用为y的话，y与x关系为：
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．
化简得：
y=40x+10040（0≤x≤200）．
由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．
因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．
若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
解题方法与思路不变，只是过程有所不同：
Ａ──Ｃx吨Ａ──Ｄ300-x吨
Ｂ──Ｃ240-x吨Ｂ──Ｄx-40吨
反映总运费y与x的函数关系式为：
y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．
化简：
y=4x+10120（40≤x≤300）．
由解析式可知：
当x=40时y值最小为：
y=4×40+10120=10300
因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．
如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？
由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．
解后小结:
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量间的关系，选取其中某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样就可以利用函数知识来解决了．
在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自变量取值范围．就像刚才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的结论．
Ⅲ课堂练习
从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水14万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水12万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．
解答：
设总调运量为y万吨·千米，Ａ水库调往甲地水x万吨，则调往乙地（12-x）万吨，Ｂ水库调往甲地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨．
由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为：
y=50x+30（12-x）+60（15-x）+45（x-1）．
化简得：
y=5x+1275（1≤x≤12）．
由解析式可知：
当x=1时，y值最小，为y=5×1+1275=1280．
因此从Ａ水库调往甲地1万吨水，调往乙地14万吨水；从Ｂ水库调往甲地12万吨水，调往乙地0万吨水．此时调运量最小，调运量为1280万吨·千米．
Ⅳ．课堂小结
本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．
Ⅴ．课后作业
1、习题14．2─7、9、14、12题．
2、《课堂感悟与探究》
§14．2．2专题：
一次函数应用（三）习题课
例1求函数
与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
分析求直线
与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线
与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线
与x轴、y轴的交点与原点的距离.
解当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A（2,0）；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B（0，-3）.
.
例3画出第一节课中问题
（1）中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s＝570-95t的图象.
分析这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.
讨论1.上述函数是否是一次函数？
这个函数的图象是什么？
2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？
你能不能找出几个例子加以说明.
例4旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为
．画出这个函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？
分析求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30．
解函数
（x≥30）图象为：
当y＝0时，x＝30.
所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.
例5今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.
分析画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线.
解
（1）函数的图象是：
（2）自来水公司的收费标准是：
当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.
四、交流反思
1.一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，
.所以直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是（0,b）,与x轴的交点坐标是
；
2.在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.
五、检测反馈
1.求下列直线与x轴和y轴的交点，并在同一直角坐标系中画出它们的图象.
（1）y＝4x-1；
（2）
.
2.利用例3的图象，求汽车在高速公路上行驶4小时后，小明离北京的路程.
3.已知函数y＝2x-4.
（1）作出它的图象；
（2）标出图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）由图象观察，当-2≤x≤4时，函数值y的变化范围.
4.一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.
5.某水果批发市场规定，批发苹果不小于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金3000元到这市场采购苹果，并以批发价买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，试写出y与x之间的函数关系式并指出自变量的取值范围，画出这个函数的图象．
14.3．1一次函数与一元一次方程
教学目标
1.理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题。
2.学习用函数的观点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
3.经历方程与函数关系问题的探究过程学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
教学重点
一次函数与一元一次方程的关系的理解。
教学难点
一次函数与一元一次方程的关系的理解。
教学过程
导入
前面我们学习了一次函数．实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存．它与我们七年级学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系．这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程（组）与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程（组）不等式的求解问题．这是我们学习数学的一种很好的思想方法．
新课
我们先来看下而的问题有什么关系：
（1）解方程
（2）当自变量为何值时，函数
的值为零？
提出问题：
对于
和
，从形式上看，有什么相同和不同的地方？
从问题本质上看，
（1）和
（2）有什么关系？
作出直线
从数上看：
方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值
从形上看：
函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解
关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：
当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
（用两种方法求解）
解法一：
设再过x秒物体速度为17m/s．
由题意可知：
2x+5=17解之得：
x=6．
解法二：
速度y（m/s）是时间x（s）的函数，
关系式为：
y=2x+5．
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6
解法三：
由2x+5=17可变形得到：
2x-12=0．
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．
例2利用图象求方程6x-3=x+2的解，并笔算检验
解法一：
由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），
故可得x=1
我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，交点的横坐标即是方程的解．
解法二：
由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1
小结
本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用
练习：
用不同种方法解下列方程：
1．2x-3=x-2．2．x+3=2x+1．
3．.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？
4．P42练习1
（1）
（2）
x
y
y=5x
o
x
y
y=x+2
o
2
-2
x
y
y=-3x+6
o
2
x
y
y=x-1
o
1
-1
5、根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程的解？
并直接写出相应方程的解？
课后作业
1、习题14．3─1、2、5、8题．
2、《课堂感悟与探究》
14.3.2一次函数与一次不等式
教学目标
理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题；
学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题的思想；
经历不等式与函数关系问题的探究过程；学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。
教学重点
一次函数与一元一次不等式的关系的理解
教学难点
一次函数图象确定一元一次不等式的解集。
教学过程
提出问题，引入新课
通过上节课的学习，我们已经知道，“解一元一次方程
”与“求当
为何值时，
的值为
”是同一个问题，现在我们来看看：
（1）以下两个问题是不是同一个问题？
解不等式：
当为何值时，函数
的值大于
？
（2）你如何利用图象来说明
？
（3）“解不等式
”可以与怎样的一次函数问题是同一的？
怎样在图象上加以说明？
y
x
-2
y=3x+6
O
x
y=-x+3
O
3
1.根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式解集？
并直接写出相应不等式的解集？
（1）
（对每一题都能写出四种情况（大于0，小于0，大于等于0，小于等于0），让学生在充分理解的基础和写出对应的x的取值范围，先小组内交流，然后反馈矫正。
）
解：
（1）（略）
（2）由图象可以得出：
的解集是
；
的解集是
；
的解集是
；
的解集是
例2P41例题
解法1：
分析：
将不等式转化为一般形式，再画出对应的一次函数的图象，就是我们已会的求解了．
解法2：
分析：
（1）如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢?
（2）不等式两边都是一次函数的表达式，因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题．
（3）如何在图象上比较两个一次函数的大小呢?
（4）如何确定不等式的解集呢?
14.3.3一次函数与二元一次方程（组）
教学目标
1.理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；
2.学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法；
3.历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想
教学重点
对应关系的理解及实际问题的探究建模
教学难点
二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解
教学过程
提出问题，复习引新
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?
首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如
对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个—次函数的y值相等?
它反映在图象上，就是求直线
和直线
的交点坐标.
七年级下学期学习二元一次方程组时，有一个数学活动，就谈到了，求方程组的解就是求两条直线的交点坐标．
例题与练习
1．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?
这些解是什么?
（1）
（2）
（3）
解：
（略）
2.利用函数解方程组：
解：
由
可得
由
可得
在同一直角坐标系内作出一次函数
的图象
和
的图象
如下图所示
观察下图，得
和
的交点为（1，2）
所以方程组
的解为
3.求直线
与直线
的交点坐标。
你有哪些方法?
；与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊．
解法思路l：
画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．（由于两直线斜率接近，交点的确定，因作图误差可能有较大差别）
解法思路2：
由解方程组，得到交点坐标．（把形的问题归结为数的解决，便捷准确）
小结
（1）对应关系
二元一次方程组的解
两个一次函数图的交点坐标
（2）图象法解方程组的步骤：
①将方程组中各方程化为）
的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解．
作业
1．P45页习题1
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